北京大学 离散数学 2007下学期期中考试试卷

2007下学期期中考试试卷
姓名___________________学号 _____________________
三
总分
一二
(15) (16.1) (16.2) (17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)
一 选择题（20%）:将所选择的答案填入下面表格中。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
(1) 下面“p→q”的等价说法，不正确的是( )：
(A) p是q的充分条件；(B) q是p的必要条件；(C) q仅当p；(D) 只有q才p。

(2) 下面不是命题的是：
(A) ∀xP(x) (B) x∈{x}∪{{x}} (C) A-B=∅⇔A=B (D) ∀x(P(x)∨P(y))
(3) 谓词公式∀x∃yP(x,y)的否定式为( )：
(A) ∀x∃y(¬P(x,y)) (B) ∀x∀y(¬P(x,y)) (C) ∃x∀y(¬P(x,y)) (D) ∃x∃y(¬P(x,y))
(4) 下面是一些运算的分配性表达式，不成立是( )
(A) A∩(B⊕C) = (A∩B)⊕ (A∩C) (B) A∪ (B⊕C) = (A∪B)⊕ (A∪C)
(C) (A⊕B)×C = (A×C)⊕(B×C) (D) (A－B)×C = (A×C)－(B×C)
(5) 有关关系的逆关系的说法不正确的是( )：
等价关系和相容关系的逆关系就是其本身；
(A)
(B) 偏序关系的逆关系仍然是偏序关系；
全序关系的逆关系仍然是全序关系；
(C)
(D) 良序关系的逆关系仍然是良序关系；
(6) 下面推理中，不正确的是
(A) p⇒ p∨q (B) q⇒p→q (C) ¬q∧( p→q) ⇒q (D) ¬(p→q) ⇒¬q
(7) 命题公式(p→q) ∨( p→q)的成真赋值有___个：
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(8) 下列集合运算中( )是正确的。

(A) ∅∪{∅}=∅(B) {∅,{∅}}－{{∅}}＝{∅};
(C) {∅,{∅}}－{∅}＝{∅} (D) {∅,{∅}}－∅＝{{∅}}
(9) A＝{a,b,c}, 其上的具有最小元的偏序关系有( )个
(A) 19 (B) 12 (C) 9 (D) 6
(10) 公式“∀x∃y(¬P(x,y))”的对偶式是( )：
∃x∀y(¬P(x,y))
(A) ∀x∃y(¬P(x,y)) (B)
∃x∀y(P(x,y))
(C) ∀x∃y(P(x,y)) (D)
二 填空题（10%）:将所选择的填入相应的横线上。

(11) 3个命题变元可生成________________个不等价的命题公式。

(12) 命题“A⊆B↔A－B⊆～A”的真值是_______________。

(13) 集合上A={1,2,3}有_________个二元关系，其中等价关系有__________个。

(14) 设：P(x):x是马，Q(x):x是驯服的，R(x):x是训练，S(x):x是良好的，T(x,y):x
经过y ，则在一阶逻辑中符号化“任何驯服的马都经过良好的训练”为：
____________________________________________________________________。

二 根据要求解答（70%）:
【(15)～(18)必作，(19)～(23)任选3道，写在答题纸上。

】
(15) (16％)构造证明：
(15.1) (P →(Q →S), P ∨¬R, Q ├ R →S ；
(15.2) 前提：∀x(P(x)∨Q(x)), ∀x (Q(x) →¬ R(x)), ∃xR(x), 结论：∃x P(x)；
(16) (9％)证明：如果x,y ∈A, 则<x,y>∈℘(℘(A))。

(17) (9％) A ＝{a,b}，试找出A 上的所有的具有对称性的二元关系。

(18) (9％)运用特征函数获得(A －B) ∩ (A －C) = ∅ 成立的充要条件
(19) (9％)符号化并证明： 如果天气不好，就一定有同学迟到；只有所有同学不迟到，考试才能准时开始；今天考试准时开始的，所以天气很好。

(20) (9％)求公式“(﹁r ∨(q →p ))→(p → (q ∨r ))”主析取范式。

(21) (9％)已知f : X →Y ，则对X 的任何子集A 、B ，试给出f [A ∩B]与f [A] ∩f [B]的关系，并证明之。

(22) 某55人的班级活动去游乐园游玩，规定单收费项目只能玩过山车、宇宙飞船及激流涌进，每项只能玩一次，每项一次收费10元，费用为560元，我们知道有10人至少玩了两种，而玩了三个项目的人有5人，问有多少同学没有玩这些单收费项目。

(23)(9％)我们知道，为了正确描述有序对，给出了一个其一种集合定义，即<a,b>={{a},{a,b}}；现在我们想类似定义三元序组，请问如下定义能否满足要求： <a,b,c>={{a},{a,b},{a,b,c}}
2007下学期期中考试试题答案
姓名学号
三
总分
一二
(16) (17) (18) (19)(20)(21)(22)(23)(24)(25)
一 选择题（20%）:将所选择的填入下面表格中。

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
C D C B D C C B C B
(1) 下面“p→q”的等价说法，不正确的是( )：
(A) p是q的充分条件；(B) q是p的必要条件；(C) q仅当p；(D) 只有q才p。

(2) 下面不是命题的是：
(A) ∀xP(x) (B) x∈{x}∪{{x}} (C) A-B=∅⇔A=B (D) ∀x(P(x)∨P(y))
(3) 谓词公式∀x∃yP(x,y)的否定式为( )：
(A) ∀x∃y(¬P(x,y)) (B) ∀x∀y(¬P(x,y)) (C) ∃x∀y(¬P(x,y)) (D) ∃x∃y(¬P(x,y))
(4) 下面是一些运算的分配性表达式，不成立是( )
(A) A∩(B⊕C) = (A∩B)⊕ (A∩C) (B) A∪ (B⊕C) = (A∪B)⊕ (A∪C)
(C) (A⊕B)×C = (A×C)⊕(B×C) (D) (A－B)×C = (A×C)－(B×C)
(5) 有关关系的逆关系的说法不正确的是( )：
等价关系和相容关系的逆关系就是其本身；
(A)
(B) 偏序关系的逆关系仍然是偏序关系；
(C)
全序关系的逆关系仍然是全序关系；
(D) 良序关系的逆关系仍然是良序关系；
(6) 下面推理中，不正确的是
(A) p⇒ p∨q (B) q⇒p→q (C) ¬q∧( p→q) ⇒q (D) ¬(p→q) ⇒¬q
(7) 命题公式(p→q) ∨( p→q)的成真赋值有___个：
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(8) 下列集合运算中( )是正确的。

(A) ∅∪{∅}=∅(B) {∅,{∅}}－{{∅}}＝{∅};
(C) {∅,{∅}}－{∅}＝{∅} (D) {∅,{∅}}－∅＝{{∅}}
(9) A＝{a,b,c}, 其上的具有最小元的偏序关系有( )个
(A) 19 (B) 12 (C) 9 (D) 6
(10) 公式“∀x∃y(¬P(x,y))”的对偶式是( )：
∃x∀y(¬P(x,y))
(A) ∀x∃y(¬P(x,y)) (B)
∃x∀y(P(x,y))
(C) ∀x∃y(P(x,y)) (D)
二 填空题（10%）:将所选择的填入相应的横线上。

(11) 3个命题变元可生成______256__________个不等价的命题公式。

(12) 命题“A⊆B↔A－B⊆～A”的真值是_____T__________。

(13) 集合上A={1,2,3}有___512___个二元关系，其中等价关系有____5____个。

(14) 设：P(x):x是马，Q(x):x是驯服的，R(x):x是训练，S(x):x是良好的，T(x,y):x
经过y ，则在一阶逻辑中符号化“任何驯服的马都经过良好的训练”为： ______∀x((P(x)∧Q(x) →∃y(R(y)∧S(y)∧T(x,y)))__________。

二 根据要求解答（70%）:将写在答题纸上。

【(15)～(18)必作，(19)～(23)任选3道，写在答题纸上。

】
(15) (16％)构造证明：
(15.1) (P →(Q →S), P ∨¬R, Q ├ R →S ；
(15.2) 前提：∀x(P(x)∨Q(x)), ∀x (Q(x) →¬ R(x)), ∃xR(x), 结论：∃x P(x)；
(16) (9％)证明：如果x,y ∈A, 则<x,y>∈℘(℘(A))。

(17) (9％) A ＝{a,b}，试找出A 上的所有的具有对称性的二元关系。

(18) (9％)运用特征函数获得(A －B) ∩ (A －C) = ∅ 成立的充要条件
(19) (9％)符号化并证明： 如果天气不好，就一定有同学迟到；只有所有同学不迟到，考试才能准时开始；今天考试准时开始的，所以天气很好。

(20) (9％)求公式“(﹁r ∨(q →p ))→(p → (q ∨r ))”主析取范式。

(21) (9％)已知f : X →Y ，则对X 的任何子集A 、B ，试给出f [A ∩B]与f [A] ∩f [B]的关系，并证明之。

(22) 某55人的班级活动去游乐园游玩，规定单收费项目只能玩过山车、宇宙飞船及激流涌进，每项只能玩一次，每项一次收费10元，费用为560元，我们知道有10人至少玩了两种，而玩了三个项目的人有5人，问有多少同学没有玩这些单收费项目。

(23)(9％)我们知道，为了正确描述有序对，给出了一个其一种集合定义，即<a,b>={{a},{a,b}}；现在我们想类似定义三元序组，请问如下定义能否满足要求： <a,b,c>={{a},{a,b},{a,b,c}}
(15) 构造证明：（20）
(15.1) P →(Q →S), P ∨¬R, Q ├ R →S ；
证明：
(1) R P
(2) P ∨¬R P
(3) P T(1)(2)I
(4) P →(Q →S) P
(5) Q →S T(3)(4)I
(6) Q P
(7) S T(5)(6)I
(8) R →S CP
(15.2) 前提：∀x(P(x)∨Q(x)), ∀x (Q(x) →¬ R(x)), ∃xR(x), 结论：∃x P(x)； 证明：
(1) ∃xR(x) P
(2) R(a) T(1)EI
(3) ∀x (Q(x) →¬ R(x)) P
(4) Q(a) →¬ R(a) T(3)UI
(5)
¬Q(a) T(2)(4)I
∀x(P(x)∨Q(x)) P
(6)
P(a)∨Q(a) T(6)UI
(7)
P(a)
T(5)(7)I
(8)
P(x) T(8)EG
(9)
∃x
(16) 证明：如果x,y∈A, 则<x,y>∈℘(℘(A))。

x,y∈A ⇒ {x} ⊆ A ∧ {x, y} ⊆ A
,⇒ {x}∈℘(A) ∧ {x, y}∈℘(A)
⇒ {{x}, {{x, y}}⊆℘(A)
⇒ {{x}, {{x, y}}∈℘(℘(A))
⇔ <x,y>∈℘(℘(A))
(17) A＝{a,b}，试找出A上的所有的具有对称性的二元关系。

具有对称性的二元关系是
(a) 恒等关系的子集
∅，{<a,a>}, {<b,b>}, {<a,a>, <b,b>}
(b) 在上述集合基础之上在增加对称有序对的其他具有对称性二元关系：
{<a,b>,<b,a>},{<a,a>,<a,b>,<b,a>}
{<b,b>,<a,b>,<b,a>}, {<a,a>, <b,b>,<a,b>,<b,a>}
(18) 运用特征函数获得(A－B) ∩ (A －C) = ∅成立的充要条件
χ(A－B) ∩ (A －C)=0
⇔χ(A－B) χ (A －C)=0
⇔(χA－χA χ B ) (χA－χA χ C ) =0
⇔χAχA－χAχAχB－χAχAχC + －χAχBχAχC=0
⇔χA－χAχB－χAχC +χAχBχC=0
⇔χA－χA(χB＋χC－χBχC)=0
⇔χA－χAχB∪C=0
⇔χA－(B∪C)=0
⇔A－(B∪C)= ∅
(19) 符号化并证明：
如果天气不好，就一定有同学迟到；只有所有同学不迟到，考试才能准时开始；今天考试准时开始的，所以天气很好。

今天天气好，q: 今天考试准时开始，P(x): x 迟到；
p:
前提：﹁p →∃xP(x)，q →∀x﹁P(x)，q
结论：p。

证明：
(1) q P
→∀x﹁P(x) P
q
(2)
∀x﹁P(x) T(1)(2)I
(3)
﹁∃xP(x) T(3)E
(4)
﹁p →∃xP(x) P
(5)
(6)
p
(20) 求公式“(﹁r∨(q→p))→(p→ (q∨r))”主析取范式。

解：(﹁r∨(q→p))→(p→ (q∨r))
⇔﹁(﹁r∨(﹁q∨p)) ∨(﹁p∨(q∨r))
⇔ (r∨(q∧﹁p)) ∨(﹁p∨q∨r)
⇔r∨(q∧﹁p) ∨﹁p∨q∨r
⇔ (q∧﹁p) ∨﹁p∨q∨r
⇔﹁p∨q∨r
⇔ M4
⇔ m0∨m1∨m2∨m3∨m5∨m6∨m7
(21) 已知f: X→Y，则对X的任何子集A、B，试给出f[A∩B]与f[A] ∩f[B]的关系，并证明之。

解：对于任意的y
y∈ f[A∩B] ⇔∃x(x∈A∩B ∧<x,y>∈f)
⇔∃x(x∈A∧x∈B ∧<x,y>∈f)
⇔∃x(x∈A∧<x,y>∈f∧x∈B ∧<x,y>∈f)
⇒∃x(x∈A∧<x,y>∈f )∧∃x (x∈B ∧<x,y>∈f)
⇔ y∈f [A] ∧y∈f[B]
⇔ y∈f [A] ∩f[B]；
所以f[A∩B] ⊆f [A] ∩f[B]；
y∈f [A] ∩f[B] ⇔ y∈f [A] ∧y∈f[B]
⇔∃x1(x1∈A∧<x1,y>∈f )∧∃x2 (x2∈B∧<x1,y>∈f)
⇔∃x1(x1∈A∧y＝f (x1))∧∃x2 (x2∈B∧y＝f (x2))
(由于f是函数，对于不同的自变量，可以具有相同的函数值。

)
⇔∃x1∃x2 (x1∈A∧y＝f (x1))∧x2∈B∧y＝f (x2))
无法推出∃x(x∈A∧<x,y>∈f∧x∈B ∧<x,y>∈f)
⇒∃x(x∈A∧<x,y>∈f )∧∃y (x∈B ∧<x,y>∈f)
⇔ y∈f [A] ∧y∈f[B]
⇔ y∈f [A] ∩f[B]；
所以仅仅是子集关系。

(22) 某55人的班级活动去游乐园游玩，规定单收费项目只能玩过山车、宇宙飞船及激流涌进，每项只能玩一次，每项一次收费10元，费用为560元，我们知道有10人至少玩了两种，而玩了三个项目的人有5人，问有多少同学没有玩这些单收费项目。

设玩过山车、宇宙飞船及激流涌进的人构成的集合分别为A、B、C.
没有玩过这三个单收费项目的人集合为D
则|D|+|A∪B∪C|＝55；
|D| ＝ 55 － |A∪B∪C|
＝ 55 － (|A|+|B|+|C|－| A∩B|－| B∩C|－| A∩C|＋| A∩B∩C |) 由于费用总共费了560元，而每次需要10元，所以共玩了560/10=56次，
即|A|+|B|+|C|＝56。

题意得知至少玩两种的人集合应为：
(A∩B) ∪(B∩C) ∪ ( A∩C)
即|(A∩B) ∪(B∩C) ∪ ( A∩C)| = 30
= | A∩B|＋| B∩C|＋| A∩C| －2 | A∩B∩C |
| A∩B|＋| B∩C|＋| A∩C| ＝ 10 ＋ 2 | A∩B∩C |
A∩B∩C正是玩了三种项目的人集合。

| A∩B∩C | ＝ 5 |D|
＝ 55 － (56－10 －| A∩B∩C |)
= 55 －(56 － 15)
= 14
(23) 我们知道，为了正确描述有序对，给出了一个其一种集合定义，即<a,b>={{a},{a,b}}；现在我们想类似定义三元序组，请问如下定义能否满足要求：
<a,b,c>
={{a},{a,b},{a,b,c}}
要使得所定义的表达式满足三元序组的条件，需要元素顺序不同，表达的三元序组也不同，
显然<a,b,c>＝{{a},{a,b},{a,b,c}} ≠ {{b},{a,b},{a,b,c}} ＝ <b,a,c>；
即三元素不同时，顺序改变，表示的三元序组不同，
但<a,a,c> ＝ {{a},{a,a},{a,a,c}} ={{a},{a,c}}
<a,c,a>
＝{{a},{a,c},{a,c,a}} = {{a},{a,c}}
即<a,a,c> ＝<a,c,a>，这种定义表示的这俩种三元序组相同，但实际的这两种三元序组是不同的，所以题中所给定义不符合要求。