2012-2018西城期末计算分类整理

三、计算题：(一)动力学：
1、（2017）17. （9分）如图所示，冰车静止在冰面上，小孩与冰车的总质量m = 20kg 。

大人用F = 20N 的 恒定拉力，使冰车开始沿水平冰面移动，拉力方向与水平面的夹角为θ =37°。

已知冰车与冰面间的动摩擦因数μ= 0.05，重力加速度g =10m/s 2，sin37°= 0.6，cos37°= 0.8。

求：
（1）小孩与冰车受到的支持力F N 的大小； （2）小孩与冰车的加速度a 的大小；
（3）拉力作用t =8s 时间，冰车位移x 的大小。

2、（2016）17．（9分）如图所示，斜面AC 长L = 1m ，倾角θ =37°，CD 段为与斜面平滑连接的水平地面。

一个质量m = 2kg 的小物块从斜面顶端A 由静止开始滑下。

小物块与斜面、地面间的动
摩擦因数均为μ = 0.5。

不计空气阻力，g = 10m/s 2，sin37°= 0.6，cos37°
= 0.8。

求： （1）小物块在斜面上运动时的加速度大小a ； （2）小物块滑到斜面底端C 点时的速度大小v ； （3）小物块在水平地面上滑行的最远距离x 。

3、（2018）17．（9分）航空母舰上的起飞跑道由水平跑道和倾斜跑道两部分组成，飞机在发动机的推力作用下，在
水平和倾斜跑道上滑行。

我们可以把这种情景简化为如图所示的模型，水平面AB 长度x 1=2m ，斜面BC 长度x 2 = 1m ，两部分末端的高度差h = 0.5m 。

一个质量m = 2 kg 的物块，在推力F 作用下，从A 点开始在水平面和斜面上运动，推力大小恒为F = 12 N ，方向沿着水平方向和平行斜面方向。

物块与水平面、斜面间的动摩擦因数均为0.2。

g 取10 m/s 2。

求：
（1）物块在水平面上运动时的加速度大小a ； （2）物块到达水平面末端B 点时的速度大小v ； （3）物块到达斜面末端C 点时的动能E k 。

4、(2014)17．（9分）如图所示，一个倾角θ＝45°的斜面固定于水平地面上，斜面顶端距水平地面的高度h ＝1m ，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。

一个质量m =1kg 的小物块（可视为质点）自斜面顶端从静止开始向下滑动，到达斜面底端时与挡板碰撞，假设小物块与挡板碰撞过程中无机械能损失。

已知小物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.2。

重力加速度g ＝10 m/s 2。

（1）求小物块沿斜面下滑时的加速度大小a ； （2）求小物块第一次与挡板碰撞前的速度大小v ；
（3）小物块最终停在挡板上，求整个过程中由于摩擦而产生的热量Q 。

5、 (2013)1
6、（9分）如图所示为半径R =0.50m 的四分之一圆弧轨道，底端距水平地面的高度h =0.45m 。

一质量m =1.0kg 的小滑块从圆弧轨道顶端A 由静止释放，到达轨道底端B 点的速度v = 2.0m/s 。

忽略空气的阻力。

取g =10m/s 2。

求：
（1）小滑块在圆弧轨道底端B 点受到的支持力大小F N ； A
θ
┐
C F
F
h
O A B
h
R
A
θ
m
h
6、（2015）18．（9分）一小孩自己不会荡秋千。

爸爸让他坐在秋千板上，将小孩和秋千板一起拉到某一高度，此时绳子与竖直方向的偏角为37°，然后由静止释放。

已知小孩的质量为25kg ，小孩在最低点时离系绳子的横梁2.5m 。

重力加速度g =10m /s 2。

6.037sin =︒，8.037cos =︒。

忽略秋千的质量，可把小孩看做质点。

（1）假设小孩和秋千受到的阻力可以忽略，当摆到最低点时，求：a. 小孩的速度大小；b. 秋千对小孩作用力的大小。

（2）假设小孩和秋千受到的平均阻力是小孩重力的0.1倍，求从小孩被释放到停止经过的总路程。

(二)天体：
7、（2017）18．（9分）天宫二号在距地面h 高度处绕地球做匀速圆周运动。

2016年10月19日，神舟十一 号飞船发射成功，与天宫二号空间站圆满完成自动交会对接。

已知地球质量为M ，半径为R ，引力常量为G 。

（1）求天宫二号在轨运行线速度v 的大小； （2）求天宫二号在轨运行周期T ；
（3）若天宫二号在轨运行周期T = 90分钟，在赤道上空由西向东运动。

请结合计算， 分析说明天宫二号中的航天员在24小时之内大约能看到几次日出。

8、(2013)17、（6分）已知地球质量为M ，半径为R ，自转周期为T ，引力常量为G 。

如图所示，A 为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星，B 为地球的同步卫星。

（1）求卫星A 运动的速度大小v ； （2）求卫星B 到地面的高度h 。

9、（2016）18. （9分）宇航员驾驶宇宙飞船到达月球，他在月球表面做了一个
实验：在离月球表面高度为h 处，将一小球以初速度v 0水平抛出，水平射程为x 。

已知月球的半径为R ，万有引力 常量为G 。

不考虑月球自转的影响。

求：
（1）月球表面的重力加速度大小g 0 ；（2）月球的质量M ； （3）飞船在近月圆轨道绕月球做匀速圆周运动的速度v 。

10、（2012）18．（9分）一探月航天器在接近月球表面的轨道上绕月飞行，其运动可视为匀速圆周运动。

已知月球
质量为M ，半径为R ，引力常量为G 。

不考虑月球自转的影响。

（1）求航天器运行线速度的大小v ； （2）求月球表面重力加速度的大小g ；
（3）若在月球表面附近，让一质量为m 的小物体做自由落体运动，求小物体下落高度为h 时的动能E k 。

11、(2014)19．（9分）人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。

若羽毛和铁锤是从 高度为h 处下落，经时间t 落到月球表面。

已知引力常量为G ，月球的半径为R 。

（1）求月球表面的自由落体加速度大小月g ；
（2）若不考虑月球自转的影响，求：
a ．月球的质量M ；
b ．月球的“第一宇宙速度”大小v 。

B
12、（2018）18．（9分）我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，经过一系列过程，在离月球表面高为h 处悬停，即相对于月球静止。

关闭发动机后，探测器自由下落，落到月球表面时的速度大小为v，已知万有引力常量为G，月球半径为R，h <<R，忽略月球自转。

求：（1）月球表面的重力加速度g0；（2）月球的质量M；
（3）假如你站在月球表面，将某小球水平抛出，你会发现，抛出时的速度越大，小球落回到月球表面的落点就越远。

所以，可以设想，如果速度足够大，小球就不再落回月球表面，它将绕月球做半径为R的匀速圆周运动，成为月球的卫星。

则这个抛出速度v1至少为多大？
(三)电路：
13、（2015）17．（9分）在如图所示的电路中，电源的电动势E=1.5V，内阻r=0.5Ω，电流表满偏电流I g=10mA，电流表的电阻R g=7.5Ω，A、B为接线柱。

（1）用一条导线把A、B直接连起来，此时，应把可变电阻R1调节为多少才能使电流表恰好达到满偏电流？（2）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B间接入一个
150Ω的定值电阻R2，电流表的读数是多少？（3）调至满偏后保持R1的值不变，在A、B
间接入一个未知的定值电阻R x，电流表的读数为I x，请写出I x随R x变化的数学表达式。

(四)五项技术：
14、（2018）19. （10分）如图所示，质量为m、电荷量为+q的粒子，从容器A下方的小孔S1不断飘入加速电场，其初速度几乎为零。

粒子经过小孔S2沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做半径为R的匀速圆周运动，随后离开磁场。

不计粒子的重力及粒子间的相互作用。

（1）求粒子在磁场中运动的速度大小v；（2）求加速电场的电压U；（3）粒子离开磁场时被收集。

已知时间t内收集到粒子的质量为M，求这段时间内粒子束离开磁场时的等效电流I.
15、(2014)18．（9分）磁流体发电是一项新兴技术，如图是它的示意图。

相距为d的
两平行金属板P、Q之间有一个很强的磁场。

一束等离子体（即高温下电离的气体，
含有大量正、负带电粒子）以速度v沿垂直于磁场的方向射入磁场，由于等离子体在
磁场力的作用下运动方向发生偏转，P、Q板上就会聚集电荷，从而在两板间产生电压。

若P、Q两板间的磁场、电场按匀强磁场、匀强电场处理，磁感应强度为B。

（1）求这个发电机的电动势E；
（2）发电机的输出端a、b间接有阻值为R的电阻，发电机的内电阻为r。

a．在图示磁极配置的情况下，判断通过电阻R的电流方向；
b．计算通过电阻R的电流大小I。

R1
电阻R2
r
E
A B
导线
S2
B
N
S P b
a
R
等离子体
Q
16、（2016）21. （12分）在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或
者改变粒子的运动。

一粒子源产生离子束，已知离子质量为m，电荷量为+e。

不计离子重力以及离子间的相互作用力。

（1）如图1所示为一速度选择器，两
平行金属板水平放置，电场强度E与磁感应强度B相互垂直。

让粒子源射出的
离子沿平行于极板方向进入速度选择器。

求能沿图中虚线路径通过速度选择器
的离子的速度大小v。

（2）如图2所示为竖直放置的两平行金属板A、B，两板中间均开有小孔，两板之间的电压U AB随时间的变化规律如图3所示。

假设从速度选择器出来的离子动能为E k=100eV，让这些离子沿
垂直极板方向进入两板之间。

两极板距离很近，离子通过两板间的时间可以
忽略不计。

设每秒从速度选择器射出的离子数为N0= 5×1015个，已知 e
=1.6×10-19C。

从B板小孔飞出的离子束可等效为一电流，求从t = 0到t = 0.4s
时间内，从B板小孔飞出的离子产生的平均电流I。

（3）接（1），若在图1中速度选择器的上极板中间开一小孔，如图4所示。

将粒子源产生的离子束中速度为0的离子，从上极板小孔处释放，离子恰好
能到达下极板。

求离子到达下极板时的速度大小v，以及两极板间的距离d。

(五)电磁感应：
17、（2012）20．（11分）如图所示，光滑金属直轨道MN和PQ固定在同一水平面内，MN、PQ平行且足够长，两
轨道间的宽度L＝0.50m。

轨道左端接一阻值R=0.50Ω的电阻。

轨道处于磁感应强度大小B＝0.40T，方向竖直向下的匀强磁场中。

质量m=0.50kg的导体棒ab垂直于轨道放置。

在沿着轨道方向向右的力F作用下，导体棒由静止开始运动，导体棒与轨道始终接触良好并且相互垂直。

不计轨道和导体棒的电阻，以及空气阻力。

（1）若力F的大小保持不变，且F=1.0N。

求a．导体棒能达到的最大速度大小v m；
b．导体棒的速度v=5.0m/s时，导体棒的加速度大小a。

（2）若力F的大小是变化的，在力F作用下导体棒做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a=2.0m/s2。

从力F作用于导体棒的瞬间开始计时，经过时间t=2.0s，求力F的冲量大小I。

图1
图2
18、（2015）21．（13分）如图，在竖直向下的磁感应强度为B 的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN 、PQ 固定在水平面内，相距为L 。

一质量为m 的导体棒ab 垂直于MN 、PQ 放在轨道上，与轨道接触良好。

轨道和导体棒的电阻均不计。

（1）如图1，若轨道左端MP 间接一阻值为R 的电阻，导体棒在拉力F 的作用下以速度v 沿轨道做匀速运动。

请通过公式推导证明：在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获取的电能相等。

（2）如图2，若轨道左端接一电动势为E 、内阻为r 的电源和一阻值未知的电阻。

闭合开关S ，导体棒从静止开始运动，经过一段时间后，导体棒达到最大速度v m ，求此时电源的输出功率。

（3）如图3，若轨道左端接一电容器，电容器的电容为C ，导体棒在水平拉力的作用下从静止开始向右运动。

电容器两极板电势差随时间变化的图象如图4所示，已知t 1时刻电容器两极板间的电势差为U 1。

求导体棒运动过程中受到的水平拉力大小。

19、（2017）20. （11分）如图1所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN 和PQ ，两导轨间距为l ，电阻均可忽略不计。

在M 和P 之间接有阻值为R 的定值电阻，导体杆ab 质量为m 、电阻为r ，并与导轨接触良好。

整个装置处于方向竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中。

现给ab 杆一个初速度
v 0，使杆向右运动。

（1）当ab 杆刚好具有初速度v 0时，求此时ab 杆两端的电压
a 、
b 两端哪端电势高；
（2）请在图2中定性画出通过电阻R 的电流i 随时间变 化规律的图象；
（3）若将M 和P 之间的电阻R 改为接一电容为C 的电
容器，如图3所示。

同样给ab 杆一个初速度v 0，使杆向右运动。

请分析说明 ab 杆的运动情况，并推导证明杆稳定后的速度为0
22
mv v m B l C
=+ 。

图1
图3
R
图1
U 图4
图2
图3
20、（2018）21．（12分）电磁弹射在电磁炮、航天器、舰载机等需要超高速的领域中有着广泛的应用，图1所示为电磁弹射的示意图。

为了研究问题的方便，将其简化为如图2所示的模型（俯视图）。

发射轨道被简化为两个固定在水平面上、间距为L 且相互平行的金属导轨，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中。

发射导轨的左端为充电电路，已知电源的电动势为E ，电容器的电容为C 。

子弹载体被简化为一根质量为m 、长度也为L 的金属导体棒，其电阻为r 。

金属导体棒垂直放置于平行金属导轨上。

忽略一切摩擦阻力以及导轨和导线的电阻。

（1）发射前，将开关S 接a ，先对电容器进行充电。

a ．求电容器充电结束时所带的电荷量Q ；
b ．充电过程中电容器两极板间的电压u 随电容器所带电荷量q 发生变化。

请在图3中画出u -q 图象；并借助图象求出稳定后电容器储存的能量E 0。

（2）电容器充电结束后，将开关接b ，电容器通过导体棒放电，导体棒由静止开始运动，导体棒离开轨道时发射结束。

电容器所释放的能量不能完全转化为金属导体棒的动能，将导体棒离开轨道时的动能与电容器所释放能量的比值定义为能量转化效率。

若某次发射结束时，电容器的电量减小为充电结束时的一半，不计放电电流带来的磁场影响，求这次发射过程中的能量转化效率η。

21、(2013)19、（12分）如图1所示，两根足够长的平行金属导轨MN 、PQ 相距为L ，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒ab 垂直于MN 、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m 。

导轨处于匀强磁场中，磁场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B 。

金属导轨的上端与开关S 、定值电阻R 1和电阻箱R 2相连。

不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g 。

现在闭合开关S ，将金属棒由静止释放。

（1）判断金属棒ab 中电流的方向；（2）若电阻箱R 2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h 时，速度为v ，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q ；
（3）当B =0.40T ，L =0.50m ，=α37°时，金属棒能达到的最大速度v m 随电阻箱R 2阻
值的变化关系，如图2所示。

取g = 10m/s 2，sin37°= 0.60，cos37°= 0.80。

求定值电阻
的阻值R 1和金属棒的质量m 。

22、(2014)20．（12分）（1）如图1所示，两根足够长的平行导轨，间距L =0.3 m ，在导轨间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B 1 = 0.5 T 。

一根直金属杆MN 以v= 2 m/s 2.0
60 30
R 2/Ω
S
R 2
R 1
P
M N
α
α
Q a
B
图2
图1
b
v m /(m ·s -1)
B S
a b × × × ×
× ×
×
× ×
× × × × × × × × ×
×
L q
O u
B 2 / T
0.6 a B 1
M
N
b
图1
R
a B 2
b
图2
R
图1
图2
图3
的电阻可忽略。

求杆MN中产生的感应电动势E1。

（2）如图2所示，一个匝数n=100的圆形线圈，面积S1=0.4m2，电阻r2=1Ω。

在线圈中存在面积S2=0.3m2垂直线圈平面（指向纸外）的匀强磁场区域，磁感应强度B2随时间t变化的关系如图3所示。

求圆形线圈中产生的感应电动势E2。

（3）有一个R=2Ω的电阻，将其两端a、b分别与图1中的导轨和图2中的圆形线圈相连接，b端接地。

试判断以上两种情况中，哪种情况a端的电势较高？求这种情况中a端的电势φa。

23、（2016）19. （11分）如图所示，两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上，左端向上弯曲，导轨间距为L，电阻不计。

水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。

导体棒a与b的质量均为m，电阻值分别为R a=R，R b=2R。

b棒放置在水平导轨上足够远处，a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。

运
（1）求a棒刚进入磁场时受到的安培力的大小和方向；
（2）求最终稳定时两棒的速度大小；
（3）从a棒开始下落到最终稳定的过程中，求b
(六)电偏转和磁偏转：
24、（2017）19. （11分）利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，在现代科学实验和技术设备中有广泛的应
用。

如图1所示为电子枪的结构示意图，电子从炽热的金属丝发射出来，在金
属丝和金属板之间加以电压U0，发射出的电子在真空中加速后，沿电场方向从
金属板的小孔穿出做直线运动。

已知电子的质量为m，电荷量为
e，不计电子
重力及电子间的相互作用力。

设电子刚刚离开金属丝时的速度为零。

（1）求电子从金属板小孔穿出时的速度v0的大小；
（2）示波器中的示波管是利用电场来控制带电
粒子的运动。

如图2所示，Y和Y′为间距为d的两个偏转电极，两板长度
均为L，极板右侧边缘与屏相距x，O O′为两极板间的中线并与屏垂直，O
点为电场区域的中心点。

接（1），从金属板小孔穿出的电子束沿O O′射入
电场中，若两板间不加电场，电子打在屏上的O′点。

为了使电子打在屏上
的P点，P与O′相距h，已知电子离开电场时速度方向的反向延长线过O
在两极板间加多大的电压U；
（3）电视机中显像管的电子束偏转是用磁场来控制的。

如图3
形区域，圆心a与屏相距l，b是屏上的一点，ab与屏垂直。

接（1）
的电子束沿ab方向进入圆形区域，若圆形区域内不加磁场时，电子打在屏上的b
了使电子打在屏上的c点，c与b
场。

求这个磁场的磁感应强度B的大小。

25、（2013）21、（13分）如图1所示，在x轴上0到d范围内存在电场（图中未画出），x轴上各点的电场沿着x 轴正方向，并且电场强度大小E随x的分布如图2所示；在x轴上d到2d范围内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。

一质量为m，电量为q
的粒子沿x轴正方向以一定速度从O点进入电场，最终粒子恰从坐
标为（2d，d
3
3）的P点离开磁场。

不计粒子重力。

（1）求在x=0.5d处，粒子的加速度大小a；（2）求粒子在磁场中的运动时间t；
电子枪
图3 屏
26、（2012）21．（12分）如图所示，带电平行金属板PQ 和MN 之间的距离为d ；两板之间有垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

如图建
立坐标系，x 轴平行于金属板，与金属板
中心线重合，y 轴垂直于金属板。

区域I 的左边界为y 轴，右边界与区域II 的左边界重合，且与y 轴平行；区域II 的左、右边界平行。

在区域I 和区域II 内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，区域I 内的磁场垂直于Oxy 平面向外，区域II 内的磁场垂直于Oxy 平面向里。

一电子沿着x 轴正向以速度v 0射入平行板之间，在平行板间恰好沿着x 轴正向做直线运动，并先后通过区域I 和II 。

已知电子电量为e ，质量为m ，区域I 和区域II 沿x 轴方向宽度均为
Be
mv 230。

不计电子重力。

（1）求两金属板之间电势差U ；
（2）求电子从区域II 右边界射出时，射出点的纵坐标y ；
（3）撤除区域I 中的磁场而在其中加上沿x 轴正向的匀强电场，使得该电子刚好不能从区域II 的右边界飞出。

求电子两次经过y 轴的时间间隔t 。

27、（2015）19．（9分）示波器是一种用来观察电信号的电子仪器，其核心部件是示波管，如图1所示是示波管的原理图。

示波管由电子枪、偏转电极和荧光屏组成，管内抽成真空。

电子从灯丝K 发射出来（初速度可不计），经电压为U 0的加速电场加速后，以垂直于偏转电场的方向先后进入偏转电极YY'、XX'。

当偏转电极XX´、YY´上都不加电压时，电子束从电子枪射出后，沿直线运动，打在荧光屏的中心O 点，在
28、（2015）（1）只在偏转电极YY'上加不变的电压U 1，电子束能打在荧光屏上产生一个亮斑。

已知偏转电极YY'的极板长为L ，板间的距离为d ，YY'间的电场可看做匀强电场。

电子的电荷量为e ，质量为m ，不计电子的重力以及电子间的相互作用力。

求电子刚飞出YY'间电场时垂直于极板方向偏移的距离。

（2）只在偏转电极YY'上加u =U 1sin t 的交流电压，试在图2中画出荧光屏上的图形。

图2
甲 示波管的结构
乙 荧光屏（甲图中从右向左看）
图1
图2
性变化的电压，假设U XX'=-U 2 和U XX'=U 2时，电子束分别打在荧光屏上的A 、B 两点，试在图5中画出荧光屏上的图形。

（七）力学证明：
29、（2015）20．（12分）如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，即F =-kx ，其中k 是由系统本身特性决定的线性回复力常数，那么质点的运动就是简谐运动。

（1）图1所示为一理想单摆，摆球的质量为m ，摆长为L 。

重力加速度为g 。

请通过计算说明该单摆做简谐运动的线性回复力常数k =?
（2）单摆做简谐运动的过程中，由于偏角很小，因此可以认为摆球沿水平直线运动。

如图2所示，质量为m 的摆球在回复力F =-kx 作用下沿水平的x 轴做简谐运动，若振幅为A ，在平衡位置O
点的速度为v m ，试证明：22m 2
121kA mv 。

（3）如图3所示，两个相同的理想单摆均悬挂在P 点。

将B 球向左拉开很小的一段距离由静止释放，B 球沿水平的x 轴运动，在平衡位置O 点与静止的C 球发生对心碰撞，碰撞后B 、C 粘在一起向右运动。

已知摆球的质量为m ，摆长为L 。

释放B 球时的位置到O 点的距离为d 。

重力加速度为g 。

求B 、C 碰撞后它们沿x 轴正方向运动的最大距离。

30、（2018）20. （12分）游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示。

我们把这种情形抽象为如图乙所示的模型：弧形轨道的下端N 与竖直圆轨道平滑相接，P 为圆轨道的最高点。

使小球（可视为质点）从弧形轨道上端滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。

不考虑小球运动所受的摩擦等阻力。

（1）小球沿弧形轨道运动的过程中，经过某一位置A 时动能为E k1，重力势能为E P1， 经过另一位置B 时动能为E k2，重力势能为E P2。

请根据动能定理和重力做功的特点， 证明：小球由A 运动到B 的过程中，总的机械能保持不变，即E k 1+E P 1=E k 2+E P 2； （2）已知圆形轨道的半径为R ，将一质量为m 1的小球，从弧形轨道距地面高h =2.5R 处由静止释放。

a ．请通过分析、计算，说明小球能否通过圆轨道的最高点P ；
b ．如果在弧形轨道的下端N 处静置另一个质量为m 2的小球。

仍将质量为m 1的图1
图2
O
x
图3
O
B C
x
P
甲
h P M
通过分析、计算，说明你的理由。

31、（2016）20. （11分）如图1所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O 点。

将小球从O 点由静止释放，小球沿竖直方向在OP 之间做往复运动，如图2所示。

小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。

不计空气阻力，重力加速度为g 。

（1）在小球运动的过程中，经过某一位置A 时动能为E k1，重力势能为E P1，弹簧弹性势能为E
弹1
，经过另一位置B 时动能为E k2，重力势能为E P2，弹簧弹性势能为E 弹
2。

请根据功是能量转化的量度，证明：小球由
A 运动到
B 的过程中，小
球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒；（2）已知弹簧劲度系数为k 。

以O 点为坐标原点，竖直向下为x 轴正方向，建立一维坐标系O -x ，如图2所示。

a. 请在图3中画出小球从O 运动到P 的过程中，弹簧弹力的大小F 随相对于O 点的位移x 变化的图象。

根据F -x 图象求：小球从O 运动到任意位置x 的过程中弹力所做的功W ，以及
小球在此位置时弹簧的弹性势能E 弹；
b. 已知小球质量为m 。

求小球经过OP 中点时瞬时速度的大小v 。

32、（2017）21．（12分）某同学设计了一个测量物体质量的电子装置，其结构如图甲、乙所示。

E 形磁铁的两侧为S 极，中心为N 极，可认为只有磁极间存在着磁感应强度大小均为B 的匀强磁场。

一边长为L 横截面为正方形的线圈套于中心磁极，线圈、骨架与托盘连为一体，总质量为m 0，托盘下方连接一个轻弹簧，弹簧下端固定在磁极上，支撑起上面的整个装置，线圈、骨架与磁极不接触。

线圈的两个头与外电路连接（图上未标出）。

当被测量的重物放在托盘上时，弹簧继续被压缩，托盘和线
圈一起向下运动，之后接通外电路对线圈供电，托盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，此时由对应的供电电流可确定重物的质量。

已知弹簧劲度系数为k ，线圈匝数为n ，重力加速度为g 。

（1）当线圈与外电路断开时
a. 以不放重物时托盘的位置为位移起点，竖直向下为位移的正方向。

试在图丙中画出，托盘轻轻放上质量为m 的重物后，托盘向下运动过程中弹簧弹力F 的
线圈
托盘
图甲：截面
图乙：俯视
磁极
F
x
F
O
图3
图2
图1。