2020年湖南省常德市高考数学模拟试卷(理科)(一) (含答案解析)

2020年湖南省常德市高考数学模拟试卷(理科)(一)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知集合P ={x|x >−3}，Q ={x|x 2+3x −4≤0}，则P ∩Q =( )
A. [−4,+∞)
B. (−3,+∞)
C. (−3,1]
D. [−4,1]
2. 设复数z 满足|z −i |=1，z 在复平面内对应的点为(x,y )，则( )
A. (x +1)2+y 2=1
B. (x −1)2+y 2=1
C. x 2+(y −1)2=1
D. x 2+(y +1)2=1
3. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S 1−2S 3=15，则a 3为( )
A. 3
B. −4
C. −5
D. 6
4. 根据某市环境保护局公布2008∼2013这六年的空气质量优良的天数，绘制成折线图如图，根据图中的信息可知，这六年的每年空气质量优良天数的中位数是( )
A. 300
B. 302.5
C. 305
D. 310
5. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|AF|=4，则直线FA 的倾斜角为( ) A. π 3 B. π 4 C. π 3或2π 3 D. π 4或3π 4
6. 将函数y =sin(x +π3)横坐标缩短一半，再向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数，下列命题不正确的有几个( )
 ①在区间[−π4,π4]上单调递增， ②在区间[3π4,
5π
4]上单调递减 ③有一条对称轴为x =π6， ④有一个对称中心为(π4,0)
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
7. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )
A. 9
B. 8
C. 7
D. 10
8. 在区间[0,5]上随机地取一个数x ，则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为( ) A. 25 B. 15 C. 12 D. 1
4 9. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40 10. 已知函数f(x)=ln(x 2+1e )−|e x |，则不等式f(x +1)<f(2x −1)的解集是( )
A. (0,2)
B. (−∞,0)
C. (−∞,0)∪(2,+∞)
D. (2,+∞)
11. 若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是两个全等
的等腰三角形，则此几何体的表面积是( )
A. 36π
B. 30π
C. 24π
D. 15π
12. 函数 f(x)=11−x −1
x +x ，设 x 1 、 x 2 、 x 3 是曲线 y =f(x) 与直线 y =a 的三个交点的
横坐标，且 x 1<x 2<x 3 ，则下列命题错误的是( ) A. 存在实数 a ，使得 x 3−x 2>4
B. 任给实数 a ，都有 x 3−x 1>4
C. 存在实数 a ，使得 x 2−x 1>1
D. 任给实数 a ，都有 x 3−x 2>1
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知函数f(x)=x 3−ln x ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________． 14. 设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −y ≤0
，则z =3x −2y 的最小值为________．
15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n =3n −1(n ∈N ∗)，则a 4= ______ ．
16. 设点O 、P 、Q 是双曲线C ：x 2a 2−y 2
b 2=1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y 2=4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(3
2,−sinx)，n ⃗ =(1,sinx +√3cosx)，x ∈R ，函数f(x)=m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ． (1)求f(x)的最小正周期及值域；
(2)已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f(A)=0，a=√3，bc=2，求△ABC的
周长．
18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是边长为2的等边三角形，直角梯形ABCD中，AB//CD，
AB⊥BC，CD=2AB=2BC=2√2，M，N分别为PD，BC的中点．
(1)证明：MN//平面PAB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求平面PMN与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
19.某公司销售部随机抽取了1000名销售员1天的销售记录，经统计，其柱状图如图．
该公司给出了两种日薪方案．
方案1：没有底薪，每销售一件薪资20元；
方案2：底薪90元，每日前5件的销售量没有奖励，超过5件的部分每件奖励20元．
(Ⅰ)分别求出两种日薪方案中日工资y(单位：元)与销售件数n的函数关系式；
(Ⅱ)若将频率视为概率，回答下列问题：
(1)根据柱状图，试分别估计两种方案的日薪X(单位：元)的数学期望及方差；
(2)如果你要应聘该公司的销售员，结合(1)中的数据，根据统计学的思想，分析选择哪种薪资
方案比较合适，并说明你的理由．
20.在平面直角坐标系xOy中，动点S到点F(1,0)的距离与到直线x=2的距离的比值为√2
．
2
(1)求动点S的轨迹E的方程；
(2)过点F作与x轴不垂直的直线l交轨迹E于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M(m,0)，
使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.设函数f(x)=ae x−xlnx，其中a∈R，e是自然对数的底数．
(Ⅰ)若f(x)是(0,+∞)上的增函数，求a的取值范围；
(Ⅱ)若a≥2
e2
，证明：f(x)>0．
22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C 的参数方程为{x=1 2 t
y=3−t
(t为参数)，在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线D 的极坐标方程为ρ(1+sinθ)=2.求曲线C 的普通方程与曲线D 的直角坐标方程。

23.已知函数f(x)=|x−2|−|2x−2|
(Ⅰ)求不等式f(x)+1>0的解集；
(Ⅱ)当x∈R时，f(x)<−x+a恒成立，求实数a的取值范围．
【答案与解析】
1.答案：C
解析：解：Q={x|−4≤x≤1}；
∴P∩Q={x|−3<x≤1}=(−3,1]．
故选：C．
可解出Q={x|−4≤x≤1}，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．
2.答案：C
解析：
本题考查复数的模、复数的几何意义，正确理解复数的几何意义是解题关键，属基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据|z−i|=1即可得解．
解：∵z在复平面内对应的点为(x,y)，
∴z=x+yi，
∴z−i=x+(y−1)i，
∴|z−i|=√x2+(y−1)2=1，
∴x2+(y−1)2=1，
故选C．
3.答案：C
解析：解：设数列{a n}的公差为d，∵3S1−2S3=15，
∴3a1−2(3a1+3d)=15，化为：a1+2d=−5，
∴a3=−5．
故选：C．
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4.答案：B
解析：该组数据为290,295,300,305,305,315，共六个数据，所以其中位数为1
2
(300+305)=302.5.故选：B.
5.答案：C
解析：
本题主要考查了抛物线的简单性质，在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．先设出A(x,y)，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，求得x的值，代入抛物线方程求得y.然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角．
解：设该A坐标为(x,y)，抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，
根据抛物线定义可知x+1=4，解得x=3，代入抛物线方程求得y=±2√3，
故A坐标为(3,±2√3)，AF的斜率为k=2√3
3−1或k=−2√3
3−1
，
即k=√3或k=−√3，
则直线FA的倾斜角为π
3或2π
3
．
故选C．6.答案：A
解析：解：函数y=sin(x+π
3)横坐标缩短一半得到y=sin(2x+π
3
)，
再向右平移π
6
个单位长度，所得图象对应的函数y=sin2x，
①在区间[−π
4,π
4
]上单调递增，①正确；
②在区间[3π
4,5π
4
]上单调递增，所以②不正确；
③有一条对称轴为x=π
6，因为x=π
6
时，y没有取得最值，所以③不正确；
④有一个对称中心为(π
4,0)，因为x=π
4
时，y=1，不是对称中心，所以④不正确；
不正确的命题有3个．
故选：A．
通过三角函数的图象变换，求出函数的解析式，然后判断选项的正误即可．
本题考查三角函数的图象变换，三角函数的对称性以及函数的单调性的判断，命题的真假的判断是中档题．
7.答案：A
解析：
本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．
化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．
解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，
OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )
=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2
+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗
=32+0
=9．
故选：A ． 8.答案：A
解析：
本题考查几何概型的概率计算，属于基础题．
根据已知条件，求出区间[0,5]的长度，及事件“1≤2x−1≤4”对应区间的长度，代入几何概型计算公式，即可求出答案．
解：在区间[0,5]的长度为5，
因为1≤2x−1≤4，解之得1⩽x ⩽3，
则事件“1≤2x−1≤4”发生的概率为P =3−15−0=25．
故选：A ． 9.答案：B
解析：解：在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，令x =1，
可得展开式各项系数之和为2n+1=64，∴n =5，
则(3−x)(x +1)n =(3−x)(x +1)5=(3−x)(x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1)，
则x 3的系数是30−10=20，
故选：B ．
令x =1，可得展开式各项系数之和为2n+1=64，由此求得n 的值．再把(x +1)n 按照二项式定理展开，可得x 3的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10.答案：C
解析：解：函数f(x)=ln(x 2+1e )−|e x |，可知函数是偶函数，
x >0时，f(x)=ln(x 2+1e )−e x 是增函数，则x <0时是减函数，
故不等式f(x +1)<f(2x −1)，可得|x +1|<|2x −1|，解得x <0或x >2．
故选：C ．
利用函数的奇偶性以及函数的单调性转化不等式求解即可．
本题考查函数与方程的综合应用，考查转化思想的应用，是基本知识的考查． 11.答案：A
解析：解：由三视图可知：该几何体为圆锥，底面半径r =4，母线长为5．
∴此几何体的表面积=π×42+12×5×2π×4=36π．
故选：A ．
由三视图可知：该几何体为圆锥，底面半径r =4，母线长为5.即可得出．
本题考查了圆锥的三视图、表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12.答案：B
解析：
本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
存在性与任意性命题的判断，任意性命题错误，只需举反例即可．
解：函数f(x)=11−x −1x +x 的定义域为(−∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)，
易知f(x)在这三段定义域上递增，
曲线y =f(x)与y =a 的三个交点的横坐标x 1、x 2、x 3，且x 1<x 2<x 3，
取a =0.5时，即f(x)=0.5得(x +1)(x −2)(x −0.5)=0，
所以x 1=−1，x 2=0.5，x 3=2，x 2−x 1=1.5>1，
x 3−x 1=3<4，存在a =0.5时，x 3−x 1=3<4，所以B 不成立； 故选B ．
13.答案：2x −y −1=0
解析：
本题考查导数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
先求出函数的导数，然后分别求出切点处的函数值、导数值，则切线方程可解． 解：因为f(x)=x 3−lnx ，所以f′(x)=3x 2−1
x ，
又f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0． 故答案为：2x −y −1=0．
14.答案：−5
解析：
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题． 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，即可求得答案． 解：由x ，y 满足约束条件{x +2y ≤ 1
2x +y ≥−1x −y ≤0
作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立{x +2y =12x +y =−1
，解得A(−1,1)．
∴z =3x −2y 的最小值为−3×1−2×1=−5．
故答案为：−5．
15.答案：54
解析：解：由S n =3n −1(n ∈N ∗)，
得a 4=S 4−S 3=34−1−(33−1)=34−33=54． 故答案为：54．
直接由a 4=S 4−S 3结合已知求得答案．
本题考查数列递推式，训练了由数列的前n 项和求通项的方法，是基础题．
16.答案：√5
解析：解：
∵双曲线C ：x 2
a 2−y 2
b 2
=1(a >0,b >
0)，
∴双曲线的渐近线方程是y =±b
a x ， 则{y =b
a x y 2
=4x ，解得：{x =4a 2
b 2y =
4a b
,{x =0y =0, 则P(
4a 2b 2
,
4a b
)，同理求得Q(4a 2
b 2,−4a b
)，
△OPQ 的面积为S =1
2×丨PQ 丨×4a 2b 2
=2，
则b
a =2，
∴双曲线的离心率e =c a =√1+b 2
a 2=√5，
双曲线的离心率√5， 故答案为：√5．
求得双曲线的渐近线方程，联立求得P 和Q 点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得b
a =2，由双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．
本题考查双曲线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 17.答案：解：(1)∵向量m ⃗⃗⃗ =(3
2,−sinx)，n ⃗ =(1,sinx +√3cosx)，x ∈R ，
∴f(x)=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =
32−sinx(sinx +√3cosx)=3
2
−sin 2x −√3sinxcosx
=3
2
−
1
2
(1−cos2x)−
√3
2
sin2x=1+
1
2
cos2x−
√3
2
sin2x
=1+cos(2x+π
3
)，故函数的值域为[0,2]，
周期为T=2π
2
=π；
(2)∵在△ABC中f(A)=1+cos(2A+π
3
)=0，
∴cos(2A+π
3
)=−1，
∴2A+π
3=π，解得A=π
3
，
又a=√3，bc=2，∴3=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc
=(b+c)2−3bc=(b+c)2−6，解得b+c=3，
∴△ABC的周长为a+b+c=3+√3．
解析：本题考查三角函数恒等变换，涉及二倍角公式和两角和的余弦公式，同时考查了向量的数量积和余弦定理解三角形，属于中档题．
(1)由向量和三角函数化简可得f(x)=1+cos(2x+π
3
)，可得值域和周期；
(2)由(1)的结果和三角形的值解得A=π
3
，由余弦定理整体可得b+c的值，可得三角形周长．18.答案：(1)证明：取AD的中点O，连接MO，NO，
∵M为PD的中点，
∴OM//PA，
又∵OM⊄平面PAB，故OM//平面PAB
同理ON//平面PAB，
又OM∩ON=O，
∴平面MNO//平面PAB，
∵MN ⊂平面OMN ， ∴MN//平面PAB ； (2)∵AC ⊥AD ， ∴AC ⊥平面PAD ，
以A 为坐标原点，以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为x ，y 轴的正方向，过A 垂直于平面ACD 的直线为z 轴，如图建立空间直角坐标系，
在Rt △ACD 中，AC =2,CD =2√2， ∴AD =2，
∴P(0,1,√3),D (0,2,0),M (0,32,
√3
2
)， B (1,−1,0),C (2,0,0),N (3
2,−1
2,0)， ∴MN
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3
2,−2,−√3
2
)， 设平面PBC 的法向量为n →
=(x,y,z )，
∴{x −2y −√3z =0
x +y =0
, 取x =1，
∴y =−1,z =√3，即n →
=(1,−1,√3)， 同理可得平面PMN 的法向量m ⃗⃗⃗ =(5,3,√3)， 设平面PMN 与平面PBC 所成角为θ，
．
∴平面PMN 与平面PBC 所成角的余弦值为√18537
．
解析：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线面平行、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． (1)取PC 中点O ，可证面NOM//面PAB ，得MN//面PAB ；
(2)建立合适的坐标系，求出平面PMN 和平面PBC 的法向量，由此利用平面PMN 与平面PBC 法向量所成角的余弦值求出即可．
19.答案：解：(1)方案1：日工资y(单位：元)与销售件数n 的函数关系式为：y =20n ，n ∈N ；
方案2：日工资y(单位：元)与销售件数n 的函数关系式为y ={90,n ≤5,n ∈N 20n −10,n >5,n ∈N ；
(2)(Ⅰ)根据柱状图知，日销售量满足如下表格； 日销售量(件) 3 4 5 6 7 概率
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
所以方案1的日薪X 1的分布列为，
X 1 60 80 100 120 140 P
0.05
0.2
0.25
0.4
0.1
数学期望为E(X 1)=60×0.05+80×0.2+100×0.25+120×0.4+140×0.1=106， 方差为D(X 1)=0.05×(60−106)2+0.2×(80−106)2+0.25×(100−106)2+0.4×(120−
106)2+0.1×(140−106)2=444； 方案2的日薪X 2的分布列为，
数学期望为E(X 2)=90×0.5+110×0.4+130×0.1=102，
方差为D(X 2)=0.5×(90−102)2+0.4×(110−102)2+0.1×(130−102)2=176； (Ⅱ)答案1：由(Ⅰ)的计算结果可知，E(X 1)>E(X 2)，但两者相差不大， 又D(X 1)>D(X 2)，则方案2的日薪工资波动相对较小，所以应选择方案2．
答案2：由(Ⅰ)的计算结果可知，E(X 1)>E(X 2)，方案1的日薪工资期望大于方案2，所以应选择方案1．
解析：(1)分别写成方案1、方案2的日工资y 与销售件数n 的函数关系式即可； (2)(Ⅰ)根据柱状图写出方案1的日薪X 1的分布列，计算数学期望和方差； 写出方案2的日薪X 2的分布列，计算数学期望和方差；
(Ⅱ)答案1：由(Ⅰ)的计算结果知D(X 1)>D(X 2)，利用日薪工资波动性大小应选择方案2． 答案2：由(Ⅰ)的计算结果知，E(X 1)>E(X 2)，利用日薪工资期望大小应选择方案1．
本题考查了函数模型的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望和方差的计算问题，是中档题．
20.答案：解：(1)设S(x,y)，则|SF|=√(x −1)2+y 2，
S 到直线x =2的距离为|x −2|， ∴
√(x−1)2+y 2
|x−2|
=
√2
2，化简得x 22
+y 2=1，
∴轨迹E 的方程为：x 22
+y 2=1．
(2)若(MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即(MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0， ∴|MP|=|MQ|，
(1)若l 与x 轴重合时，显然M 与原点重合，m =0； (2)若直线l 的斜率k ≠0，则可设l ：y =k(x −1)，
联立方程组{y =k(x −1)
x 22
+y 2
=1，得(1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−2=0；
设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)则：x 1+x 2=4k 21+2k 2
，
∴PQ 的中点横坐标为
2k 21+2k 2
，代入y =k(x −1)得PQ 的中点纵坐标为−k
1+2k 2，
∴PQ 的中垂线方程为y +k
1+2k 2=−1
k
(x −
2k 21+2k 2
)，
令y =0得x =
k 21+2k
，即m =k 2
1+2k 2=1
2+1k 2
． ∵k 2>0，∴0<m <1
2，
综上，段OF 上存在点M(m,0)使得(MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，m 的范围是[0,1
2).
解析：【试题解析】
本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，充分利用|MP|=|MQ|是解题的关键，属于中档题．
(1)设S(x,y)，用x ，y 表示出S 到F 和到直线x =2的距离．列出方程化简即可；
(2)由(MP
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知|MP|=|MQ|，讨论l 的斜率，联立方程组，利用根与系数的关系求出PQ 的中点坐标，求出PQ 的中垂线方程，得出m 关于k 的函数，从而得出m 的范围．
21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=ae x −(1+lnx)，f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0恒成立．
令f′(x)≥0，得a ≥
1+lnx e x
，令g(x)=
1+lnx e x
(x >0).以下只需求g(x)的最大值．
求导得g′(x)=e −x (1
x −1−lnx)，
令ℎ(x)=1
x −1−lnx ，ℎ′(x)=−1
x 2−1
x <0，ℎ(x)是(0,+∞)上的减函数， 又ℎ(1)=0，故1是ℎ(x)的唯一零点，
当x ∈(0,1)，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)递增； 当x ∈(1,+∞)，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)递减； 故当x =1时，g(x)取得极大值且为最大值g(1)=1
e ， 所以a ≥1
e ，即a 的取值范围是[1
e ,+∞)． 证明：(Ⅱ)f(x)>0⇔
ae x x
−lnx >0．
令F(x)=
ae x x
−lnx(x >0)，以下证明当a ≥2
e 2时，F(x)的最小值大于0．
求导得F′(x)=a(x−1)e x
x 2
−1x
=
1x 2
[a(x −1)e x −x]．
①当0<x ≤1时，F′(x)<0，F(x)≥F(1)=ae >0； ②当x >1时，F′(x)=
a(x−1)x 2
[e x −
x a(x−1)
]，令G(x)=e x −x
a(x−1)， 则G′(x)=e x +1
a(x−1)2>0，又G(2)=e 2−2
a
=
ae 2−2a
≥0，
取m ∈(1,2)且使m
a(m−1)>e 2，即1<m <ae 2
ae 2−1
，则G(m)=e m −m
a(m−1)<e 2−e 2
=0，
因为G(m)G(2)<0，故G (x)存在唯一零点x 0∈(1,2)， 即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x 0∈(1,2)，又F(x 0)=ae x 0x 0−lnx 0，
且G(x 0)=e
x 0
−x 0a(x 0
−1)=0，即e x 0=x
0a(x 0
−1)，故
F(x 0)=1x 0−1
−lnx 0，
因为F′(x 0)=−1
(x
0−1)
2−
1x 0
<0，故F (x 0)是(1,2)上的减函数．
所以F(x 0)>F(2)=1−ln2>0，所以F(x)>0． 综上，当a ≥2
e 2时，总有f(x)>0．
解析：(Ⅰ)f′(x)=ae x −(1+lnx)，f(x)是(0,+∞)上的增函数等价于f′(x)≥0恒成立．令f′(x)≥0，得a ≥
1+lnx e x ，令g(x)=
1+lnx e x
(x >0)，求导得g′(x)=e −x (1x −1−lnx)，令ℎ(x)=1
x −1−lnx ，
ℎ′(x)=−1
x 2−1
x <0，由此能求出a 的取值范围． (Ⅱ)f(x)>0⇔
ae x x
−lnx >0.令F(x)=
ae x x
−lnx(x >0)，当a ≥2
e 2时，F(x)的最小值大于0.由此利
用导数性质能证明当a ≥2
e 2时，总有f(x)>0．
本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题． 22.答案：解：∵曲线C 的参数方程为{
x =1
2t
y =3−t
(t 为参数)， 消去参数t ，得到曲线C 的普通方程为y =3−2x ，即2x +y −3=0． ∵曲线D 的极坐标方程为ρ(1+sinθ)=2． ∴曲线D 的方程可化为：ρ+ρsinθ=2，
由题ρ>0，∴化为直角坐标方程为：√x 2+y 2+y =2，
化简得曲线D的直角坐标方程为：x2=4−4y．
解析：曲线C的参数方程消去参数t，能求出曲线C的普通方程；曲线D的极坐标方程化为ρ+ρsinθ= 2，由题ρ>0，由此能求出曲线D的直角坐标方程．
23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x−2|−|2x−2|，
当x≤1时，f(x)=−(x−2)+(2x−2)=x，
∴不等式f(x)+1>0转化为x+1>0，解得−1<
x≤1；
当1<x≤2时，f(x)=−(x−2)−(2x−2)=
−3x+4，
∴不等式f(x)+1>0化为−3x+5>0，解得1<x<
5
3
；
当x>2时，f(x)=(x−2)−(2x−2)=−x，
不等式f(x)+1>0化为−x+1>0，解得x∈⌀；
综上，不等式f(x)+1>0的解集为{x|−1<x<5
3
}；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，函数f(x)={x,x≤1
−3x+4,1<x≤2−x,x>2
；
画出f(x)的图象如图所示；
由图象知，当x=1时，令f(x)<−x+a，
即1<−1+a，解得a>2；
∴实数a的取值范围是(2,+∞)．
解析：(Ⅰ)利用分类讨论法去绝对值，求不等式f(x)+1>0的解集即可；
(Ⅱ)利用分段函数画出f(x)的图象，结合图象求出不等式f(x)<−x+a恒成立时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．。