辽宁省大连市第二十高级中学2018~2019学年高二上学期期中考试理数试题Word版含解析

辽宁省大连市第二十高级中学2018~2019学年上学期期中考试
高二理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.下列所给点中，在方程0122
=++-y xy x 表示的曲线上的是
（A ）)0,0( (B) )1,1(- (C) )2
1
,0(- (D))1,1( 【答案】C 【解析】
试题分析：将各点坐标代入曲线方程，只有)21,0(-成立，因此)2
1,0(-在方程表示的曲线上 考点：曲线方程
2.椭圆2
2
936x y +=的短轴长为 （A ）2 (B) 4
(C)6 (D) 12
【答案】B 【解析】
试题分析：22
2
2
2936142,24436
x y x y b b b +=∴
+=∴=∴==，短轴长为4 考点：椭圆方程及性质
3.已知命题p ：“R x ∈∀，0222
>+-x x ”，则p ⌝是
（A ）R x ∈∀，0222
≤+-x x (B) R x ∈∃0，022020>+-x x (C) R x ∈∃0，02202
0<+-x x
(D) R x ∈∃0，02202
0≤+-x x
【答案】D 【解析】
试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以p ⌝是：R x ∈∃0，02202
0≤+-x x
考点：全称命题与特称命题
4.对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程2
2
1mx ny +=的曲线是椭圆”的
（A ）充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 （C ）充要条件 (D) 不充分不必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：方程2
2
1mx ny +=的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程
221mx ny +=的曲线是椭圆”的必要不充分条件
考点：椭圆方程及充分条件必要条件 5.已知
1,1,1
1
2-+-a a a 为等比数列，则=a （A ）0或1- (B) 1- （C ）0 (D) 不存在 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可知()()2
21
111
a a a +=--，解方程得0a = 考点：等比数列
6.命题“数列{}n a 前n 项和是2
n S An Bn C =++的形式，则数列{}n a 为等差数列”的逆命题，否命题，逆
否命题这三个命题中，真命题的个数为 （A ）0 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】C 【解析】
试题分析：原命题只有在0C =是真命题，所以原命题与逆否命题都是假命题，逆命题：若数列{}n a 为等
差数列，则数列{}n a 前n 项和是2
n S An Bn C =++的形式，是真命题，所以否命题是真命题
考点：四种命题与等差数列
7.设定点12(0,3),(0,3)F F -，动点P 满足条件m
m PF PF 9
||||21+=+（其中常数0>m ），则点P 的轨迹是
（A ）椭圆 (B) 线段 (C) 不存在 (D) 椭圆或线段 【答案】D 【解析】
试题分析：129||||6PF PF m m m m +=+
≥=，当且仅当9m m
=时等号成立，所以最小值为6 1212||||PF PF F F ∴+≥，动点的轨迹为椭圆或线段
考点：动点的轨迹方程
8.已知点)1,3(--和)6,4(-在直线023=--a y x 的两侧，则实数a 的取值范围为 （A ）)24,7(-
（B ）),24()7,(+∞--∞
（C ）)7,24(- （
D ）),7()24,(+∞--∞ 学 【答案】A
考点：不等式表示平面区域
9.已知点(,)x y 满足不等式组430
21032190
x y x y x y -+≤⎧⎪
--≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的最大值为
（A ）1 （B ）25 （C ）5
2
（D ）53
【答案】D 【解析】
试题分析：不等式对应的可行域为直线430,210,32190x y x y x y -+=--=+-=围成的区域，直线
210,32190x y x y --=+-=的交点为()3,5，
y y x x -=
-看作()(),,0,0x y 连线的斜率，结合图像可知过点()3,5时取得最大值53
考点：线性规划问题
10.已知椭圆17
162
2=+y x 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，若12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 （A ）
4
7 (B)
3
7 (C)
47或37 (D) 6
7 【答案】C 【解析】
试题分析：由椭圆方程可知a=4，，c=3，
第一种情况，两焦点连线段12F F 为直角边，则P 点横坐标为±3，代入方程得纵坐标为±7
4
，则P 到x 轴距离为
74
； 第二种情况，两焦点连线12F F 为斜边，设P （x ，y ），则|2PF |=4-34x ，|1PF |=4+3
4
x
∵|12F F |=6，∴（4-34x ）2+（4+34x ）2
=36，∴P 点横坐标为±3，代入方程得纵坐标为±73
，则P 到
x 轴距离为
7
3
考点：椭圆的简单性质
11.椭圆
11
3322
2=--+a a y a x 的离心率的最小值为 (A)
36 （B ）3
2
(C)31 (D)33
【答案】A 【解析】
试题分析：由椭圆方程可知2
30310
a a a >⎧⎨
-->⎩a <<
22
11112
3333
a e a a a a a +⎛⎫∴==+≥⨯= ⎪⎝⎭ e ∴≥考点：椭圆方程及性质
12.关于x 的方程2
(2)310x a b x a b +++++=的两个实根分别在区间(1,0)-和(0,1)上，则a b +的取值范围为 (A ）31
(,)55
- (B)21(,)55- (C)32(,)55-- (D)11(,)55
-
【答案】A 【解析】
试题分析：令f （x ）=x 2
+（a+2b ）x+3a+b+1，由题意可得f(0)＝3a+b+1＜0…①，f(1)＝4a+3b+2＞0…②，f(−1)＝2a −b+2＞0…③．
画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b ，如图所示：
由310220
a b a b ++=⎧⎨
-+=⎩求得点A 34,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
由3104320
a b a b ++=⎧⎨++=⎩，求得点C 12,55⎛⎫
-- ⎪⎝⎭．
当直线z=a+b 经过点A 时，z=a+b= 15；当直线z=a+b 经过点C 时，z=a+b=3
5
-， 故z=a+b 的范围为31
(,)55
-
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.椭圆1322
2
=+y x 的焦点坐标为
【答案】)0,6
6(± 【解析】
试题分析：222
2
2221112311,1123623
x y x y a b c c +=∴+=∴==∴=∴=，焦点坐标为)0,66(±
考点：椭圆方程及性质
14.设实数x y ，满足约束条件1,23,1,
y x y x y x ⎧
≥⎪⎪≤⎨⎪≤-+⎪⎩
目标函数z ax y =+仅在点)43
,41(取最大值，则实数a 的取值范
围为________ . 【答案】)1,3(- 【解析】
试题分析：不等式对应的可行域为直线1
,3,12
y x y x y x =
==-+围成的三角形及其内部，直线3,1y x y x ==-+的交点为)4
3
,41(，z ax y =+变形为y ax z =-+，结合可行域可知当直线斜率
()1,3a -∈-时满足题意要求，所以实数a 的取值范围为)1,3(-
考点：线性规划问题
15.已知数列{}n a 满足n a a a n n =-=+11,10（n *
∈N ），则
n
a n
取最小值时=n 【答案】4或5 【解析】
试题分析：1213211,2
1n n n n a a n a a a a a a n +--=∴-=-=-=-，累和得
()()()1111211022
n n n n n n a a n a ---=++
+-=
∴=+1011201
2222n a n n n n n ⎛⎫∴=+-=+- ⎪⎝⎭
结合对勾函数性质可知当4n =或5时取得最小值 考点：数列求通项公式及函数求最值
16.设1F 、2F 分别是椭圆
116
252
2=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则|PM |＋|1PF |的最大值为_____ ___ 【答案】15 【解析】
试题分析：由椭圆方程可知2
2
2
25,1695,3a b c a c ==∴=∴==，两焦点坐标()3,0±，由椭圆定义可得
122210PM PF PM a PF PM PF +=+-=-+，结合三角形三边关系可知225PM PF MF -≤=，
所以21015PM PF -+≤，最大值为15 考点：椭圆方程及定义的应用
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
(Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，且经过点)4
14
,
21(P ，求该椭圆的标准方程； (Ⅱ) 已知某椭圆过点)2
6
,
1(),1,2(--，求该椭圆的标准方程. 【答案】(Ⅰ) 122
2=+y x (Ⅱ) 12
422=+y x 【解析】
试题分析：求椭圆方程可采用待定系数法，首先根据焦点位置设出椭圆方程，将已知条件代入方程求得参数值，从而确定椭圆方程 试题解析：(Ⅰ)a PF PF 2224
2
3425161441161449||||21==+=+++=
+，又椭圆焦点为)0,1(±，所以椭圆方程为12
22
=+y x .……………………5分 (Ⅱ)设椭圆方程为12
2
=+ny mx ，则有123,12=+
=+n m n m ，解得2
1
,41==n m ，所以椭圆方程为12
42
2=+y x .……………………10分 考点：椭圆方程与性质 18.(本小题满分12分)
已知命题:p “11222=-+m y m x 是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程”，命题:q “不等式组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
+-≤+-≤≤≥m
x y x y x
y y 21
0所表示的区域是三角形”.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
【答案】),2
3(]1,0(+∞ 【解析】
试题分析：分别求解命题p,q 为真命题时对应的m 的取值范围，由q p ∨为真命题，q p ∧为假命题可知两命题为一真一假，分两种情况讨论可得到m 的取值范围
试题解析：如果p 为真命题，则有01>->m m ，即21<<m ；……………………3分 若果q 为真命题，则由图可得2
3
0≤
<m 或2≥m .……………………7分
因为q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，所以p 和q 一真一假， 所以实数m 的取值范围为),2
3(]1,0(+∞ ……………………12分 考点：复合命题真假的判定 19.(本小题满分12分)
已知正数b a ,满足22++=b a ab ． (Ⅰ)求ab 的最小值； (Ⅱ)求2a b +的最小值.
【答案】(Ⅰ) 246+(Ⅱ) 554+
考点：均值不等式求最值 20.(本小题满分12分)
已知数列}{n a 满足)(121*
+∈-=N n a a n n ，21=a .
(Ⅰ)求证}1{-n a 为等比数列，并数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)求数列}{n na 的前n 项和n S )(*
∈N n .
【答案】(Ⅰ) 121+=-n n a (Ⅱ) 2
)
1(12)1(++
+⨯-==n n n S n
n 【解析】
试题分析：(Ⅰ)将递推公式121n n a a +=-变形得)1(211-=-+n n a a ，从而证明}1{-n a 为等比数列，得到
数列}{n a 的通项公式；(Ⅱ)整理数列}{n na 的的通项公式n n na n n +=-1
2，结合特点采用错位相减法和分
组求和法求和
试题解析：(Ⅰ)由题可得)1(211-=-+n n a a ，又111=-a ，所以}1{-n a 为等比数列，……………2分]
且121-=-n n a ，所以121
+=-n n a ；……………………4分 (Ⅱ) n n na n n +=-12，设1
2-=n n n b 的前n 项和为n T ， 所以12
21022
)1(...232221--⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n T
n n n n n T 22)1(...23222121321⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=
-…………………6分
所以12)1(2)2...22(211210+⨯-=⨯++++-⨯-=-n
n n n n n T ,……………………10分
所以2
)
1(12)1(++
+⨯-==n n n S n
n .……………………12分 考点：数列求通项公式及数列求和 21.(本小题满分12分)
设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ．已知点)2
3
,
0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程．
【答案】14
22
=+y x 【解析】
试题分析：先设椭圆方程为22
221x y a b
+= (a ＞b ＞0)，M （x ，y ）为椭圆上的点，由离心率得a=2b ，利用两
点间的距离公式表示出2
PM 若12b <
，则当y=-b 时|PM|2
最大，这种情况不可能；若12b ≥时，12
y =-时4b 2
+3=7，从而求出b 值，最后求得所求方程
试题解析：设椭圆方程为),0(12
22222b a c b a b y a x -=>>=+，由23=a c ，所以2
1=a b ，所以
椭圆方程可以化简为2
2
2
4a y x =+，…………………… 2分 设该椭圆上一点),(y x M
则]2
,2[)((4933)2
3
(||2
222
2
a
a y y f a y y y x PM -∈=+
+--=-+=.………………4分 （1）当2
21a
-<-，即1<a 时，749234)2()(2max =++=
-=a a a f y f ，解得1723>+-=a （舍）；……………………8分 （2）当221a -≤-
，即1≥a 时，74
9
2343)21()(2max =+++-=-=a f y f ，解得12>=a 符合题意. 综上：椭圆方程为14
22
=+y x .……………………12分 考点：椭圆的简单性质；椭圆的定义；椭圆的标准方程
22.(本小题满分12分)
设1a <，集合{|0}A x R x =∈>，2{|23(1)60}B x R x a x a =∈-++>， D A
B =. (Ⅰ)求集合D （用区间表示）；
(Ⅱ)求函数a x a x x f ++-=)1()(2在D 内的零点.
【答案】(Ⅰ) ),(2+∞=x D (Ⅱ) ①113a >>
时，零点为1与a ；13a =时，零点为31；103
a <<时，零点为a ；0a ≤时，无零点.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)首先解不等式得到集合B ，从而与A 求交集求得集合D ；(Ⅱ)二次函数a x a x x f ++-=)1()(2的零点个数确定时对a 分情况讨论，讨论函数与x 轴的交点个数及交点横坐标的大小关系
试题解析：(Ⅰ)对于方程223(1)60x a x a -++=
判别式29(1)483(3)(31)a a a a ∆=+-=--
因为1a <，所以30a -< ①当113a >>
时，0∆<，此时B R =，所以D A =； ②当13a =
时，0∆=，此时{|1}B x x =≠，所以(0,1)(1,)D =+∞； 当13
a <时，0∆>，设方程223(1)60x a x a -++=的两根为12,x x 且12x x <，则
1x =，2x = 12{|}B x x x x x =<>或 ③当103a <<时，123(1)02
x x a +=+>，1230x x a =>，所以120,0x x >> 此时，),(),0(21+∞=x x D ；
④当0a ≤时，1230x x a =≤，所以120,0x x ≤>
此时，),(2+∞=x D . ……………………6分
(Ⅱ)))(1()(a x x x f --=，1a <
①当113
a >>
时，函数()f x 的零点为1与a ； ②当13
a =时，函数()f x 的零点为31； ③当103a <<时，因为06)1(32,06)1(31222>++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数()f x 零点为a ； ④0a ≤，因为06)1(32,06)1(31222<++-⨯<++-⨯a a a a a a ，所以函数()f x 无零点. 考点：集合运算及函数零点。