2014届高考数学一轮复习名师首选第13章71《二阶矩阵与变换》学案

学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换
导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．
自主梳理
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy 中，由⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称
为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d 称为________，其中a ，b ，c ，d
称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a b c d 与
列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．
3．几种常见的线性变换
(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 1；
(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；
(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
k 1 00 k 2，
表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k 1，k 2均为非零常数；
(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________，
若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 0k 1.(其中k 为非零常数)．
4．线性变换的基本性质
设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x 1y 1，β
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝__________. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝__________，②M (α＋β)＝______________________________.
(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
自我检测
1．点A (3，－6)在矩阵⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤
1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________． 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 0－1，则它表示的方程组为______________．
3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 －10 1，矩阵A 所确定的变换将点P (x ，y )变换成点Q ，则Q 点的坐标为
________．
4．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
1
k 0
1对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为____________________．
5．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；
(2)设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求l 的方程．
探究点一 几种常见的变换
例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，方程为y ＝2x ＋2； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，点A (2,5)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，曲线方程为x 2＋y 2＝4.
变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 2变换后，
再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐
标为________．
探究点二 矩阵的乘法及几何意义
例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.
变式迁移2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 22 22
－22 22
，求证：MN ＝NM .
探究点三 矩阵与变换的综合应用
例3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M ＝错误!，航空可用矩阵表示为N ＝错误!.
(1)试从NM 的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？
(2)请计算M 2
，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？ (3)请计算MNM ，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？
变式迁移3 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，B ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos β －sin βsin β cos β，试求AB ，并对其几
何意义给予解释．
1．常见的变换矩阵
(1)恒等变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1；(2)伸压变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 k ；(3)反射变
换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1，M 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－1 0 0 －1；(4)旋转变换矩阵为M ＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ；(5)投影变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 00 1；(6)切变变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 0k 1.
2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律． 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .
课后练习
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (左)乘向量⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
p q 的法则是________．
2．在某个旋转变换中，顺时针旋转π
3
所对应的变换矩阵为________．
3．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1 00 －1的变换后得到的直线方程为________．
4．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
a 10
b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线x －y －2＝0，则a ＝
________，b ＝________.
5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
5 －23 1.则AB ＝________，AC ＝________.
6．曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为________．(其中M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1 00 2，N ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 00 1.)
7．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，△OAB 在矩阵MN
的作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00 －1，N ＝
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1
220
2
2
)． 8．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－1＝________.
二、解答题(共42分)
9．(14分)已知矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1，向量β＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12.求向量α，使得A 2
α＝β.
10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－
2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤
0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．
11．(14分)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦
⎤2－2 0
0.
①求实数a ，b ，c ，d 的值；
②求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．
学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换
答案
自主梳理
1．二阶矩阵 元素 3.(2)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos θ －sin θsin θ cos θ
(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 (4)k 1 k 2 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 00
0 (6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1
k 0
1 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
λ
x λ
y ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 1＋x 2y 1＋y 2 (1)λM α M α＋M β
自我检测
1．(9，－3) 2.⎩
⎪⎨
⎪⎧
4x －2y ＝0
3y ＝－1 3.(x －y ，y )
4．1∶1
解析 由题意知T M 为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．
5．(1)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 23 4 (2)x ＋y ＋2＝0
解析 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2.∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＝－1
c －
d ＝－1.
①
⎩⎪⎨⎪⎧
－2a ＋b ＝0
－2c ＋d ＝－2
.②
由①②联立得a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，
故M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 23 4.
(2)设(x ′，y ′)为l 上任意一点，在经矩阵M 变换下对应的点为(x ，y )，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′＋2y ′y ＝3x ′＋4y ′， 代入x －y －4＝0得x ′＋y ′＋2＝0， 即x ＋y ＋2＝0. 课堂活动区
例1 解题导引 对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形 (如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．
解 (1)所给方程表示的是一条直线．
设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A ′(x ′，y ′)． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴x ＝x ′，y ＝y ′.
变换后的方程仍为y ＝2x ＋2. ∴该变换是恒等变换．
(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换． (3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变
换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x 1y 1，
∴2x ＝x 1，y ＝y 1.
将之代入到x 2＋y 2
＝4可得方程x 214＋y 12
4
＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变
换是伸压变换．
变式迁移1 (－8,2) 解析 由题意知
⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤24 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－8 2
例2 解题导引 ①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN 的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．
②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a 先实施变换f ，再实施变换g 与先实施变换g ，再实施变换f ，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f (g (a ))和g (f (a ))．
解 等式右边表示的是对点(x ，y )先作沿x 轴的切变变换得(x ＋y ，y )，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x ＋y,2y )，最后将得到的点作沿y 轴的切变变换得(x ＋y ，x ＋3y )．等式左边表示的是将点(x ，y )作如下变换：
⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x ＋y x ＋3y ，即它也是将点(x ，y )变成了点(x ＋y ，x ＋3y )，因此，等式两边表示的变换相同，所以有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 10 1
变式迁移2 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 22 22
－22 22
＝⎣
⎢⎢⎡
⎦
⎥⎥⎤2＋6
4 2－646－2
4
6＋24， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22
－22 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3
232 12＝⎣
⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2＋6
4 2－646－2
4
6＋24
， 故MN ＝NM .
例3 解题导引 M 的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N 的意义表示航空的网络图为甲→乙．
解 (1)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 10 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行．
(2)M 2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆路的旅行．
(3)MNM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
0 11 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，
然后再陆路的旅行．
变式迁移3 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
cos β －sin βsin β cos β
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos αcos β－sin αsin β －cos αsin β－sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β －sin αsin β＋cos αcos β
＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
α＋
β －α＋β
α＋
β α＋β
AB 表示的变换为逆时针旋转α＋β.
A 表示逆时针旋转α，
B 表示逆时针旋转β. 课后练习区
1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ap ＋bq cp ＋dq
2.⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤ 12 32－32 12
解析 顺时针旋转π3即逆时针旋转5
3π，
变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤cos 5π3 －sin 53
π
sin 5π3 cos
5π3
＝
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos π
3 sin π3－sin π3 cos π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 3
2－32 12.
3．2x ＋y ＋1＝0
解析 由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ′＝－x y ′＝－y
，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－x ′y ＝－y ′
，
代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0.
即2x ＋y ＋1＝0. 4．2 －1
解析 在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)，
则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ，
得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，
于是由a 1＝1－b 1＝－2－1
，解得a ＝2，b ＝－1.
5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1 －7－2 14 解析 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1 －7－
2 14，
AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.
6．y ＝2sin 2x
解析 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12 0 0 2， 即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤12x 2y ， 则12
y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x . 7．1
解析 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.
8.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2－4 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0. 由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2－4. 9．解 A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3 24 3.(4分) 设α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ，由A 2α＝β，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3 24 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，(7分) 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.(14分) 10．解 由题设得MN ＝⎣⎡
⎦⎤k 00 1 ⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.(4分)
由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦
⎤ 0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．(10分) 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，
由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.(14分)
11．解 方法一 ①由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(6分)
②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)．
由⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦
⎤00， ⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦
⎤－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(－2,2)．(12分) 从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .(14分) 方法二 ①同方法一．
②设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎡⎦
⎤－2x 2x 得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .。