分类计数原理和分步计数原理

法。 （牢记：步骤数n是指数！）
练习
1. 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从 1楼到5楼共有多少种不同的走法?
答： 3×3×3×3=34=81（种）
3. 四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位 作自己的导师，共有__3_4___种选法；三名教授 各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有 _4_3___种选法。
2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准， 然后对每步方法计数.
分类加法计数原理： 完成一件事，有n类 办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法， 在第2类方法中有 m2 种不同的方法，…， 在成第 这n件类事办共法有中N有＝mmn1 种＋不m2同＋的方…法，＋那m么n 完 种不同的法
分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步
N 3 2 6.
答：有6种不同的选法。
不同排法如下图所示
日班 晚班
乙
甲
丙
乙
甲 丙
丙
甲 乙
练习
P86 练习 2、3、4、5
相应的排法
日班 晚班
甲
乙
甲
丙
乙
甲
乙
丙
丙
甲
丙
乙
例4 有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数 （各位上的数字许重复）？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：
3+2&#，有n类办法，在第1类办法中 有m1 种不同的方法，在第2类方法中有 m2 种 不同的方法，…，在第n类办法中有mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有
N＝m1 ＋m2 ＋ … ＋mn
种不同的方法
说明 1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要
计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理
2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
问题3 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地， 再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3 班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？
火车1
汽车1
甲
丙
火车2
乙
火 车 3 3 2 6(种） 汽 车 2
种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有
种取法。
4+3+2=9
分类时要做到不重不漏
答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。
(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1 步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种 取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知, 共有
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第 一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，… …， 做第n步有mn种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m1× m2×… …×mn 种不同的方法。 ２．分类计数原理和分步计数原理的
共同点：都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；
不同点：前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类 完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就 用分步计数原理。
作业：课本97页习题10.1中第
1，5，6题
N=10×10×10×10=104
答：可以组成10000个四位数字号码。
本题的特点是数字可以重复使用，例如0000， 1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每 一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数
N=104 。
一般的，完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法
数相同，都是m, 则完成这件事共有 m n 种不同方
火车1－汽车1 火车1－汽车2 火车2－汽车1 火车2－汽车2 火车3－汽车1 火车3－汽车2
分析: 从甲地经 丙地去乙地有2步,
第一步, 由甲地去丙地有3种方法, 第二步, 由丙地去乙地有2种方法, 从甲地经 丙地去乙地共有 3 ×2 = 6 种不同的方 法。
与分类加法计数原理进行类比 分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同的办法，在
例3 要从甲、乙、丙3名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的 选法？
解：从3名工人中选出2名分别上日班和晚班， 可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上 晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有 3种选法；上日班的工人选定后再选1名上晚 班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数 原理,所求的不同的选法数是
2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个 小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确 定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军， 此外还决出了第三、第四名．问一共安排了 多少场比赛？
要回答上述问题，就要用到排列、组合的知 识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗 略地说，排列、组合方法就是研究按某一规 则做某事时，一共有多少种不同的做法．
分步乘法计数原理
m 完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步有 1 种 m 不ｎ同步的有方m法n ，种做不第同2的步方有法．2那种么不完同成的这方件法事…共…有做第
N＝ m1 m2 ... mn 种不同的方法．
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
汽车1 汽车2
兰州
3+2=5（种）
分析: 从西宁到兰州有2类方法,
第一类方法, 乘火车，有3种方法;
第二类方法, 乘汽车，有2种方法;
所以 从西宁到兰州共有 3+ 2 = 5 种方法 。
分类加法计数原理
完成一件事，有两类不同的办法，在第1 类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中 有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有
第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个 数字，共有5种选法；
第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这 仍有5种选法；
第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。
根据分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：
N = 5 ×5 ×5 = 53 = 125
答：可以组成125个三位数。
学生练习
1．乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + ｃ5 )展开后 共有项？
第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有 n 种不同的方 法,那么完成这件事共有， N ＝ m ＋ n种不同的方法。
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有 m 种不同的方法，做第2步有 n 种不同的方法．那 么完成这件事共有
N＝ m × n 种不同的方法．
在运用排列、组合方法时，经常要用到分类 计数原理与分步计数原理，下面我们举一些 例子来说明这两个原理．
问题 1. 暑假期间你打算约好朋友一起从
西宁到兰州旅游，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有3 班, 汽车有2班。 那么一天中乘坐这些交通工具从西宁到兰 州共有多少种不同的走法?
西宁
火车1 火车2 火车3
m m 骤种不，同做的第方1步法有……1做种第不ｎ同步的有方m法n，种做不第同2的步方有 2
法．那么完成这件事共有
N＝ m1 m2 ... mn 种不同的方法．
分类计数原理与分步计数原理的联系和区别
分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有 关做一件事的不同方法总数的问题．区别在于： 分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各 种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做 完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步 骤都完成才算做完这件事．
例题
例1 书架的第1层放有4本不同的计算机书， 第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本 不同的体育书。
（1）从书架上任取一本书，有多少种 取法？
（2）从书架的第1、2、3层各取1本书, 有多少种不同的取法?
注意区别“分类”与“分 步”
解 : (1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3
N＝m ＋n
种不同的方法
练习1
1． 一件工作可以用两种方法完成。有5人 会用第一种方法完成，另有4人会用第二种 方法完成。选出一个人来完成这件工作， 共有多少种选法？
5+4=9
问题 2. 暑假期间你打算约好朋友一起从西 宁到兰州旅游，可以乘火车，也可以乘汽 车。一天中，火车有3 班, 汽车有2班，飞 机有1班。那么一天中乘坐这些交通工具从 西宁到兰州共有多少种不同的走法?
３×４×５＝６０
2、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数
是( C ) A. 12
B.64
C.81
D.7
3、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的 可能方式有 （ A ）种
A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对
总结：
１．分类计数原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一 类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方 法，… …，在第n类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事 共有 N= m1+ m2+… …+ mn 种不同的方法。
种取法。
4×3×2=24
分步时做到不缺步
答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的 取法。
例2 一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共 10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?
解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个 拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨 号盘上各取1个数字组成的个数是