江南区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

江南区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知a ＞b ＞0，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．﹣a ＞﹣b
B ．a+c ＜b+c
C ．（﹣a ）2＞（﹣b ）2
D ．
2． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5 B ．18
C ．24
D ．36
3． 函数f （x ）=ax 2+bx 与f （x ）=log x （ab ≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． △A B C 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =
b =6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4
π
B ．
4
π
或
34
π C ．
3
π
或
23
π D ．
3
π
5． 设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ）
A ．﹣1+i
B ．﹣1﹣i
C ．1+i
D ．1﹣i
6． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
7． 利用独立性检验来考虑两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X 和Y 有关系”的可信度，如果k ＞5.024，那么就有把握认为“X 和Y 有关系”的百分比为（ ）
P （K 2＞k ） 0.50
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A．25% B．75% C．2.5% D．97.5%
8．圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的1
2
，则圆锥的体积（）
A.缩小到原来的一半
B.扩大到原来的倍
C.不变
D.缩小到原来的1 6
9．设函数f（x）的定义域为A，若存在非零实数l使得对于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为I上的l高调函数，如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且函数f（x）为R上的1高调函数，那么实数a的取值范围为（）
A．0＜a＜1 B．﹣≤a≤C．﹣1≤a≤1 D．﹣2≤a≤2
10．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）
A．{5，8} B．{7，9} C．{0，1，3} D．{2，4，6}
11．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（）
A．B．C．D．
12．已知三棱锥A﹣BCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在棱OA 上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为（）
A．B．或36+C．36﹣D．或36﹣
二、填空题
13．已知命题p：实数m满足m2+12a2＜7am（a＞0），命题q：实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为．
14．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，
且θ∈[
，
]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．
15．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．
16．已知函数()ln a f x x x
=+
，(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤
恒
成立，则实数的取值范围是 ．
17．要使关于x 的不等式2
064x a x ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________.
【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.
18．已知tan β=，tan （α﹣β）=，其中α，β均为锐角，则α= ．
三、解答题
19．设函数f （x ）=x 2e x ． （1）求f （x ）的单调区间；
（2）若当x ∈[﹣2，2]时，不等式f （x ）＞m 恒成立，求实数m 的取值范围．
20．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围．
21．【泰州中学2018届高三10月月考】已知函数()(),,x
f x e
g x x m m R ==-∈. （1）若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求实数m 的值； （2）记()()()
h x f x g x =⋅，求()h x 在[]0,1上的最大值； （3）当0m =时，试比较()
2f
x e -与()g x 的大小.
22．火车站北偏东方向的
处有一电视塔,火车站正东方向的
处有一小汽车,测得
距离为31
,
该小汽车从
处以60
的速度前往火车站,20分钟后到达
处,测得离电视塔21
,问小汽车到火车站还需
多长时间？
23．已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0
（1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
24．（本小题满分12分）
已知椭圆C 的离心率为
2
，A 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的
动点，且P A P B 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.
江南区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵a＞b＞0，∴﹣a＜﹣b＜0，∴（﹣a）2＞（﹣b）2，
故选C．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．
2．【答案】D
【解析】解：二项式（
x+）4展开式的通项公式为T r+1
=•x4﹣2r，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a5，
∴a3a7=a52=36，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．3．【答案】D
【解析】解：A、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=
﹣＞0
，则，不符合对数的底数范围，A不正确；
B、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=
﹣＞0
，则，不符合对数的底数范围，B不正确；
C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或
x=
，由图得
，则，所以f（x）
=log x在定义域上是增
函数，C不正确；
D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或
x=
，由图得
，则，所以f（x）
=log x在定义
域上是减函数，D正确．
【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．
4．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
()
s in0,,
s in24
s in
6
B B B
B
π
π
=∴=∈∴=或
3
4
π，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数. 5．【答案】A
【解析】解：∵复数z满足z（1﹣i）=2i，
∴z==﹣1+i
故选A ．
【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．
6． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2
+（a+6）x ﹣1，
有f ′（x ）=3x 2
+2ax+（a+6）．
若f （x ）有极大值和极小值，
则△=4a 2
﹣12（a+6）＞0，
从而有a ＞6或a ＜﹣3， 故选：C ．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：∵k ＞5、024，
而在观测值表中对应于5.024的是0.025， ∴有1﹣0.025=97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”，
故选D ． 【点评】本题考查独立性检验的应用，是一个基础题，这种题目出现的机会比较小，但是一旦出现，就是我们
必得分的题目．
8． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来
的倍，底面半径缩短到原来的12
，则体积为2
2
2111(2)3
2
6
V r h r h ππ=
⨯
=
，所以
12
2V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1
9． 【答案】 B
【解析】解：定义域为R 的函数f （x ）是奇函数， 当x ≥0时，
f（x）=|x﹣a2|﹣a2=图象如图，
∵f（x）为R上的1高调函数，当x＜0时，函数的最大值为a2，要满足f（x+l）≥f（x），
1大于等于区间长度3a2﹣（﹣a2），
∴1≥3a2﹣（﹣a2），
∴﹣≤a≤
故选B
【点评】考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，用图解决问题的能力，属中档题．
10．【答案】B
【解析】解：由题义知，全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，
所以C U A={2，4，6，7，9}，C U B={0，1，3，7，9}，
所以（C U A）∩（C U B）={7，9}
故选B
11．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
12．【答案】D
【解析】
【分析】由于长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，故MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积，利用体积分割及球体的体积公式即可．
【解答】解：因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动，另一个端点N在△BCO内运动（含边界），有空间想象能力可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与
三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的或该三棱锥减去此球体的，即：或
．
故选D
二、填空题
13．【答案】[，]．
【解析】解：由m2﹣7am+12a2＜0（a＞0），则3a＜m＜4a
即命题p：3a＜m＜4a，
实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，
则，
，解得1＜m＜2，
若p是q的充分不必要条件，
则，
解得，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q 的等价条件是解决本题的关键．
14．【答案】[，﹣1]．
【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；F（﹣c，0）；
∵AF⊥BF，
∴=0，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，
cos2α==2﹣，
故cosα=，
而|AF|=，
|AB|==2c，
而sinθ=
==，
∵θ∈[，]，
∴sinθ∈[，]，
∴≤≤，
∴≤+≤，
∴，
即，
解得，≤e≤﹣1；
故答案为：[，﹣1]．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
15．【答案】345
【解析】
考
点：点关于直线对称；直线的点斜式方程. 16．【答案】2
1≥a
【解析】
试题分析：'
2
1()a f x x
x
=
-
，因为(0,3]x ∈，其图象上任意一点00(,)P x y 处的切线的斜率12
k ≤
恒成立，
2
112
a x
x
∴
-
≤
，(0,3]x ∈，x x a +-
≥∴2
2
1，(0,3]x ∈恒成立，由2
111,2
2
2
x x a -
+≤
∴≥
．1
考点：导数的几何意义；不等式恒成立问题．
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义；不等式恒成立问题等知识点求函数的切线方程的注意事项：（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点． （2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．（3）在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．
17．【答案】±.
【解析】分析题意得，问题等价于2
64x a x ++≤只有一解，即2
20x a x ++≤只有一解，
∴2
80a a ∆=-=⇒=±±.
18．【答案】 ．
【解析】解：∵tan β=，α，β均为锐角，
∴tan（α﹣β）===，解得：tanα=1，
∴α=．
故答案为：．
【点评】本题考查了两角差的正切公式，掌握公式是关键，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）…
令
∴f（x）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）；
单减区间为（﹣2，0）．…
（2）令
∴x=0和x=﹣2，…
∴
∴f（x）∈[0，2e2]…
∴m＜0…
20．【答案】
【解析】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣
；
若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．
若p∨q为真，￢p为真，
则p为假命题，q为真命题．
∴．
∴实数m的取值范围是或．
【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．【答案】（1）1m =-；（2）当1
e m e <-时，()()m ax 1h x m e =-；当1
e m e ≥
-时，()m ax h x m =-；
（3）()
()2f
x e
g x ->.
【解析】试题分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m 的讨论；（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
试题解析：（1）设曲线()x
f x e =与()
g x x m =-相切于点()00,P x y ，
由()x f x e '=，知0
1x
e =，解得00x =，
又可求得点P 为()0,1，所以代入()g x x m =-，得1m =-.
（2）因为()()x
h x x m e =-，所以()()()()[]1,0,1x x x h x e x m e x m e x =+-=∈'--.
①当10m -≤，即1m ≤时，()0h x '≥，此时()h x 在[]0,1上单调递增， 所以()()()m ax 11h x h m e ==-；
②当011m <-<即12m <<，当()0,1x m ∈-时，()()0,h x h x '<单调递减， 当()1,1x m ∈-时，()()0,h x h x '>单调递增，()()()0,11h m h m e =-=-. （i ）当()1m m e -≥-，即
21
e m e ≤<-时，()
()m ax
0h x h m ==-；
（ii ）当()1m m e -<-，即11
e m e <<
-时，()()()m ax 11h x h m e ==-；
③当11m -≥，即2m ≥时，()0h x '≤，此时()h x 在[]0,1上单调递减， 所以()()m in 0h x h m ==-. 综上，当1
e m e <-时，()()m ax 1h x m e =-；
当1
e m e ≥
-时，()m ax h x m =-.
（3）当0m =时，()
()2
2,x f
x e
e
e
g x x --==，
①当0x ≤时，显然()
()2f
x e g x ->；
②当0x >时，()
()2
22
ln ln ,ln ln x f
x e
x e
e e
g x x ---===，
记函数()22
1ln ln x x
x e x e x e
φ-=-=⨯-，
则()2
2
111x
x x e e
e
x
x
φ-=
⨯-
=-
'，可知()x φ'在()0,+∞上单调递增，又由()()10,20φφ''知，()x φ'在
()0,+∞上有唯一实根0x ，且012x <<，则()
02
00
10x x e
x φ--
'==，即02
1x e
x -=
（*），
当()00,x x ∈时，()()0,x x φφ'<单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x φφ'>单调递增， 所以()()02
00ln x x x e x φφ-≥=-，
结合（*）式02
1x e
x -=
，知002ln x x -=-，
所以()()()2
2
000000
121
120x x x x x x x x x φφ--+≥=+-=
=
>，
则()2
ln 0x x e x φ-=->，即2
ln x e x ->，所以2
x e
e x ->.
综上，()
()2f
x e
g x ->.
试题点睛：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小． 22．【答案】
【解析】 解:由条件
=
,设
,
在中,
由余弦定理得
.
=.
在中,由正弦定理,得
（
）
（分钟）
答到火车站还需15分钟.
23．【答案】 【解析】解：p
：，q ：a ≤x ≤a+1；
∴（1）若
a=，则q
：；
∵p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；
∴，∴；
∴实数x 的取值范围为；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，即由p 能得到q ，而由q 得不到p ；
∴
，∴
；
∴实数a 的取值范围为
．
【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系，以及充分不必要条件的概念．
24．【答案】（1）2
2
14
2
x
y
+
=；（2）22[2,7)F M F N ∈-.
【解析】
试
题解析：（1）根据题意知2
c a
=
，即
22
12
c a
=
，
∴
2
2
212
a b a
-=
，则2
2
2a b =，
设(,)P x y ，
∵(,)(,)P A P B a x y a x y =-----，
2
2
2
2
2
22
22
1()2
2
2
a
x
x a y
x a x a =-+=-+
-
=
-，
∵a x a -≤≤，∴当0x =时，2
m in ()22
a
P A P B =-=-，
∴2
4a =，则2
2b =.
∴椭圆C 的方程为
2
2
14
2
x
y
+
=.
11
11]
设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122
12x x k
+=-+，2
122
4(1)
12k
x x k
-=
+，
∵211(2,)F M x y =-
，222()F N x y =-，
∴2
22121212)2(F M F N x x x x k x x =-
++++
+
2
2
2
1212(1))22k x x x x k =++-+++
2
2
2
2
2
2
2
4(1)
42(1)
2(1)
221212k
k
k k k
k
k
--=++
-++++
2
9712k
=-
+.
∵2
121k +≥，∴2
10112k
<≤+.
∴2
97[2,7)12k
-
∈-+.
综上知，22[2,7)F M F N ∈-.
考点： 1、待定系数法求椭圆的标准方程；2、平面向量的数量积公式、圆锥曲线中的最值问题.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.。