波长漂移对菲涅尔透镜影响的严格矢量分析

文章编号:100222082(2008)0520830203
波长漂移对菲涅尔透镜影响的严格矢量分析
贾文武,汪岳峰,黄　峰
(军械工程学院光学与电子工程系,河北石家庄050003)
摘　要:　为了严格分析入射光波长相对相位型菲涅尔透镜的设计波长发生漂移时对其聚焦特性的影响,采用时域有限差分方法作为严格的矢量分析工具,得到了相位型菲涅尔透镜的光焦度与入射光波长以及衍射效率与入射光波长的关系曲线。

仿真结果表明:与标量理论结果类似,菲涅尔透镜光焦度随入射光波的增加总体呈线性上升趋势,衍射效率随入射光波长漂移时设计波长下降,且衍射效率低于标量理论分析结果。

关键词:　菲涅尔透镜;波长漂移;光焦度;衍射效率;矢量分析
中图分类号:O 438 文献标志码:A
R igorous vector ana lysis for effect of wavelength dr if t on Fresnel len s
J I A W en 2w u ,W AN G Yue 2feng ,HUAN G Feng
(D epartm ent of Op tics and E lectron Engineering ,O rdnance Engineer Co llege ,Sh ijiazhuang 050003,Ch ina )
Abstract :In o rder to analyze the effect of the inciden t w avelength drift from the design
w avelength of p hase F resnel len s on the focu sing p roperty of phase F resnel len s ,the dependen t cu rves of focal pow er 2w avelength and diffractive efficiency 2w avelength fo r the phase F resnel len s
w ere ob tained by adop ting the fin ite 2difference ti m e 2dom ain m ethod (FD TD )as a rigo rou s vecto r analysis too l
.T he si m u lati on resu lts show that the focal pow er of a F resnel len s increases w ith the w avelength ,w h ich is si m ilar to the resu lt of scale theo ry ,the diffractive efficiency declines w ith the drifting of the inciden t w avelength ,and it is low er than the analysis resu lt of scale theo ry .
Key words :F resnel len s ;w avelength drift ;focal pow er ;diffractive efficiency ;vecto r analysis
引言
相位型菲涅尔透镜是一种非常重要的二元光学器件,它能够使光学系统实现微型化、阵列化、集成化以及经济化的目的,在半导体激光光束整形、二元光学阵列发生器等领域中均有重要的应用[1]。

当菲涅尔透镜的口径较大时,边缘的线宽将会变得很窄,因此人们逐渐开始采用严格的矢量分析方法对其特性进行分析[225]。

时域有限差分(fin ite 2difference ti m e 2dom ain ,
FD TD )是对
M axw ell 方程进行数值求解的有效方法。

该法简
单、直观、容易掌握,成为常用的矢量分析工具之一。

而在菲涅尔透镜的某些应用中,其入射激光波长将受到温度等环境因素的影响而发生漂移,这对于具有针对特定波长设计的表面浮雕结构的菲涅尔透镜的聚焦特性将会产生影响。

因此本文采用了FD TD 方法作为严格的矢量分析工具,对入射光的波长发生漂移时其对菲涅尔透镜的聚焦特性的影响进行了分析。

收稿日期:2007210210;　修回日期:2007211212
基金项目:国家自然科学基金资助项目(10376044)
作者简介:贾文武(1984-),男,四川西充人,硕士研究生,主要从事衍射微光学元件设计分析以及半导体激光光束整形研究。

E 2m ail :j w w 4891@
第29卷第5期2008年9月 应用光学Journal of A pp lied Op tics
V o l .29N o.5
Sep.2008
1　FD TD原理
1.1　FD TD算法原理[3]
在各向同性、线性且与时间无关的媒质中,当不存在有源区时,M axw ell2个旋度方程为 ×E=-Λ5H5t-ΘH
×H=Ε5E5t+ΡE
式中:E为电场强度;H为磁场强度;Ε为介电常数;Λ为磁导率;Ρ为电导率;Θ为等效磁阻率。

如果入射场和散射体的结构及形状都与某一个方向(比如z方向)无关,则散射场也与该方向无关,问题可以简化为二维表达式。

对菲涅尔透镜材料来讲多为非磁、电中性、线性各向同性介质,因此Ρ=0,Θ=0。

以二维TM波为例,此时二维M axw ell 旋度方程可以表述如下:
5E z
y=-Λ5H x t
5E z
5x=Λ5H y 5t
Ε5E z5x=5H y5x-5H x5y
根据Yee氏差分算法,对上述M axw ell方程在时间与空间域离散并进行数值计算可以得到方程的数值解。

1.2　时间步长和空间步长的选定
为了保证算法的数值稳定性,必须使时间步长∃t和空间步长∃s满足Cou ran t稳定条件[3]:
c∃t≤
1
1
(∃x)2+
1
(∃y)2+
1
(∃z)2
式中c为介质中的光速。

对二维情况,且∃x=∃y=∆时,在实际计算中取∃t=∆
2c
,这样可以保证数值计算中时间步长小于电磁波传播一个空间步长所需的时间,使因果关系不被破坏。

这就是数值稳定条件的物理意义。

除了保证算法的数值稳定性外,还要尽可能消除由于时域有限差分方程近似M axw ell旋度方程所引起的非物理数值色散问题。

分析表明,为了降低数值色散的影响,一般要求对应的传输波长小于12个空间步长,考虑到本文中分析的衍射光学元件材料为石英,折射率为1.5,取空间步长为真空中波长的1 18,这样可以比较好地降低数值色散的影响。

1.3　吸收边界条件的设置
由FD TD算法的原理可以看出,它其实是在计算机的内存空间中模拟电磁波的传播,为了在有限的计算空间中模拟实际电磁波的无限传播特性,往往要在计算空间截断处设置吸收边界。

1994年, B erenger[4]提出了一种有效的吸收边界条件,即完全匹配层(perfectly m atched layer,PM L),该边界通常引起非常小的数值反射。

PM L媒质表面的反射系数是乘积Ρ∆的函数,为了防止电导率的跃变过大带来数值反射,实际计算中取PM L媒质为若干个空间步长。

由于光波波长较小,因此PM L选择为32层Yee氏网格,理论反射率定为0.01。

2　波长漂移对菲涅尔透镜聚焦特性影响
以设计波长为Κ=0.8Λm,口径为d=50Λm,焦距为f=50Λm,材料折射率为1.5的8阶量化菲涅尔透镜为例。

菲涅尔透镜的各环带半径为r m= (f+mΚ L)2-f2。

此时菲涅尔透镜的边缘尺寸已经只有半个波长左右,可见必须对其进行严格的矢量分析。

假设入射波为TM波,垂直于菲涅尔透镜表面入射。

将菲涅尔透镜及其略大于设计焦距范围内的空间作为计算空间,按照二维Yee式网格进行网格化。

经过FD TD迭代后可以得到整个计算空间内的光场分布,改变入射光波长后可以得到不同的入射光波长下的场分布。

由FD TD
计算所得的不同入射光波长下的场分布可以分析菲涅尔透镜的焦距(光焦度)和衍射效率与波长的关系。

2.1　波长漂移对菲涅尔透镜焦距的影响
定义菲涅尔透镜的焦点为平面波入射时衍射光强的最大值点,而菲涅尔透镜的焦距则定义为焦点与透镜后表面的距离。

通过对不同波长的入射光进行FD TD仿真得到菲涅尔透镜焦距与波长的关系如图1所示。

图1　光焦度与波长关系曲线
F ig.1　Focal power versus wavelength
・
1
3
8
・
应用光学　2008,29(5)　贾文武,等:波长漂移对菲涅尔透镜影响的严格矢量分析
图中实线为FD TD 法仿真得到的透镜焦距与波长的关系曲线,严格的矢量分析表明相对于设计波长菲涅尔透镜将会发生焦距漂移,在该例中,在设计波长下矢量分析透镜的焦距为48.60Λm 。

虚线则是标量理论公式[5]f (Κ
)=1
Υ(Κ)=f 0
Κ0Κ
(f 为焦距,f 0为设计焦距,Υ为光焦度,Κ0为设计波长,Κ为入射波长)中以实际焦距代替设计焦距后得到的光焦度与波长的关系。

图1表明,尽管与标量衍射理论中菲涅尔透镜的光焦度与波长呈线性关系不一致,但是其总体呈线性上升趋势,与标量理论分析结果是一致的。

2.2　波长漂移对菲涅尔透镜衍射效率的影响
透镜的衍射效率定义为
Γ=
∑m I ′(m )∑n
I (n )
式中I ′
(m )和
I (n )分别为焦面上衍射极限内的光强值和焦面内的光强值。

1)矢量分析表明随着入射波长的变化,菲涅尔透镜的衍射效率也发生变化,其关系如图2所示。

图2　衍射效率与入射波长关系曲线
F ig .2　D iffractive eff ic iency versus i nc iden t wavelength
由图2可以知道:随着入射光波波长的变化,
衍射效率存在一个最大值,在该中心波长的两侧呈下降的趋势。

衍射效率的最大值点并不是在设计波长处,而是向长波方向发生了一些漂移。

2)与标量理论的分析结果相比,菲涅尔透镜的衍射效率小于标量理论的衍射效率。

为此考察了焦面的相对光强分布,如图3所示。

标量理论显示衍射级次越高,光强将下降,但是由图3可知低频附近相对光强分布与标量分析结果相似,而在高频处则由于菲涅尔透镜散射的影响
,相对光强度高于标量理论的结论。

如果对高频分量作滤波处理后再求其衍射效率则可达到92.3%,与标量理论的分析
基本一致。

表明菲涅尔透镜散射的高频分量是使其
衍射效率下降的主要因素。

图3　焦面相对光强分布
F ig .3　Relative light -i n ten sity distr ibution on focal plane
3　结论
本文利用二维时域有限差分法(FD TD )成功地完成了对有限口径菲涅尔透镜的严格电磁矢量分析。

对菲涅尔透镜焦距与入射波长的关系,以及衍射效率与入射波长的关系进行了数值仿真。

相信这些结论对相位型菲涅尔透镜(包括微光学器件)在入射激光的波长受温度等环境因素影响而发生漂移的应用中将具有指导意义。

参考文献:
[1]　金国藩,严瑛白,邬敏贤.二元光学[M ].北京:国防
工业出版社,1998.
J I N Guo 2fan ,YAN Y ing 2bai ,WU M in 2xian .B inary op tics [M ].
Beijing :N ati onal D efense Industry
P ress ,1998.(in Ch inese )
[2]　冯迪,严瑛白,金国藩,等.衍射微柱透镜焦深和焦移
特性的矢量分析[J ].激光技术,2003,27(5):4732476.
FEN G D i ,YAN Y ing 2bai ,J I N Guo 2fan ,et al .R igo rous
vecto r
analysis
of
diffractive m icro
cylindrical lenses ′characteristics of focal dep th and focal sh ift [J ].L aser T echno logy ,2003,27(5):4732476.(in Ch inese )
[3]　葛德彪,闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M ].西
安:西安电子科技大学出版社,2002.
GE D e 2biao ,YAN Yu 2bo .
F inite 2difference ti m e 2
dom ain m ethod in electrom agnetic w ave [M ].X i ′an :X idian U niversity P ress ,2002.(in Ch inese )
[4]　BER EN GER J P .A perfectly m atched layer fo r the
abso rp ti on
of
electrom agnetic w aves [J ].
J .
Comput .Phy .,1994(114):1852200.
(下转第836页)
・238・应用光学　2008,29(5)　贾文武,等:波长漂移对菲涅尔透镜影响的严格矢量分析
WAN G Zh i2jian,ZH EN G J ian2p ing.T he object2
i m age conjugate theo ry of op tical system s and op tical
elem ents in mo ti on[J].Journal of Changchun
Institute of Op tics and F ine M echanics,1992,15
(2):2210.(in Ch inese)
[2]　王志坚,杨自义.国家标准GB7660.1～7660.3反射
棱镜[S].北京:国家标准局,1988.
WAN G Zh i2jian,YAN G Zi2yi.N ati onal standards
GB7660.1～7660.3reflecting p ris m s[S].Beijing:
N ati onal Bureau of Standards,1988.(in Ch inese) [3]　王大鹏,周勇,洪贞启.等腰直角棱镜反射方程的推导及
其在瞄准中的应用[J].应用光学,2005,26(3):41244.
WAN G D a2peng,ZHOU Yong,HON G Zhen2qi.
T he derivati on of the iso sceles righ t2angle p ris m′s
reflecti on equati on and its app licati on to ai m ing[J].
Journal of A pp lied Op tics,2005,26(3):41244.(in
Ch inese)
[4]　郭仁慧,何勇,朱日宏,等.移相式干涉仪在锥体棱镜
角度测试中的应用[J].应用光学,2006,27(5):4502 454.
GUO R en2hui,H E Yong,ZHU R i2hong,et al.
A pp licati on of phase2sh ifting interferom eter fo r
angle test of CCR s[J].Journal of A pp lied Op tics,
2006,27(5):4502454.(in Ch inese)
(上接第832页)
[5]　H P赫尔齐克.微光学元件、系统和应用[M].北京:
国防工业出版社,2002.
H ER Z IG H P.M icro2op tics elem ents,system s and
app licati ons[M].Beijing:N ati onal D efense Industry
P ress,2002.(in Ch inese)
[6]　M A KOW SK I M,M IKULA G,SYPEK M.D iffrac2
tive elem ents w ith extended dep th of focus[J].
SP IE,2004,5484:4752481.
[7]　张良.替代柱面透镜的二元光学元件设计[J].应用光
学,2003,24(2):426.
ZHAN G L iang.T he design of BO E substitute fo r cylindrical lens[J].Journal of A pp lied Op tics,2003,
24(2):426.(in Ch inese)
・
6
3
8
・应用光学　2008,29(5) 李政阳,等:直角屋脊棱镜与立方角锥棱镜的光学特性。