宁夏回族自治区银川一中高三数学上学期第四次月考试题

银川一中2016届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知{}1,log |2>==x x y y U ，P =⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
>=
2,1|x x y y ，则=P C U A ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡+∞,2
1 B ．⎪⎭
⎫ ⎝
⎛21,0 C ．()+∞,0 D ．(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃∞-,2
1
0,
2．命题“若x 2
+y 2
=0，x 、y ∈R ，则x =y =0”的逆否命题是
A ．若x ≠y ≠0，x 、y ∈R，则x 2+y 2
=0 B ．若x =y ≠0，x 、y ∈R，则x 2
+y 2
≠0
C ．若x ≠0且y ≠0，x 、y ∈R,则x 2
+y 2
≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x 、y ∈R,则x 2
+y 2
≠0 3．在△ABC 中,M 是BC 的中点，AM =1,点P 在AM 上且满足学2=,则)(+⋅ 等于 A ．94-
B ．34-
C ．34
D ． 9
4
4．设双曲线122
22=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线12+=x y 只有一个公共点，则双曲线的离心率
为 A ．
45 B ．5 C ．2
5 D ．5 5．将函数x y 2sin =的图像向左平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是 A ．x y 2cos = B ．x y 2cos 2= C ．⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
+=42sin 1πx y D ．x y 2sin 2=
6．函数⎩
⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20
,32)(2x x x x x x f 的零点个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
7．若函数()x f y =的导函数为()x f y '=，且⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=62cos 2)('πx x f ，则)(x f y =在[]π,0上
的单调增区间为
A ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6,0π B ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ππ,32 C ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6,0π和⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ππ,3 D ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡6,0π和⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ππ,3
2
8．如果实数x 、y 满足关系⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-≤-+0
4400
4y x y x y x ，则511
--+x y x 的取值范围是
A ．[3，4]
B ． [2，3]
C ．⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡47,57 D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡3
7,57
9．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛
⎫
==++
⎪⎝⎭
，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -，且当2x ≠时其导函数
()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则
A ．2(2)(3)(log )a
f f f a << B ．2(3)(lo
g )(2)a
f f a f << C ．2(lo
g )(3)(2)a
f a f f <<
D ．2(log )(2)(3)a
f a f f <<
11．已知集合M ={(x,y )|y f (x )=}，若对于任意11(x ,y )M ∈，存在22(x ,y )M ∈，使
得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合： ①M ={1
(x,y )|y x
=
}； ②M ={1(x,y )|y sin x =+}； ③M ={2(x,y )|y log x =}； ④M ={2x
(x,y )|y e =-}．
其中是“垂直对点集”的序号是 A ．①② B．②③ C．①④ D．②④
12．已知1>a ，函数)1(log )(+=x x f a ，)2(log 2)(t x x g a +=，当()1,1-∈x ，[]6,4∈t 时，
存在x ,t 使得4)()(+≤x f x g 成立，则a 的最小值为 A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．点M 是圆x 2
+y 2
=4上的动点，点N 与点M 关于点A （1，1）对称，则点N 的轨迹方程
是 . 14．设函数f (x )=log 3(9x )·log 3(3x ),
1
9
≤x ≤9,则f (x )的最小值为 . 15．抛物线)0(22>=p px y 的动弦AB 的长为)2(p a a ≥，则弦AB 的中点M 到y 轴的最短距
离为_______________。

16．对于实数b a ,，定义运算“*”：⎩⎨⎧>-≤-=*b
a a
b b b
a a
b a b a ,,2
2，设)1()12()(-*-=x x x f ，
且关于x 的方程为)()(R m m x f ∈=恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则321x x x 的取值范围是_____。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
已知函数m x x x x f ++⋅=2cos 2cos sin 32)(在区间]2
,0[π
上的最大值为2．
（1）求常数m 的值；
（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边是a 、b 、c ，若C B A f sin 3sin ,1)(==， △ABC 面积为4
3
3．求边长a ．
18．（本小题满分12分）
等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1， 且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
.
19．(本小题满分12分).
已知过抛物线()y px p 2
=2>0的焦点，斜率为的直线交抛物线于(,)A x y 11，
(,)()B x y x x 2212<两点，且.18=AB
（1）求该抛物线的方程；
（2）O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若,OB OA OC λ+=，求λ的值．
20．(本小题满分12分)
已知椭圆C ：22
2210x y (a b )a b
+=>>的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，
直线0l :x y -=与以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设M 是椭圆的上顶点，过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A 、B 两点，设两直线的斜率分别为k 1、k 2，且k 1+k 2=4，证明：直线AB 过定点(1
2
-，-l)． 21．（本小题满分12分） 设函数3
21()(4),()ln(1)3
f x mx m x
g x a x =
++=-，其中0a ≠． (1)若函数()y g x =图象恒过定点P ，且点P 关于直线3
2
x =的对称点在()y f x =的图象上，求m 的值；
(2)当8a =时，设()'()(1)F x f x g x =++，讨论()F x 的单调性； (3)在(1)的条件下，设(),2
()(),2f x x G x g x x ≤⎧=⎨
>⎩
，曲线()y G x =上是否存在两点P 、Q ，
使△OPQ (O 为原点)是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如果不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
已知ABC △中，AB AC =，D 是ABC △外接圆劣弧 AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至E ． （1）求证：AD 的延长线平分∠CDE ；
（2）若30BAC ∠=°，ABC △中BC 边上的高为
求ABC △外接圆的面积．
23．（本小题满分10分）选修4－4；坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为πcos 13ρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． （1）写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()|1|||f x x x a =-+-． （1）若1a =-，解不等式()3f x ≥；
（2）如果x ∀∈R ，()2f x ≥，求a 的取值范围．
A
D E
C B
银川一中2016届高三年级第四次月考数学（理）答案
一、选择题 题号 1 2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A
D
A D
B B D D A
C
D C
13.(ｘ－2)２
+(ｙ－2)２
＝4 14.-
14 15．22p
a - 16.)0,16
31(-
17．解：（1
）2()cos 2cos =⋅++f x x x x m
2(1cos 2)=+++x x m
1
2(sin 2cos 2)12
=+⋅++x x m 2sin(2)16π
=+++x m ∵ 0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣x ∴72,666πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎦⎣
x ∵ 函数sin =y t 在区间,62ππ⎡⎤⎢
⎥⎦⎣ 上是增函数，在区间7,26ππ⎡⎤
⎢⎥⎦⎣ 上是减函数 ∴当262
ππ
+=x 即6π=x 时，函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取到最大值．
此时，max
()()326
π
==+=f x f m 得1=-m （2）∵ ()1=f A ∴ 2sin(2)16
π
+=A
∴ 1sin(2)62π+=A ，解得0=A （舍去）或3
π
=A
∵ sin 3sin =B C ，sin sin sin ==
a b c
A B C
∴ 3=b c ①
∵ ∆ABC
∴ 11sin sin 223π∆===ABC S bc A bc 即3=bc …②
由①和②解得3,1==b c
∵222222cos 31231cos 3
π
=+-⋅=+-⨯⨯⨯a b c bc A
∴ =a 18.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，
a n ＝3＋(n －1)d ，
b n ＝q n －1.
依题意有22233(6)64,(93)960,S b d q S b d q =+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩解得6,25()840.3
d d q q ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或舍去 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1
.
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
＝
11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19.解：（1）直线AB 的方程是22()2p
y x =-，与22y px =联立， 从而有22
450,x px p -+=所以1254
p x x +=
由抛物线定义得,1821=++=p x x AB .8=∴p
从而抛物线方程为x y 162
=…
（2）由8=p ，可得016102
=+-x x ，从而,8,221==x x 代入x y 162
=得
,28,2421=-=y y 从而)28,8(),24,2(B A -分
设)2428,28()28,8()24,2(),(33-+=+-=+==λλλλy x ，
又32
3
16x y =即2(21)41λλ-=+.… 解得0, 2.λλ==或…………………
20、解（I ）A Q ，，，等轴双曲线离心率为2
∞
21.（1）令ln(1)0x -=，则2x =，
(2,0)P \关于3
2x =
的对称点为（1，0）， 由题知1
(1)0,(4)0,33f m m m =\++=\=-.
（2）2
()2(4)8ln F x mx m x x =+++，定义域为(0,)+?， 8
()2(82)F
x mx m x
¢=+++ 22(82)8mx m x x
+++=
(28)(1)
mx x x
++=
. ∵0,x >Q 则10x +>，
∴当0≥m 时，280,mx F x ¢+>>)('x F >0,此时)(x F 在()+∞,0上单调递增，
当0m <时，由)('>x F 4
()00,F x x m
¢><<-得
由0)('<x F 得m x 4-
> 此时)(x F 在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-m 4,0上为增函数，
在⎪⎭
⎫
⎝⎛
+∞-
,4m 为减函数， 综上当0≥m 时，)(x F 在()+∞,0上为增函数，
0m <时，在⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-
m 4,0上为增函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞-,4m 为减函数. （3）由条件（1）知⎩
⎨⎧>-≤+-=2),1ln(2
,)(23x x a x x x x G .
假设曲线()y G x =上存在两点P 、Q 满足题意，则P 、Q 两点只能在y 轴两侧， 设(,())(0),P t G t t >则32(,),Q t t t -+
∵△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，
∴0=⋅OQ OP ,即2320,()()0OP OQ t G t t t \?\-++=u u r u u u r .①
（1）当20≤<t 时， 32(),G t t t \=-+
此时方程①为23232
()()0,t t t t t -+-++= 化简得4
2
10t t -+=.
此方程无解，满足条件的P 、Q 两点不存在.
（2）当2t >时，()ln(1)G t a t =-，方程①为232
ln(1)()0,t a t t t -+-+=
即
1
(1)ln(1),t t a
=+- 设()(1)ln(1)(1),h t t t t =+->则=)'t 1
()ln(1),1
t h t t +¢=-+
- 显然当2t >时0)('>t h 即)(t h 在(2，+∞)为增函数，
∴()h t \的值域为)),2((+∞h 即(0，+∞)
)('x F
∴当0a >时方程①总有解.
综上若存在P 、Q 两点满足题意，则a 的取值范围是(0，+∞).
22．解：（Ⅰ）如图，设F 为AD 延长线上一点，
A B C D Q ，，，四点共圆，CDF ABC ∴∠=∠． 又AB AC ABC ACB =∴∠=∠，， 且ADB ACB ADB CDF ∠=∠∴∠=∠，． 对顶角EDF ADB ∠=∠，故EDF CDF ∠=∠．
即AD 的延长线平分CDE ∠．
（Ⅱ）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH BC ⊥
． 连接OC ．由题意157560OAC OCA ACB OCH ∠=∠=∠=∴∠=°，°，°．
设圆半径为r ，则22
r r +=+2r =，外接圆面积为4π． 23.答案：解：（Ⅰ）由πcos 13ρθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭得1cos 122ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
． 从而C 的直角坐标方程为
1122
x y +=，即2x +=． 0θ=时，2ρ=，所以(20)M ，．π
2θ=时，ρ=π32N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，． （Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0），N 点的直角坐标为03⎛
⎝⎭
，． 所以P 点的直角坐标为13⎛ ⎝⎭，，则P 点的极坐标为π36⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，． 所以直线OP 的极坐标方程为π
()6
θρ=∈-∞+∞，，
． 24.答案：解：（Ⅰ）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++． 由()3f x ≥，得|1||1|3x x -++≥，
（ⅰ）1x -≤时，不等式化为113x x ---≥，即23x -≥．
不等式组1()3
x f x -⎧⎨⎩≤≥的解集为3
(]2-∞-，． （ⅱ）当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立．
不等式组11
()3x f x -<⎧⎨⎩
≤≥的解集为∅．
（ⅲ）当1x >时，不等式化为113x x -++≥，即23x ≥．
不等式组1()3x f x >⎧⎨⎩
≥的解集为3
[)2+∞，． 综上得，()3f x ≥的解集为33(][)22
-∞-+∞U ，，． （Ⅱ）若1
()2|1|a f x x ==-，，不满足题设条件． 若211()112(1)1x a x a a f x a a x x a x -++⎧⎪
<=-<<⎨⎪-+⎩
，≤，，，
，，≥．()f x 的最小值为1a -． A D E C
B O H F
若2111()112(1)x a x a f x a x a x a x a -++⎧⎪
>=-<<⎨⎪-+⎩
，≤，，，
，，≥．()f x 的最小值为1a -． 所以()2x f x ∀∈R ，≥的充要条件是|1|2a -≥，从而a 的取值范围为(1][3)-∞-+∞U ，，．。