12.酉空间的定义与性质,酉变换

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1, 因此, 向量
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是与 同方向长度1的向量, 叫单位向量.
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定理1 (Cauchy-Schwarz不等式) 在酉空间中向量的内积 满足: |( |2 (, )(, ) 其中等号成立当且仅当 与 线性相关. (1)
证明 若 线性无关, 则对任意复数 x 都有 x 0, 那么 x x |x|2Re( x) 由正定性有 > 0, > 0, 取 x = -(, )/ , 可 得 | | / .
因为 > 0, 所以 > | |. 假若 线性相关, 如果 中有一个为0, 显然(1)式等 号成立, 因此不妨设 k 那么 | | |k |
|k|2 2 k k (, )(, ).
n n n ( , ) xi i , y j j xi yi X T Y . j 1 i 1 i 1
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定理5 设 W 是酉空间 V 的子空间, 则 V W W . 证明 设 dim V = n, 1, 2,, n 是 V 的一组标准正交基, dim W = m, 1,, m 为 W 的一组标准正交基, 它们在 1, , n 下的坐标为 X1,, Xm, 以它们的共轭转置为行组成 的 m 行 n 列的矩阵记为 A, r(A) = m, 齐次线性方程组 AX = 0 的解空间 N(A) 的维数为 n-m, 记 N(A) 的一组标准正 交基为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 并设 m+1,, n 在 1, 2,, n 下的坐标为 Xm+1, Xm+2,, Xn, 则 m+1,, n 即为 W 的 一组标准正交基. 故 V W W .
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交基 , 2. 按要求 是 的线性组合, 2 是 , 2 的线性组合. 可设 = , 2 = 2+k. 根据 2, 应有 (2, 2+k, 1 k, 1 = 0, 由于 = 1 , 知 , 1 , 解出 k ( 2 , 1 ) ,
定理3 n 维酉空间 V 中任意 n 个线性无关的向量
n, 可用施密特正交化方法转化成一个正交向量组 n, 其中 ( , ) 1 1 , 2 2 2 1 1 , , ( 1 , 1 ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n 1 1 n 2 2 n n1 n1. ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( n1 , n1 ) 再通过把 n 单位化可得标准正交向量组 , 2,, n. 11 证明基本上是一个待定、递推过程.
则称 是向量 与 的内积, 定义了内积的复线性 空间 V 称为酉空间. 例1 在 Cn 中, 设 a, a2, anT, = (b1,b2,,bn)T, 命
( , ) a1b1 a2b2 anbn T .
易证这样规定的 (, 满足内积的4条性质.
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定义4 在 n 维酉空间 V 中由 n 个两两正交的非零向量构成
的向量组称为正交基, 由单位向量组成的正交基称为标准正 交基. 由定义, 1, 2,…, nCn 是标准正交基的充分必要条件是:
1, i j , ( i , j ) i , j 1,2, , n. 0, i j , 1, 2,…, nCn 是正交基的条件是?
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定义3 设 ( ) = 0, 则称 与 正交(垂直), 记作 .
由于零向量与任何向量的内积为零, 所以我们也说零向
量与任何向量正交, 反之亦然. 设 V 是酉空间, W 是 V 的子空间, 则称
W { V | W } 为 W 在 V 中的正交补. W⊥ 恰好由所有与W 正交的向量组成.
i j i j i , j 1 i j i j
n
n
( ei , e j ) (ei , e j ),1 i, j n.
a ji aij ,1 i, j n. AT A.
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定理6 已知 是 n 维欧氏空间 V 的一个对称变换, W 是 的不变子空间, 证明 W 的正交补 W⊥ 也是 的不变 子空间. 证明 因为 是对称变换, 所以对 W 中任一元素 , () 还属于 W, 设 是 W 的正交补中任一元素, 则 ((), ) = (, ()) = 0, 所以 () 还属于 W 的正交补, 所以 W 也是 不变子空间.
即 k1(,i )+k2(2, i )++ks(s, i ) = 0. 由于向量是两两正交的, 有
由当 j i 时 (j, i) = 可以得到 ki(i, i) = 0, 又因 i , 有 (i, i) , 从而 ki , i = 1, 2,, s. 所以 , 2,, s 线性无关. 推论 在 n 维酉空间 V 中线性无关的向量至多只有 n 个, 因而 V 中两两正交的非零向量组含向量数不会超过 n.
A (aij )nn , 则 ei aki ek , e j akj ek ,
k 1 k 1
n
n
x1e1 x2e2 xnen , y1e1 y2e2 ynen V ,
( , )
i , j 1
x y ( e , e ) x y (e , e ) ( , )
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第十二讲 酉空间的定义与性质、酉变换
定义1 设 V 是一个复线性空间, 如果对 V 中任意的两个 向量 , 都有唯一的一个复数 ( ) 与之对应, 且满足 以下性质 (1) , V, (, ) = (, ) 的共轭复数; (2) , , V, (, +) = (, ) + (, ); (3) , V, kR, (k, ) = k(, ); (4) V, (, ) 0, 且 (, ) = 0 = 0,
1 1 1 2 1 2 4 1 1 1 2 0 . 1 3 3 3 1 1 2 1
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1 1 1 1 1 1 再单位化: 1 1 , 2 6 2 , 3 2 0 . 3 1 1 1 酉矩阵
在复向量空间 Cn 中这样定义的内积称为 Cn 的标准内积. 3
定义2 由于 ( ) 0, 在酉空间中可引出向量 的长 度的概念. 向量 的长度 |||| 定义为 ( , ).
cRห้องสมุดไป่ตู้ 由于 c (c , c ) c 2 ( , ) c . 所以, 当 时
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例2 设 1, n 是 Cn 的一组标准正交基, Cn, 求 向量 在这组标准正交基下的坐标: X = (x1, x 2,, x n)T. 解 设 = x+x22+xnn, 用 i 作内积,
利用 (i, j ij 就有 , j) = (x+ x22 xnn j = xjj j= xj, 故 在这组基下的坐标的第 j 个分量为 x j = (, j), j = 1, 2,…, n.
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标准正交基 在酉空间中, 一组非零的两两正交的向量称为是一个正交 向量组. 正交向量组有一个非常重要的性质. 定理2 任意正交向量组 , 2,, s 线性无关.
证明 设 k1+k22++kss = 0, 两边用 i 作内积, (k1+k22++kss, i ) = 0,
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n 维酉空间中标准正交基相当于直角坐标系, 都可以简
化内积计算. 设 1, 2,, n 是 n 维酉空间 V 中一组标准正交基: 1, 2,, nX = x+x22xnn, 1, 2,, nY = y+y22ynn
这样的 , 2 是 C2 的正交基, 再单位化, 令
( 1 , 1 )
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1
1
1
1 , 2
1
2
2 .
那么 1, 就是合乎要求的标准正交基.
对于一般情形, 也可以使用类似方法, 可以分成两步, 第一 步正交化, 第二步单位化. 我们只介绍方法, 省略推导过程.
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施密特(Schmidt)正交化方法介绍
问题: 如何把酉空间 V 的一组基 , 2,, n 改造成为 标准正交基 , 2,, n, 并且要求 i 是 1, 2,, i i = 1, 2,, n 的线性组合? 先以二维酉空间 V 的一组基 , 2 改造出一组标准正 交基为例子揭示Schmidt正交化方法的思路和过程. 设 , 2 是二维酉空间 V 的一组基, 我们来求 V 的正
定义6 设 是欧氏空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向 量 V, 都有 ((), ) = (, ()), 则称 是对称变换.
定理5 n 维欧氏空间 V 中线性变换 是对称变换 在 V 的任一组标准正交基下的矩阵是实对称阵.
证明 设 在 V 的一组标准正交基 e e en 下的矩阵是
1 1 1 3 的基 1 , 0 , 2 1 化成一组标 例3 把 C 1 2 3 1 1 3 1 准正交基. 1 解 先正交化 1 1 1 , 1 1 1 1 ( 2 , 1 ) 0 2 1 1 2 , 2 2 1 ( 1 , 1 ) 3 3 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
定义5 设 U 是 n 阶复矩阵, UHU = I, 则称 Q 是酉矩阵,
这里 U H U T . 定理4 酉矩阵 U 具有下列性质: (1) U 的行、列向量组都构成标准正交向量组 (可看作 Cn 的标准正交基). (2) |detU| = 1. (3) U 的逆矩阵 U-1 = UH 还是酉矩阵. (4) 酉矩阵的乘积仍是酉矩阵. 这些性质都可以从定义直接得到.