数学单元整体性教学设计

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数学单元整体］性教学设计-
朱先东
（杭州市育海外国语学校浙江杭州，311122）
课改十多年来，虽然教师们普遍认同新课程理念，也在努力改变自己的教学方式与方法，但在教学中还是存在诸多困惑，如“教了，为什么没有学会？”“学会了，为什么不能举一反三？”“学会了，为什么还是不会学？”等。

究其原因主要有以下三个方面：（1）教学内容的“碎片化”。

教学中忽视知识内在的关联性以及知识形成、发展过程中的逻辑关系，不清楚该知识在整个单元或教材体系中的地位和作用，形成“只见树木，不见森林”的教学状态，以致学生孤立习得的知识碎片不能正确地应用在现实生活的整体任务中，导致学习的迁移度低。

（2）不重视“研究对象的获得”。

教师习惯用“一个定义，三项注意”的方式让学生记住概念的形式化表述，在学生还不知道研究对象的基本特征时就开始“讲解例题，大量练习”，以致学生对知识、方法以及学科思想缺乏感悟、内化的过程，导致浅层次学习。

渊3）无经验的学习。

学习本质是经验在深度和广度上持续变化，即个体在原有经验的基础上，通过自主建构形成新经验的过程。

但教师习惯于重视学生知识的积累和运用，忽视学生研究知识的路径和方法经验的积累,以致学生不能运用“类比”的方法研究结构相似的内容，实现方法迁移，导致学生不能以少驭多、以简驭繁，这是学生数学学习负担重的教学原因。

三方面原因共同导致了一个结果：学生学到太多无意义的“惰性知识”，难以在更大范围和更高层次上迁移运用，致使面对新的问题或情境不能自觉地运用“一般观念”来指导学习、思考和解决问题。

作为一门思维科学的数学学科，要发挥数学独特的育人功能，主要在培养学生的思维，特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，学会有逻辑地思考。

这就要求数学的教学注重知识的整体性、逻辑的连贯性、方法的普适性、思维的系统性、思想的一致性，努力使数学课堂教学成为一个融知识、技能、方法、思维、思想于一体的“整体性教学”。

一、单元整体性教学的理解
什么是单元整体性教学？至今还没有形成统一的定义，结合专家、学者的观点，认为单元整体性教学是在整体性教学理论指导下，将具有结构关联的知识作为一个“单元”，把每一个知识点都嵌入到单元结构中去理解，促使学生建立新旧知识以及观念之间的联系，整体把握结构关系，并通过“学结构”学会“用结构”（简称“学•用”结构），实现学习结构迁移。

“学•用”结构如图1。

“学•用”结构以学生的“学”为中心，以“用”知识和方法学习新知、解决问题为目标，把具有相同或类似结构的一类课进行关联思考和整体设计，即通过对教材内容的
学科研究
图1“学•用”结构
理解和整合，将同一个结构单元或者是不同单元但结构类同的内容的教学过程分为“学结构”和“用结构”两大阶段。

前者重在发挥教师主导作用，引导学生整体认识知识关系、确定学习对象、形成学习经验；后者重在发挥学生主体作用，将前经验迁移到新的情境，类比学习新知识、解决新问题，完善认知结构。

首先，要结合具体情境，引导学生通过直观想象、数学抽象认识事物的本质、关系及其规律，获得数学的研究对象，这是开展整体深度学习活动的基础；其次，需要根据研究对象的特点确定合适的类比对象并构建研究路径，通过类比、联想、特殊化、一般化等推理活动发现和提岀数学问题（概念、性质、法则等），形成研究思路，找到研究方法是感悟数学思想、积累数学活动经验的关键，也是实现数学学习“以简驭繁”的关键；再次，在整体思路和方法指引下，组织学生进行自主探究，建构知识体系，完善认知结构，这是整体性教学设计的核心；最后，将获得的学习结构（包括内容结构、过程结构和方法结构）迁移到新的情境中，研究新问题，这是实现会学的保证。

二、单元整体性教学设计的实施策略
数学知识不是孤立的“点”，而是围绕基本命题及统一的概念体系被组织、被建构的，是相互联系的“整体”。

从数学知识的关联性来看，数学知识之间有纵向知识结构关联、横向知识结构关联或者纵横融通的知识结构关联,教学设计要遵循知识之间内在的结构关系进行整体设计。

1.纵向知识结构关联的整体设计
纵向知识结构关联是指单元内知识的发生、发展关系或结构相同的单元知识之间的关系，呈链状、纵深发展,又称“条状知识”。

纵向知识结构关系的整体设计就是围绕单元知识（包括不同年段知识）进行系统思考，并将单元知识联系起来进行整体设计，采取“上挂下联”策略。

这种设计有助于学生从上、下位联系（纵向联系）中，发现知识在其系统中的逻辑关系，反映的是知识之间的来龙去脉或因果关系。

（1）学：单元内纵向知识关联设计
以一个单元内知识的发生、发展为线索，学习这一单元知识的“一般观念”，即问题如何发现、概念如何形成、性质如何研究、问题如何解决等。

这个“一般观念”可以作为认识后续问题的基础，这些后续问题是开始所掌握的观念的特殊情况或一般化。

如在“有理数”教学过程中，引导学生形成的“一般观念”为：引入负数（实践的需要和数学发展的需要）寅有理数的概念（定义，符号表示，分类及相关概念：相反数、倒数、绝对值）寅有理数的性质（大小比较）寅有理数的运算（运算法则、运算律）寅有理数的应用。

在单元内知识的教学过程中，要重视学生对知识的理解与感悟，在此基础上，教师要注重引导学生积累数学学习活动经验，形成问题研究的观念系统（基本观念、方法观念和策略观念）。

以“有理数”一章学习为例，教师要注重引导学生整理、归纳，形成以下四个方面的学习经验：数系扩充的基本原因
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是生产、生活实际的需求和数学自身发展的需求（满足运算的封闭性）；数系扩充的基本过程：背景一概念一性质一运算一应用；数系扩充学习的基本规律是引进一种新的数，就要定义它的运算，定义一种运算，就要研究它的运算律；数系扩充的基本思想是使得在原来范围内成立的规律在更大的范围内仍然成立。

数学教学的目的不只是学习现成知识，其最重要的目的是将习得的知识、方法迁移到新情境中去袁也就是要学生学会创造性地解决问题。

所以教师要重视学生学习整理，将知识和自身经验连接起来使之有意义袁并在大脑里建构起知识体系，形成新的整体。

（2）用：单元间纵向知识关联设计
单元间知识的纵向关联是指单元知识之间具有上下位关系，如数的扩充经历了“正整数寅自然数寅整数寅有理数寅实数寅复数”的过程袁这是一个不断从下位到上位的学习过程。

如“实数”一章的教学，教师要善于运用先行组织者教学策略，引导学生类比“有理数”一章的学习经验，主动构建“实数”一章的学习结构：引入无理数寅实数的概念寅实数的性质寅实数的运算寅实数的应用遥
学生在以后的“代数式”的学习，甚至高中的“复数”和“向量”的学习袁同样会经历这样的类比学习过程。

因此，从中学的“数”的学习来看，“有理数”一章的学习是“学结构”阶段，“实数”“代数式”和“复数”“向量”的学习是“用结构”阶段。

当然，初中的“有理数”学习不是凭空的，而是基于小学的知识与方法，如果往前推，小学的“整数”的学习是“学结构”阶段袁中学的“数”学习是“用结构”阶段。

因此，教师要系统理解教材，做好教学衔接，使新知的学习有理想的“生长点”和“延伸点”。

2.横向知识结构关联的整体设计
横向知识结构关系是指结构类似的不同单元知识之间的联结关系袁是由多个“并列结合关系”的知识链构成的结构块，又称
“块状知识”。

横向知识结构关系的整体设计就是围绕单元知识之间横向关联的设计袁采
取“左勾右搭”策略。

（1）学：起始单元知识教学设计
起始单元指类结构的第一个单元，起始
单元知识教学要遵循“逐渐分化”原则，从
整体认识到局部研究，需要经历“引入寅类
概念寅规划研究思路寅局部知识研究”的过
程。

其中类概念的学习一般在起始单元的起始课发生袁要经历“整体认识”的过程：具体事例抽象基本图式概括对象划分分类类概念寅抽象命名，这样有助于学生了解知识内容的框架或知识的来龙去脉，了解知识之间的联系，使新知的学习有理想的“固着点”。

当然，过程中的“抽象命名”不是重点，只要学生知道有这样的概念和名称即可袁重点是让学生知道新知在知识系统中的地位和作用，以及整体背景下局部知识的类型；“局部研究”需要经历“引入寅概念（属）-性质（判定）性用性寺例研究（概念、性质、判定、应用）”的过程。

如“三角形”是“多边形”内容的起始单元，其学习需要经历从“整体——部分——整体”的过程，教学设计路径：三角形实例性三角形图形性三角形概念性三角形分类（按边和角两个要素分类）性三角形的性质（要素：边、角关系；相关要素：高线、中线、角平分线及外角等关系）性三角形全等（概念、性质、判定）特例研究.等腰三角形（概念、性质、判定）性直角三角形（概念、性质、判定）性系统整理。

其中“三角形实例性三角形分类”是“整体认识”的过程；“三角形的性质性直角三角形”以及九年级的“相似三角形”是“局部研究”的过程；“系统整理”是为了促进知识的系统化、结构化，形成新的整体。

起始单元教学，特别要注意两点：一是
在起始单元的起始课教学中，要组织学生深
度参与、整体感知，获得研究对象，提出研
学科研究
究问题，规划研究思路，这是
整体性教学的困难所在，因为
这个过程需要抽象、概括以及
分类思想，对初中学生来说比
较困难；二是要重视组织学生
的学习整理，不仅要总结、归纳本节课或本单元的知识结构,而且要总结、提炼学生学习的方法结构和知识形成的过程结构，帮助学生在大脑中形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构，促进学生的学习从“局部”走向新的“整体”。

如“三角形”单元知识的学习，教师要引导学生逐步积累和形成几何研究的“一般观念”：概念的学习方法、分类方法、性质和判定的研究对象与方法、研究思路等。

（2）用：横向知识的关联设计
横向知识的关联设计是基于某一类知识在被认识过程中蕴含相同的思维方式，这样的设计可以打破“只见树木，不见森林”的“点状”教学模式,把具有类特征的内容整合成“块状”知识，凸显点状知识背后共通的思维方式。

因此，横向知识关联设计要充分运用先行组织者策略，类比起始单元知识学习经验获得研究对象，再利用类比学习方法研究各分支内容，其设计流程如图2。

以“四边形”学习为例，三角形与四边形的学习有着相同的过程性结构和方法性结构,因此四边形的学习要善于类比三角形的学习内容、过程和方法进行整体教学设计：四边形实例寅四边形图形联想：三角形学习
图2横向知识关联设计流程
结构类比建构：四边形的研究框架寅四边形的概念寅四边形的性质特例研究平行四边形特例研究-矩形寅菱形特例研究正方形寅系统整理。

在特例的研究中，平行四边形的研究又是“学结构”阶段，矩形、菱形和正方形的研究是“用结构”阶段。

在矩形的学习中，教师要引导学生类比平行四边形的研究过程和研究方法开展半自主的研究，对于菱形和正方形研究要放手让学生进行自主研究。

3“纵横融通”知识结构关联的整体设计
如果将纵向知识链或横向知识块放到整个年级乃至整个学段的教学中，这些知识链或知识块也不过是一个局部的知识链或知识块。

因此，还需要将设计的视野从单元整体结构拓展到整个年级乃至整个学段的教学之中，在整个年级或学段教学的视野下审视、策划和体现结构链与结构块之间的关联性。

譬如方程与不等式都是研究两个用代数式表示量之间的大小关系，不论是宏观的研究思路和方法,还是微观的知识体系，都具有相似性，所以它们可以迁移。

因此不等式的学习一方面要经历“数式”学习过程：引入寅概念寅性质寅运算寅应用，另一方面不等式各部分内容的学习要注重引导学生借助方程的学习经验，以知识的相互联系为切入点，实现类比学习，如“一元一次不等式”单元教学设计（图3）。

图3一元一次不等式单元教学设计
整体性教学设计正如章建跃博士所说的“为学生构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”。

这种设计是基于对知识的系统理解，强调知识的关联和整合；强调形成学生主动类比发现结构、形成结构并加以拓展的学习心态和学习能力；强调将学生在学习过程中积累的经验迁移到新的问题情境，构建有序思维，解决挑战性问题；强调引导学生逐步从“教会”到“学会”，再到“会学”转变，培养学生的核心素养和关键能力。

（责任编辑张宗余）。