高考调研北师大版数学选修2-3-2-1-2高考调研精讲精练

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解析 以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用X表示“5 箱中不合格产品的箱数”，则X服从超几何分布．这批产品被接 收的条件是5箱中没有不合格的或只有1箱不合格，所以被接收 的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝CC20C505485＋CC21C505484＝224435. 答：该批产品被接收的概率是224435(约为0.991 84)．
X x1 x2 … xi … xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
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(2)分布列的性质． 由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有 下面两个性质： ①pi≥0，(i＝1，2，3，…，n)；
n
② pi＝1．
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【解析】 随机变量ξ的可能取值为3，4，5. 当ξ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两球的 编号只能是1，2，故有P(ξ＝3)＝CC3533＝110； 当ξ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两球只 能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有P(ξ＝4)＝CC3523＝130；
i＝1
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2．两个特殊分布列
(1)两点分布列．
X
0
1
P
1－p
p
如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分
布，而称P(X＝1)＝p为成功概率．
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(2)超几何分布列．
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品
7 36
1 4
11 36
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题型二 离散型随机变量分布列的性质
例2
设随机变量ξ的分布列P(ξ＝
k 5
)＝ak(k＝1，2，3，4，
5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(ξ≥35)；
(3)求P(110<ξ<170)．
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0 （两球全红），
中摸出两球，记X＝ 1
（两球非全红），求X的分布列．
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【思路】
由X＝
0
1
（两球全红）， （两球非全红） 可知随机变量X服从
两点分布．
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【解析】 因为X服从两点分布， 则P(X＝0)＝CC16122＝131，P(X＝1)＝1－131＝181. X的分布列为
数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝
CMkCN－Mn－k CNn
，k＝0，
1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，
N∈N*.
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称分布列
X
0
1
…பைடு நூலகம்
m
P
CM0CN－Mn－0 CM1CN－Mn－1
CNn
CNn
…
CMmCN－Mn－m CNn
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答案 D 解析 在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值 表示的事件是彼此互斥的，由概率加法公式知D是错误的．
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2．设离散型随机变量X的分布列为
X －1 0
1
23
P
1 10
1 5
1 10
1 5
2 5
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当ξ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两球只
能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有P(ξ＝5)＝
C42 C53
＝
6 10
＝35.因此，ξ的分布列为
ξ
3
4
5
P
1 10
3 10
3 5
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§1 离散型随机变量及其分布列
第二课时 离散型随机变量的分布列
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1．离散型随机变量的分布列
(1)分布列的定义．
设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，
X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表
探究1 求离散型随机变量的分布列的步骤： (1)找出随机变量所有的可能值Xi(i＝1，2，3，…，n)； (2)求出相应的概率P(X＝Xi)＝Pi(i＝1，2，3，…，n)； (3)列成表格形式． 解决此类问题的关键是根据题设条件找到X的可能取值，再 利用概率的有关知识求出相应的概率，最后根据分布列的定义 写出分布列并利用性质检验分布列的正确性．
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2．离散型随机变量分布列的性质的作用 (1)检查写出的分布列是否正确． (2)在求分布列中的某些参数时，可利用其概率和为 1 这一条 件列出方程求出参数．
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3．两点分布的适用范围及对其的两点说明 (1)适用范围： ①研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律； ②研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新 生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研 究．
X
1
0
P
8 11
3 11
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探究3 两点分布中只有两个对应的结果，随机变量的取值 必须是0与1，否则，不是两点分布．
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◎思考题3 若随机变量X只能取两个值x1和x2，又知ξ取x1 的概率是取x2的概率的3倍，写出ξ的分布列，并说明是不是两点 分布？
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(2)P(ξ≥35)＝P(ξ＝35)＋P(ξ＝45)＋P(ξ＝1)＝135＋145＋155＝45， 或P(ξ≥35)＝1－P(ξ≤25)＝1－(115＋125)＝45. (3)因为110<ξ<170只有ξ＝15，25，35满足， 故P(110<ξ<170) ＝P(ξ＝15)＋P(ξ＝25)＋P(ξ＝35) ＝115＋125＋135＝25.
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请做：课时作业（十四）
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◎思考题1 将一颗骰子掷两次，求出两次掷出的最大点数 X的分布列．
【解析】 将一颗骰子连掷两次共出现6×6＝36种等可能的基
本事件，其最大点数X可能取的值为1，2，3，4，5，6.
P(X＝1)＝
1 36
，X＝2包含三个基本事件(1，2)，(2，1)，(2，
故ξ的概率分布为
X
x1
x2
P
3 4
1 4
它不是两点分布．
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课后巩固
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1．如果X是一个离散型随机变量，那么下列命题是假命题 的是( )
A．X取每个可能值的概率是非负数； B．X取所有可能值的概率之和为1； C．X取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之 和； D．X取某2个可能值的概率大于分别取其中每个值的概率 之和．
则下列各式成立的是( )
A．P(X＝1.5)＝0
B．P(X>－1)＝1
C．P(X<3)＝1
D．P(X<0)＝0
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答案 A 解析 ∵{X＝1.5}事件不存在，故P(X＝1.5)＝0.
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3．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
X
0
P
9c2－c
1 3－8c
试求出常数c的值．
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【解析】 由离散型随机变量分布列的性质，可知
90c≤2－9cc2＋－3c－≤81c，＝1，解得 0≤3－8c≤1，
c＝13.
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题型三 两点分布问题
例3 一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球，从
ξ －1
0
1
P
1 2
，则q的值为( )
1－2q q2
A．1
B．1±
2 2
C．1＋
2 2
D．1－
2 2
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答案 D
解析
q满足：
1 2
＋1－2q＋q2＝1，即2q2－4q＋1＝0，解得q
＝1± 22，∵0≤q≤1，∴q＝1－
2 2.
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为超几何分布列．此时称随机变量X服从超几何分布.
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1．对离散型随机变量分布列的三点说明 (1)离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一 切可能的值，而且也能看出取每一个值的概率的大小，从而反 映出随机变量在随机试验中取值的分布情况，是进一步研究随 机试验数量特征的基础． (2)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个 范围内各值的概率之和． (3)离散型随机变量可以用分布列、解析式、图像表示．
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探究2 要充分注意到分布列的两条重要的性质： (1)pi≥0，i＝1，2，…； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1.它是离散型随机变量的分布列所必须 要遵循的原则．
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◎思考题2 若离散型随机变量X的分布列为
2)，(x，y)表示第一枚骰子点数为x，第二枚骰子点数为y.
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P(X＝2)＝336＝112，同理可求，
P(X＝3)＝356，P(X＝4)＝376，
P(X＝5)＝14，P(X＝6)＝3116，
∴X的分布列为
X1 2 3 4 5 6
P
1 36
1 12
5 36
4．随机变量ξ的分布列如下：
ξ －1 0 1
P
a
bc
，其中a、b、c成等差数列，则P(|ξ|＝1)等于( )
1
1
A.3
B.4
1
2
C.2
D.3
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答案 D
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5．生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产 品．采购方接收该批产品的准则是：从该批产品中任取5箱产品 进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．问：该 批产品被接收的概率是多少？
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【思路】 显然由题意知，X的分布列为
ξ
x1
x2
P
p1
p2
p1＝3p2，再由分布列的性质，求出p1，p2的大小．
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【解析】 由分布列的性质知P(ξ＝x1)＋P(ξ＝x2)＝1， 又由已知，P(ξ＝x1)＝3P(ξ＝x2)， ∴4P(ξ＝x2)＝1，∴P(ξ＝x2)＝14.∴P(ξ＝x1)＝34.
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课时学案
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题型一 求离散型随机变量的分布列 例1 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同 时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的 分布列． 【思路】 由于任取三只球，就不是任意排列，而要有固定的 顺序，其中球上的最大号码只有可能是3，4，5，可以利用组合的 方法计算其概率．
【思路】 (1)利用分布列各概率和为1求a； (2)利用互斥(或对应)事件的概率公式求(2)、(3)的概率．
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【解析】 由已知分布列为：
ξ
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
Pa
2a 3a 4a 5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝115.
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(2)说明： ①两点分布又称0～1分布或伯努利分布； ②两点分布反映随机试验的结果只有两种可能且其概率之 和为1.
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4．超几何分布的理解 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和 黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组 成．