上海市静安区年第二学期高三年级模拟检测数学（文、理）

上海市静安区2006年第二学期高三年级模拟检测
数学试卷
（满分150分，时间120分钟）
考生注意：
1． 各题号后未注明的试题是所有考生都要做的试题，如题号后注明（文）、（理）则分
别表示该题供文、理考生做。

2． 可使用符合规定的计算器答题。

一、 填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，每题4分，只要求直接填写结果． 1．已知2i i bi a +=+ （其中b a 、为实数，i 为虚数单位），则=+b a __________． 2．过点A （0，2）且与直线0123=-+y x 垂直的直线方程为________________． 3．若点)cos ,(sin ααP 在第二象限，则角α的终边在第 象限． 4．对于集合{}
{}
1
62≤-=≤--=a x x B x x x A 和，若B B A =⋂，则实数a 的取值
范围是__________．
5．在一个袋子里有18个红球和2个白球，现从中随机拿出3个，则其中至少有一个白球
的概率是__________（用分数表示）． 6．(理)方程12)232(log 2+=⋅-x x 的解x =____________．
(文)方程)3(log )3(log )102(log 444x x x -++=+的解x =_____________． 7．（理）经过点A （a ，0）（a >0），且与极轴正方向夹角为5
π
的直线的极坐标方程为_____________．
（文）不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+≥+-0001y y x y x 表示的区域的面积是___________．
8．（理）函数)3
2cos()3sin(π
π
+
+
=x x y 的值域是_____________．
（文）已知某工程由下列工序组成，则工程总时数为_________天．
工序
a b c d e 紧前工序 —— —— a 、b a c 、d
工时数（天）
3
4 2
5 1 9．（理）设21x x 、是方程035122=+-x x 的两个根，则=+21x x __________． （文）设C x ∈，则方程0522=+-x x 的根为 ___________．
10．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于2
1
=
x 对称，则___________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f ．
11．已知无穷等比数列{}n a （n 为正整数）的首项21
1=
a ，公比2
1=q ．设2122321-+++=n n a a a T ，则
n n T +∞
→lim =_____________．
12．已知命题：椭圆192522=+y x 与双曲线15
112
2=-y x 的焦距相等．试将此命题推广到一
般情形，使已知命题成为推广后命题的一个特例： 二、 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13． 已知βα,均为锐角，p ：)sin(sin βαα+<；q ：2
π
βα<+．则p 是q 的……
（ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件
14．已知直角坐标平面上四点 A 、B 、C 、D ，
)27()65()21(-=-==，，，，，CD BC AB ，则一定共线的三点
是 …………………………………………………………（ ） （A ）A 、B 、C （B ）B 、C 、D （C ）A 、C 、D （D ）A 、B 、D （说明：)(21a a a ，=与{}21a a a ，=表示意义相同）
15．（理）已知复数i z i z 21,22221--=+=在复平面上对应的点分别为A 、B ，将复平
面沿虚轴折起，使两个半平面互相垂直，此时A 、B 两点之间的距离是（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7
（文）已知复数i z i z 22,2221--=+=在复平面上对应的点分别为A 、B ，点B 绕点A 逆时针旋转90︒到达点C ．则点C 所对应的复数为……………………（ ） （A ）i 222- （B ）i 26- （C ）i 42+- （D ）i 22-
16．某水电站的蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图
甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．已知某天0点到6点进行机组试运行，试机时至少打开一个进水口，且该水池的蓄水量与时间（时间单位：小时）的关系如图丙所示：
丙
乙甲5
643652
1V （万米3）
O
（时间）
V （万米3）
O
（时间）
1
1
V （万米3）
（时间）
O
给出以下三个判断:①0点到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水不出水. 则上述判断中一定正确的是………………………（ ）
A
B C
D
E A
B C
D
E A B C D
（A ）① （B ）② （C ）①③ （D ）②③
三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17． (本题满分12分)
（理）如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交
于E 点，且AB =AD =2，两条异面直线A 1D 与AC 所成的角的大小为10
10
arccos
，求：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积．
（文）本题共有2个小题，每小题满分6分. 如图所示，已知正四面体ABCD 的棱长为2，点E 为棱AD 的中点，求：
（1）正四面体ABCD 的体积；
（2）直线CE 与平面BCD 所成的角的大小（用反三角函数值表示）． 18．(本题满分12分) 本题共有2个小题，每1小题满分6分. 在ABC ∆BC =30，外接圆的半径R =17． （1）求A ∠的大小；（用反三角函数值表示） （2）（理）若112=⋅AC AB ，求ABC ∆的周长．
（文）若112=⋅AC AB ，求ABC ∆的面积．
19．(本题满分14分) 本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分3分.
某种洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程．假设进水时水量匀速增加，清洗时水量保持不变．已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为2分钟．洗衣机中的水量y (升)与时间x (分钟)之间的关系如下表所示： x 0 2 4 16 16.5 17 18 … y 0 20 40 40 29.5 20 2 …
请根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）试写出当x ∈[0，16]时y 关于x 的函数解析式，并画出该函数的图像；
（2）根据排水阶段的2分钟点（x ，y ）的分布情况，可
选用b x
a y +=或d x c y +-=2
)20(（其中a 、b 、
c 、
d 为常数），作为在排水阶段的2分钟内水量y
与时间x 之间关系的模拟函数．试分别求出这两个函数的解析式；
（3）请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤） 20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数)10(3)(≠>+=a a a a x f x 且其中． （1）求函数)(1
x f
y -=的解析式；
y (升) x (分)
Ｏ 20
（2）（理）设)(log )(a x x g a -=，是否存在实数a ，使得当]3,2[++∈a a x 时，恒有
1)()(1≤+-x g x f 成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（文）设)(log )(a x x g a -=，当10<<a 时，求函数)()()(1
x g x f
x h +=- 在闭区间
]3,2[++a a 上的最小值与最大值．
21. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分6分.
一个数表如图所示：
对于任意的正整数n ，表中第n +1行中的数均由第n 行中的数按相同规律生成得到．设n K 表示位于第n 行的数的个数，n S 表示第n 行各数的和． （1） 试求6K 、6S ； （2） 求n S ；
（3） 若ni a 表示数表中第n 行第i 个数，试用ni a 表示第n +1行中由ni a 所生成的数（写出它们之间的关系式）．
22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知动圆过定点)0,2
1(F ，且与定直线21
:-
=x l 相切． （1）求动圆圆心M 的轨迹方程；
（2）设点O 为坐标原点， P 、Q 两点在动点M 的轨迹上，且满足OP ⊥OQ ，OP =OQ ，求
等腰直角三角形POQ 的面积；
（3）（理）设一直线l 与动点M 的轨迹交于R 、S 两点， 若1-=⋅OS OR 且
14422<≤RS ，试求该直线l 的倾斜角的取值范围．
（文）设过点)0,2
1(F 的直线l 与动点M 的轨迹交于R 、S 相异两点，试求△ROS 面积的取值范围．
第一行 1
第二行 -1 4 第三行 1 2 - 4 7
第四行 -1 4 -2 5 4 -1 -7 10
静安二模参考解答与评分建议
一、填空题
1. 0；
2. 2x -3y+6=0；
3. 四；
4. 21≤≤-a ；
5.
95
27
; 6.（文理）-1; 7.（理）)
5
(
sin 5sin
θπ
π
ρ-=
a ；（文）1/4；
8.（理）]4
3
2,432[-+-
；（文）9； 9.（理）1； （文）2i 1x ±=
10．0； 11.4/15；
12.椭圆)161(a 16a y a x 22
222>=-+与双曲线)16b 1(0b
16y b x 2
2
222<<=--的焦距相等； 椭圆12222=+b y a x 与双曲线)(1222222
22d c b a d y c x +=-=-的焦距相等
二、选择题
13．B 14．D 15．（文理）B 16．A 三、17.(理)
[解法一]如图建立空间直角坐标系， …（2分） 由题意，得A(0,0,0),C(2,2,0),)0,2,0(D ， …（4分）
设A 1点的坐标为),0,0(z )0(>z ，
则{}0,2,2=AC ，{}z D A -=,2,01 …（6分） 设θ的夹角为与AC D A 1
则04cos 42221>=+⋅=⋅θz AC D A ， 因为A 1D 与AC 所成的角的大小为10
10arccos
10
10
cos =
∴θ…（8分） 解方程441010
222=+⋅z 得4=z ，故1AA 的长度是4， …（10分）
又11111AA AD AB V D C B A ABCD ⨯⨯=--，
A
B C
D E
A 1
B 1
C
D x
y
z
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D
F 因此长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积是16 …（12分）
[解法二]过D 引AC 的平行线，交BA 的延长线于F ，则∠A 1DF 是异面直线A 1D 与AC 所成的角。

∴∠A 1D F=10
10
arccos
， …（4分） DF=AC=22。

又由AD A Rt AF A Rt 11∆≅∆得A 1F=A 1D
所以，三角形DA 1F 是等腰三角形，
A 1D=20cos 121=∠⋅DF
A DF ，所以A 1A=4 …（10分）
因此长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积是16 。

…（12分） （文）（1）解：（1）高3
6
2h =
……（2分）， 底面积3S =……（2分），
体积3
2
2V =
……（6分） （说明：直接由公式计算得出正确结果不扣分）
（2）过点E 作BCD EF 面⊥于F ，∠ECF 就是所求的角，…（8分）
在Rt ΔECF 中，EF=
36
21=
h ，3=CE ，3
2CE EF ECF sin ==∠，…（10分） 所以CE 与平面BCD 所成角为3
2
arcsin
（12分） 18．（1c AB b AC a BC ===，由扩充的正弦定理
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===，得17152sin ==R a A …（4分） 所以17
15
arcsin 1715arcsin -=∠π或A …（6分）
（两解遗漏一个扣1分）
（2）（理）由112=⋅AC AB 得0112cos >=⋅A b c ，所以A ∠为锐角，17
8
cos =A …（8
分）
即1714⨯=⋅c b ，再由余弦定理17
142900
17142)(2cos 2222⨯⨯-⨯⨯-+=
-+=c b bc a c b A ，得40=+c b ， …（11分）
所以ABC ∆的周长为70 …（12分）
（2）文：由112=⋅AC AB 得0112cos >=⋅A b c ，所以A ∠为锐角，17
8
cos =A ，…（8
分）
即1714⨯=⋅c b ，…（10分）再由面积公式10517
15
177sin 21=⨯⨯=⋅=A c b S …（12分）
19．（1）⎩
⎨⎧≤<≤≤=164.404
0,10x x x y ，…（3分） 图像…（5分）
（2）ⅰ）设b x a y += ，由表中数据可得：⎩⎨
⎧-==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=5.2935.5329)6(17205.165.29b a b
a b a 分 …（7分）
所以函数解析式为：5.2935
.5329-=x
y …（8分）
ⅱ）设d x c y +-=2)20(，
由表中数据可得⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=307.6923.2)9()2017(20)205.16(5.2922
d c d
c d
c 分 …（10分） 所以函数解析式为：307.6)20(923.22--=x y …（11分） （3）将x=18分别代入5.2935
.53291-=x
y ，307.6)20(923.222--=x y 得385.56
.221==y y …（13分）
原表实际情况为x=18时y=2，385.3385.526.06.22=-<=-
显然5.2935
.5329-=
x
y 更接近实际情况…（14分） （或将x=16分别代入5.2935
.53291-=x
y ，307.6)20(923.222--=x y
6.391=y ，461.402=y ；原表实际情况为x=16时y=40， 461.0461.40404.06.3940=-<=-，5.2935
.5329-=
x
y 更接近实际情况） （2）中所有可能情况列表： x 17,18
16.5,17
16,18 b x
a
y += 550830417
1818-⋅⋅=
x
y
5.29317
5.1619-⋅⋅=
x
y 5472
30218
1638-⋅⋅=
x
y d x c y +-=2)20(
562)20(5182--=x y
307.6)20(923.22--=x y 68.10)20(17.32--=x y
16,16.5 16,17
16.5,18
55445.3065.16165.10-⋅⋅=
x y 5440300171620-⨯⨯=x y 54455.3005.118
5.165.27-⋅⋅=x
y
8.4)20(8.22--=x y 7
40)20(7202
-
-=x y 29.11)20(33.32--=x y 对于b x
a
y +=上述6个中任何一个都是符合要求，d x c y +-=2)20(也是。

赋值x 16.5，16
16,18 16.5,17 b x a y += 304171818-⋅⋅=x y ，29.8，40.25 5.293175.165.9-⋅⋅=x y ，39.6，2.6 302
18
1638-⋅⋅=x
y ，29.6，19.88
d x c y +-=2)20( 562)20(5182--=x y ，31.7，45.2 307.6)20(923.22--=x y 40.461，5.3855.2935
.5329-=x
y
68.10)20(17.32--=x y ，
28.15，17.85 17,18 16.5,18 16,17
5.3065.16165.10-⋅⋅=x y ，19.6，1.5 300171620-⨯⨯=x y ，29.7，2.22 5.3005.1185.165.27-⋅⋅=x
y ，
39.81，19.79
8.4)20(8.22--=x y ，20.4，6.4 740)20(7202
-
-=x y ，29.29，5.76
29.11)20(33.32--=x y ，41.99，18.68
20．（1）设a a y x 3+=，则a y a x 3-=…（2分），
两边取对数得：)3(log a y x a -=…（4分），所以)3(log )(1a x x f a -=- …（6分） （2）（理）因为]3,2[++∈a a x 时，函数有意义，所以0223)2(>-=-+a a a ，所以
10<<a ， …（7分）
设)()()(1
x g x f
x h +=-，则)34(log )(22a ax x x h a +-=，二次函数2234a ax x u +-=的对
称轴为22<=a x ，所以2234a ax x u +-=在]3,2[++∈a a x 上为增函数，当2+=a x 时，取得最小值)1(4a -，当3+=a x 时取得最大值)23(3a - …（9分）
从而可得)34(log )(22a ax x x h a +-=在闭区间]3,2[++a a 上的最小值与最大值分别为
)1(4log ),23(3log a a a a -- …（11分）
当]3,2[++∈a a x 时，恒有1)()(1
≤+-x g x f
成立的充要条件为
⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-≤-<<1
)23(3log 1)1(4log 1
0a a a a
a
，…（13分） 解得125790-≤<a 。

…（14分）
文：设)()()(1
x g x f
x h +=-，则)34(log )(22a ax x x h a +-=， …（8分）
二次函数2234a ax x u +-=的对称轴为22<=a x ，所以2234a ax x u +-=在
]3,2[++∈a a x 上为增函数，…（10分）当2+=a x 时，取得最小值)1(4a -，当3+=a x 时取得最大值)23(3a -…（12分）
10<<a 从而可得)34(log )(22a ax x x h a +-=在闭区间]3,2[++a a 上的最小值与最大值
分别为)1(4log ),23(3log a a a a -- …（14分）
21．（1），326=K …（3分）481636=⨯=S …（6分） （2）11=S ，223,2-⨯=∈≥n n S N n n 时，…（9分）
即⎩⎨
⎧∈≥⨯==-N
n n n S n n ,22
311
2
…（10分）（注：仅有223-⨯=n n S 得2分）
（3）ni i n a a -=-+12,1，…（13分）32,1+=+ni i n a a ，N i ∈ …（16分）
22．（1）设动圆圆心M 的坐标为M （x,y ）， 因为动圆过定点)0,2
1(F ，且与定直线
21:-
=x l 相切，所以M 到直线21
:-=x l 的距离等于M 到F 的距离， 于是有222)21
()21(y x x +-=+ …（2分）
化简得x y 22=，即动圆圆心M 的轨迹方程为x y 22= …（4分）
（2）解法1：由抛物线的对称性可知，直线OP 的方程为：x y =，…（6分）
可解得点P 、Q 的坐标分别为)2,2(),2,2(- …（8分）
所以，42
12
==
∆OP S POQ …（10分） 解法2：因为OP ⊥OQ ，设直线OP 的方程为：kx y =，
则直线OQ 的方程为：x k y 1
-
=，…（6分） 解得点P 、Q 的坐标分别为)2,2(),2
,2(322k k k
k ，
由OP=OQ ，得6442444
4k k k
k +=+，18=k ，可得点P 、Q 坐标分别为)2,2(),2,2(-…（8
分）
所以，42
12
==∆OP S POQ …（10分）
（3）（理）解法1：设),2
(),,2(22
2121y y S y y R ，由1-=⋅OS OR 解得221-=y y ，…（12
分）
2
)(4)()()(4
)(2
212212212212
2221y y y y y y y y y y RS -+-+=
-+-=…（14分）
ⅰ）直线与x 轴垂直时，）），2,1(2,1(-S R ，符合…（15分）
ⅱ）设RS 斜率为k ，倾斜角为θk y y 2
21=+，231224++=k
k RS ，由14422<≤RS 得 5623122
4
≤++
≤
k
k
，
所以，直线倾斜角θ的取值范围是6
6
arctan
66arctan
≥≥-θπ…（18分） 解法2：直线与x 轴垂直时，）），2,1(2,1(-S R ，符合…（11分）
设直线l 的方程为)0(≠+=k b kx y ，x y 22=与b kx y +=有交点，所以0222=+-b y ky 之084>-=∆kb ，…（13分） 又2221-==
k
b
y y ，…（15分） 所以k b -=，0842>+k …（16分）
141682
⨯≤≤RS ，即1416)84(18222⨯≤++≤k k k ，设t k
=21
，则56)2)(1(2≤++≤t t
562322≤++≤t t ，
所以，直线倾斜角θ的取值范围是6
6
arctan
66arctan ≥≥-θπ…（18分）
文：设三角形面积为W ，斜率不存在时，2
1
=
W ，…（11分） 斜率存在时，显然0≠k ，设直线方程为)2
1
(-=x k y ，设点P 、Q 的坐标分别为
),(),,(2211y x y x ，则2121y y OF W -⋅==212214)(4
1
y y y y -+，…（13分）
由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x k y 2)21(2得022=--k y ky ，所以⎪⎩⎪⎨⎧
-==+12212
1y y k y y …（16分）
2211214441k k W +=+=
，该函数的值域为),2
1(+∞，所以三角形面积W 的取值范围是),21
[+∞…（18分）（注：端点2
1没取的总共扣1分）
11 / 11。