2019届大数学全国用讲义第八章立体几何与空间向量 专题突破四 含答案

高考专题突破四高考中的立体几何问题
【考点自测】
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为（)
A．相交B．平行
C．垂直相交D．不确定
答案B
解析如图取B1C1的中点为F，连接EF,DF，
则EF∥A1B1，DF∥B1B,
且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1,
∴平面EFD∥平面A1B1BA，
∴DE∥平面A1B1BA.
2．设x,y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x，y,z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x,y是平面；④x，y，z均为平面．
其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是（）
A．③④B．①③C．②③D．①②
答案C
解析由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．
3．(2018届黑龙江海林市朝鲜中学模拟）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(）
A．9＋4（错误!＋错误!) B．10＋2(错误!＋错误!)
C．11＋2(错误!＋错误!） D．11＋2(错误!＋错误!)
答案C
解析根据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形(侧视图)，其余各侧面为矩形，两底面面积为2错误!＝5，四个侧面面积为2×2＋1×2＋2×5＋2×错误!＝6＋2错误!＋2错误!,几何体的表面积为11＋2（5＋2)，故选C.
4．(2017·天津滨海新区模拟)如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论：
①BD⊥AC；
②△BAC是等边三角形;
③三棱锥D－ABC是正三棱锥；
④平面ADC⊥平面ABC。

其中正确的是（)
A．①②④B．①②③
C．②③④D．①③④
答案B
解析由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确;由①知④错．故选B.
5．（2017·沈阳调研)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件:
①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β;③b∥β，a⊂γ。

如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________．（把所有正确的序号填上)
答案①或③
解析由线面平行的性质定理可知，①正确;当b∥β,a⊂γ时,a和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.
题型一求空间几何体的表面积与体积
例1(2016·全国Ⅱ）如图，菱形ABCD的对角线AC
与BD交于点O，点E,F分别在AD，CD上，AE＝CF，
EF交BD于点H,将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5,AC＝6，AE＝错误!，OD′＝2错误!，求五棱锥D′—ABCFE 的体积．
(1)证明由已知得AC⊥BD,AD＝CD，又由AE＝CF得错误!＝错误!，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系,即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
（2)解由EF∥AC得OH
DO＝错误!＝错误!。

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝错误!＝4,
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是OD′2＋OH2＝（2错误!）2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH。

由(1）知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD,HD′⊂平面BHD′，
所以AC⊥平面BHD′,于是AC⊥OD′，
又由OD′⊥OH,AC∩OH＝O,AC,OH⊂平面ABC,所以OD′⊥平面ABC。

又由EF
AC＝错误!得EF＝错误!.
五边形ABCFE的面积S＝错误!×6×8－错误!×错误!×3＝错误!.
所以五棱锥D′—ABCFE的体积
V＝错误!×错误!×2错误!＝错误!.
思维升华(1）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解．其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积．
（2）若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
跟踪训练1(2018·乌鲁木齐质检）正三棱锥的高为1,底面边长为2错误!，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：
（1）这个正三棱锥的表面积；
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．
解(1)底面正三角形中心到一边的距离为错误!×错误!×2错误!＝错误!，则正棱锥侧面的斜高为错误!＝错误!，
∴S
侧
＝3×错误!×2错误!×错误!＝9错误!,
∴S
表
＝S侧＋S底＝9错误!＋错误!×错误!×(2错误!)2
＝9错误!＋6错误!。

（2）设正三棱锥P －ABC 的内切球球心为O ，连接OP ，OA ，OB ，OC ，而O 点到三棱锥的四个面的距
离都为球的半径r .
∴V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥O －P AB ＋V 三棱锥O －PBC ＋V 三棱锥O －P AC ＋V 三棱锥O
－ABC
＝错误!S 侧·r ＋错误!S △ABC ·r ＝错误!S 表·r ＝(32＋2错误!)r 。

又V P －ABC ＝13×错误!×错误!×(2错误!）2×1＝2错误!， ∴（32＋2错误!)r ＝2错误!, 得r ＝错误!＝错误!＝错误!－2.
∴S 内切球＝4π(错误!－2)2＝(40－16错误!）π。

V 内切球＝4
3π(6－2）3＝错误!（9错误!－22)π。

题型二 空间点、线、面的位置关系
例2 （2017·广州五校联考）如图,在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．
(1)求证：AD⊥平面PBE；
(2)若Q是PC的中点，求证：P A∥平面BDQ；
(3)若V P－BCDE＝2V Q－ABCD，试求错误!的值．
（1)证明由E是AD的中点,P A＝PD可得AD⊥PE.
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以AB＝BD,所以AD⊥BE,
又PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PBE，
所以AD⊥平面PBE。

(2)证明连接AC，交BD于点O，连接OQ。

因为O是AC的中点，Q是PC的中点，
所以OQ∥P A，
又P A⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ,
所以P A∥平面BDQ。

(3）解设四棱锥P－BCDE，Q－ABCD的高分别为h1，h2.所以V四棱锥P－BCDE＝错误!S四边形BCDE h1，
V四棱锥Q－ABCD＝错误!S四边形ABCD h2.
又V P－BCDE＝2V Q－ABCD,且S四边形BCDE＝错误!S四边形ABCD，
所以错误!＝错误!＝错误!.
思维升华（1）平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实际的解题过程中,判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
（2)垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
跟踪训练2 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC,E是BC的中点，求证：
(1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；
（2)A1C∥平面AB1E。

证明(1)在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
CC1⊥平面ABC。

因为AE⊂平面ABC，所以CC1⊥AE。

因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为BC⊂平面B1BCC1,CC1⊂平面B1BCC1，
且BC∩CC1＝C，所以AE⊥平面B1BCC1。

因为AE⊂平面AB1E，
所以平面AB1E⊥平面B1BCC1。

（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF。

在直三棱柱ABC—A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点．
又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C.
因为EF⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E,
所以A1C∥平面AB1E.
题型三平面图形的翻折问题
例3 (2016·全国Ⅱ)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD
交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD
上，AE＝CF＝错误!，EF交BD于点H。

将△DEF沿EF折到△D′EF 的位置，OD′＝错误!.
(1)证明：D′H⊥平面ABCD；
（2)求二面角B-D′A—C的正弦值．
（1）证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD。

又由AE＝CF得错误!＝错误!,故AC∥EF。

因此EF⊥HD,从而EF⊥D′H。

由AB＝5,AC＝6得DO＝BO＝错误!＝4。

由EF∥AC得错误!＝错误!＝错误!.
所以OH＝1,D′H＝DH＝3。

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH。

又D′H⊥EF,而OH∩EF＝H,
所以D′H⊥平面ABCD.
(2）解如图,以H为坐标原点，HF，HD,HD′所在直
线分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，则
H(0,0,0），
A(－3，－1，0），B(0，－5，0),C（3，－1,0），
D′（0，0,3),错误!＝(3，－4,0),错误!＝（6，0,0),错误!＝（3，1,3）．
设m＝(x1，y1,z1)是平面ABD′的法向量，则
错误!即错误!
所以可取m＝(4,3，－5）．
设n＝(x2,y2，z2）是平面ACD′的法向量，则
错误!即错误!
所以可取n＝(0，－3,1）．
于是cos〈m，n>＝错误!＝错误!＝－错误!，
sin〈m，n〉＝错误!。

因此二面角B—D′A-C的正弦值是错误!.
思维升华平面图形的翻折问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．
跟踪训练3如图（1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2,作如图(2）折叠,折痕EF∥DC。

其中点E,F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF。

(1)证明：CF⊥平面MDF；
（2)求三棱锥M－CDE的体积．
（1）证明因为PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，
所以PD⊥AD。

又因为ABCD是矩形，CD⊥AD，
PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
所以AD⊥平面PCD。

又CF⊂平面PCD，所以AD⊥CF，即MD⊥CF.
又MF⊥CF，MD∩MF＝M,MD，MF⊂平面MDF，
所以CF⊥平面MDF.
（2)解因为PD⊥DC，PC＝2，CD＝1，∠PCD＝60°,
所以PD＝错误!，由(1）知FD⊥CF,
在Rt△DCF中，CF＝1
2CD＝错误!。

如图,过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，
得FG ＝FC sin 60°＝错误!×错误!＝错误!，
所以DE ＝FG ＝错误!，故ME ＝PE ＝错误!－错误!＝错误!，
所以MD ＝ME 2－DE 2＝错误!＝错误!.
S △CDE ＝12DE ·DC ＝错误!×错误!×1＝错误!.
故V 三棱锥M －CDE ＝13MD ·S △CDE ＝错误!×错误!×错误!＝错误!.
题型四立体几何中的存在性问题
例4 (2017·安徽江南名校联考)如图，在四棱锥P-ABCD
中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，
AD＝8，BC＝10，∠P AD＝45°,E为P A的中点．
(1)求证：DE∥平面BPC；
（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB?若存在,请求出二面角F—PC-D的余弦值;若不存在，请说明理由．
(1)证明取PB的中点M,连接EM和CM，过点C作
CN⊥AB,垂足为点N。

在平面ABCD内,
∵CN⊥AB,DA⊥AB,∴CN∥DA，
又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，
∴CN＝AD＝8,DC＝AN＝6，
在Rt△BNC中，
BN＝错误!＝错误!＝6，
∴AB＝12,而E，M分别为P A，PB的中点，
∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，
∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，
∴DE∥CM.∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，
∴DE∥平面BPC。

（2）解由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直,如
图,以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y,z
轴建立空间直角坐标系Dxyz，
则A(8，0,0)，B(8,12,0)，C(0,6，0）,P（0,0,8)．
假设AB上存在一点F使CF⊥BD,设点F的坐标为(8，t，0）（0<t<12）,则错误!＝(8，t－6，0），错误!＝（8，12，0)，
由错误!·错误!＝0，得t＝错误!.
又平面DPC的一个法向量为m＝(1，0，0)，
设平面FPC的法向量为n＝（x，y，z）．
又错误!＝(0,6，－8），错误!＝错误!.
由错误!得错误!
即错误!不妨令y＝12,则n＝（8，12，9)．
则cos〈n,m〉＝错误!＝错误!＝错误!.
又由图可知，该二面角为锐二面角，
故二面角F-PC—D的余弦值为错误!。

思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
跟踪训练4（2018·成都模拟）如图,四棱柱ABCD－
A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．
（1)证明：B1C1⊥CE；
（2）求二面角B1－CE－C1的正弦值；
(3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为错误!，求线段AM的长．
(1)证明如图，以点A为原点，分别以AD，AA1，
AB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由题意得A(0,0,0)，B（0,0，2），C（1，0,1）,B1（0,2,2）,C1
（1,2，1),E（0,1，0）．
易得错误!＝(1,0，－1），错误!＝(－1，1,－1）,于是错误!·错误!＝0，
所以B1C1⊥CE.
(2)解错误!＝（1，－2，－1)．
设平面B1CE的法向量m＝（x，y,z),
则错误!即错误!
消去x，得y＋2z＝0,不妨令z＝1,
可得一个法向量为m＝(－3，－2，1)．
由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1,CC1∩CE＝C,
CC1，CE⊂平面CEC1，可得B1C1⊥平面CEC1，
故错误!＝(1，0，－1)为平面CEC1的一个法向量．
于是cos<m，错误!〉＝错误!
＝错误!＝－错误!,从而sin〈m,错误!〉＝错误!,
所以二面角B1－CE－C1的正弦值为错误!.
（3)解错误!＝（0,1,0），错误!＝(1，1，1），设错误!＝λ错误!＝(λ，λ，λ）(0≤λ≤1），则错误!＝错误!＋错误!＝（λ,λ＋1，λ）．
可取错误!＝（0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量．
设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,则
sin θ＝｜cos<错误!，错误!〉|＝错误!
＝错误!＝错误!，
于是错误!＝错误!，解得λ＝错误!（负值舍去），
所以AM＝错误!.
1．（2017·北京)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为（)
A．3错误!B．2错误!
C．2错误!D．2
答案B
解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示,
可知SD为该四棱锥的最长棱．
由三视图可知正方体的棱长为2，
故SD＝22＋22＋22＝2错误!.
故选B。

2．（2018·沈阳质检）如图所示，已知平面α∩平面β
＝l,α⊥β.A，B是直线l上的两点，C,D是平面β内
的两点，且AD⊥l，CB⊥l，DA＝4，AB＝6，CB＝8。

P是平面α上的一动点，且有∠APD＝∠BPC,则四棱锥P－ABCD体积的最大值是()
A．48 B．16 C．24 3 D．144
答案A
解析由题意知，△P AD，△PBC是直角三角形，
又∠APD＝∠BPC，所以△P AD∽△PBC.
因为DA＝4，CB＝8，所以PB＝2P A。

作PM⊥AB于点M，由题意知,PM⊥平面β。

令BM＝t，则AM＝｜6－t｜,
P A2－(6－t）2＝4P A2－t2，
所以P A2＝4t－12.
所以PM＝错误!，
即为四棱锥P－ABCD的高，
又底面ABCD为直角梯形，S＝错误!×（4＋8)×6＝36.
所以V＝错误!×36×错误!＝12错误!
≤12×4＝48。

3．(2017·云南省11校调研）设已知m，n是两条不同的直线,α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；
②若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β;
③若m∥α,n∥β，m∥n，则α∥β;
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中所有正确命题的序号是________．
答案②④
解析对于①,当两个平面互相垂直时,分别位于这两个平面内的两条直线未必垂直，因此①不正确；对于②，依据结论“由空间一点向一个二面角的两个半平面（或半平面所在平面)引垂线，这两条垂线所成的角与这个二面角的平面角相等或互补”可知②正确;对于③，分别与两条平行直线平行的两个平面未必平行，因此③不正确；对于④，由n∥β得，在平面β内必存在直线n1平行于直线n,
由m⊥α，α∥β得m⊥β,m⊥n1，又n1∥n，因此有m⊥n,④正确．综上所述，所有正确命题的序号是②④。

4。

如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，
AD∶BC∶AB＝2∶3∶4,E,F分别是AB，CD的中点，
将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论:
①DF⊥BC;
②BD⊥FC;
③平面DBF⊥平面BFC；
④平面DCF⊥平面BFC。

在翻折过程中,可能成立的结论是________．(填写结论序号)
答案②③
解析因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以
BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上
的射影为点P,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,而
AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BCF,所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误．
5。

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC 的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为________．
答案错误!
解析点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．连接DE，当P′C⊥DE 时,P′C的长度最小，此时P′C＝错误!＝错误!。

6．(2018·烟台模拟）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥B1D,BB1⊥底面ABCD，E，F，H分别为AD，CD,DD1的中点,EF 与BD交于点G.
(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D；
(2)证明：GH∥平面ACD1.
证明（1）∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1.
又AC⊥B1D,BB1∩B1D＝B1，
BB1,B1D⊂平面BB1D，
∴AC⊥平面BB1D。

∵AC⊂平面ACD1，
∴平面ACD1⊥平面BB1D。

(2)设AC∩BD＝O，连接OD1。

∵E，F分别为AD，CD的中点，
EF∩OD＝G,
∴G为OD的中点．
∵H为DD1的中点,∴HG∥OD1.
∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，
∴GH∥平面ACD1。

7．（2017·青岛质检)在平面四边形ABCD中，AB＝BD
＝CD＝1,AB⊥BD，CD⊥BD。

将△ABD沿BD折起，
使得平面ABD⊥平面BCD，如图所示．
（1）求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD的中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．(1）证明∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD,AB⊥BD，
∴AB⊥平面BCD。

又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.
（2)解过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图．
由（1）知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平
面BCD.
∴AB⊥BE，AB⊥BD。

以B为坐标原点，分别以BE,BD，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
由题意,得B（0,0,0),C（1，1,0）,D(0，1，0），A（0，0,1)，M错误!，则错误!＝(1，1，0)，错误!＝错误!，错误!＝（0,1,－1)．
设平面MBC的法向量为n＝(x0,y0，z0），
则错误!即错误!
取z0＝1,得平面MBC的一个法向量n＝(1,－1，1)．
设直线AD与平面MBC所成的角为θ,
则sin θ＝｜cos〈n，错误!〉|＝错误!＝错误!，
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为错误!.
8．(2017·郑州模拟）等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足错误!＝错误!＝错误!，如图1.将△ADE沿DE 折起到△A1DE的位置，使二面角A1—DE—B为直二面角,连接A1B，A1C，如图2。

(1)求证：A1D⊥平面BCED；
（2)在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．
（1)证明因为等边三角形ABC的边长为3,
且错误!＝错误!＝错误!，所以AD＝1，AE＝2。

在△ADE中，∠DAE＝60°,由余弦定理得
DE＝错误!＝错误!。

从而AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE。

折起后有A1D⊥DE,因为二面角A1—DE-B是直二面角，
所以平面A1DE⊥平面BCED，
又平面A1DE∩平面BCED＝DE,A1D⊥DE,
所以A1D⊥平面BCED.
(2）解存在．理由:由（1)可知ED⊥DB，A1D⊥平
面BCED.
以D为坐标原点，分别以DB，DE,DA1所在直线为x
轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
设PB＝2a(0≤2a≤3），作PH⊥BD于点H，
连接A1H，A1P，
则BH＝a，PH＝3a,DH＝2－a。

所以A1（0,0，1），P（2－a，错误!a,0),E（0，错误!,0）．
所以错误!＝(a－2,－错误!a,1)．
因为ED⊥平面A1BD,
所以平面A1BD的一个法向量为错误!＝(0，错误!,0)．
要使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°，
则sin 60°＝错误!＝错误!＝错误!，
解得a＝错误!。

此时2a＝错误!，满足0≤2a≤3，符合题意．
所以在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝错误!。

9．（2018·合肥模拟）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，
AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝错误!,四边形BFED为矩形，
平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1。

(1）求证：AD⊥平面BFED；
（2)点P在线段EF上运动,设平面P AB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
(1）证明在梯形ABCD中，
∵AB∥CD,AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝错误!，
∴AB＝2，∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos π
3＝3。

∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD。

∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE⊂平面BFED,DE⊥DB,
∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D,
∴AD⊥平面BFED。

（2）解由(1）可建立以点D为坐标原点,分别以直
线DA,DB，DE为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系,
如图所示．
令EP＝λ(0≤λ≤错误!），
则D(0,0，0)，A(1，0，0)，B（0,错误!，0），P（0，λ，1)，
∴错误!＝(－1，错误!，0)，错误!＝（0，λ－错误!，1)．
设n1＝(x,y，z）为平面P AB的一个法向量，
由错误!得错误!
取y＝1，得n1＝(3，1，3－λ）,
∵n2＝（0,1,0）是平面ADE的一个法向量，
∴cos θ＝错误!＝错误!
＝错误!。

∵0≤λ≤错误!，
∴当λ＝错误!时，cos θ有最大值错误!，
又∵θ为锐角，∴θ的最小值为错误!。

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。