《分式方程的应用》 知识清单

《分式方程的应用》知识清单
一、分式方程的定义
分式方程是指分母中含有未知数的方程。

例如：＼（＼frac{1}｛x} ＋ 2 ＝ 3\）就是一个简单的分式方程。

二、分式方程的解法
1、去分母
将分式方程两边同乘各分母的最简公分母，化为整式方程。

例如，对于方程＼（＼frac{x}｛x 1} ＝＼frac{2}｛x 1}＼），最简公分母是＼（x 1\），两边同乘＼（x 1\）得到：＼（x ＝ 2\）。

2、解整式方程
按照解整式方程的方法求解。

3、验根
将求得的解代入原分式方程的分母中，若分母不为零，则该解是原分式方程的解；若分母为零，则该解不是原分式方程的解，应舍去。

例如，对于上面求出的解＼（x ＝ 2\），代入＼（x 1\）中，＼（2 1 ＝ 1\neq 0\），所以＼（x ＝ 2\）是原方程的解。

三、分式方程的应用类型
1、行程问题
行程问题中，基本公式为：路程＝速度×时间。

例如：甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行。

甲的速度为＼（x\）千米/小时，乙的速度为＼（y\）千米/小时，经过＼（t\）小时相遇，A、B 两地相距＼（s\）千米。

可列出方程：＼（xt ＋ yt ＝ s\）。

如果已知路程和其中一人的速度，求另一人的速度，就可能用到分式方程。

2、工程问题
工程问题中，基本公式为：工作总量＝工作效率×工作时间。

例如：一项工程，甲单独完成需要＼（x\）天，乙单独完成需要＼（y\）天，两人合作需要＼（t\）天完成。

可列出方程：＼（＼frac{t}｛x} ＋＼frac{t}｛y} ＝ 1\）。

3、销售问题
销售问题中，涉及到利润、成本、售价、销售量等。

例如：某商品进价为＼（a\）元，售价为＼（b\）元，销售量为＼（x\）件，利润为＼（y\）元。

根据利润＝售价进价，可列出方程：＼（y ＝（b a)x\）。

如果已知利润、进价和售价，求销售量，可能会用到分式方程。

4、浓度问题
浓度问题中，基本公式为：浓度＝溶质质量÷溶液质量。

例如：有一定质量分数的溶液，加入一定量的水后，浓度发生变化。

已知原溶液质量为＼（m\）克，浓度为＼（p\％＼），加入＼（n\）克水后，浓度变为＼（q\％＼）。

可列出方程：＼（＼frac{mp\％｝｛m ＋ n} ＝ q\％＼）。

四、解题步骤
1、审清题意
仔细阅读题目，明确题目中的已知量和未知量，以及它们之间的关系。

2、设未知数
根据题目中的等量关系，设出合适的未知数。

3、列分式方程
根据题目中的等量关系，列出分式方程。

4、解方程
按照分式方程的解法，求出未知数的值。

5、检验
把求出的未知数的值代入原方程进行检验，看是否满足题意和方程
的分母不为零。

6、答
写出答案，包括单位和完整的回答。

五、易错点
1、忘记验根
解完分式方程后，一定要进行验根，确保解是原方程的解。

2、找错等量关系
在列分式方程时，要仔细分析题目，找准等量关系，否则会导致方程列错。

3、计算错误
在解方程的过程中，要认真计算，避免出现计算错误。

六、实际应用例题
例 1：甲、乙两人加工同一种零件，甲加工 90 个零件所用的时间与乙加工 120 个零件所用的时间相等。

已知甲、乙两人每天共加工 35 个零件，求甲、乙两人每天各加工多少个零件？
解：设甲每天加工＼（x\）个零件，则乙每天加工＼（35 x\）个零件。

根据甲加工 90 个零件所用的时间与乙加工 120 个零件所用的时间相等，可列出方程：
＼（＼frac{90}｛x} ＝＼frac{120}｛35 x}＼）
去分母得：＼（90(35 x) ＝ 120x\）
展开得：＼（3150 90x ＝ 120x\）
移项得：＼（120x ＋ 90x ＝ 3150\）
合并同类项得：＼（210x ＝ 3150\）
解得：＼（x ＝ 15\）
经检验，＼（x ＝ 15\）是原方程的解，且符合题意。

则乙每天加工＼（35 15 ＝ 20\）个零件。

答：甲每天加工 15 个零件，乙每天加工 20 个零件。

例 2：某工厂现在平均每天比原计划多生产 50 台机器，现在生产600 台机器所需的时间与原计划生产 450 台机器所需的时间相同。

现在平均每天生产多少台机器？
解：设现在平均每天生产＼（x\）台机器，则原计划平均每天生产＼（x 50\）台机器。

根据现在生产 600 台机器所需的时间与原计划生产 450 台机器所需的时间相同，可列出方程：
＼（＼frac{600}｛x} ＝＼frac{450}｛x 50}＼）
去分母得：＼（600(x 50) ＝ 450x\）
展开得：＼（600x 30000 ＝ 450x\）
移项得：＼（600x 450x ＝ 30000\）
合并同类项得：＼（150x ＝ 30000\）
解得：＼（x ＝ 200\）
经检验，＼（x ＝ 200\）是原方程的解，且符合题意。

答：现在平均每天生产 200 台机器。

例 3：一项工程，甲单独做需要＼（x\）天完成，乙单独做需要＼（y\）天完成。

若甲、乙合作完成这项工程需要＼（t\）天，求＼
（t\）关于＼（x\）、＼（y\）的表达式。

解：把这项工程的工作量看作单位“1”。

则甲每天的工作效率为＼（＼frac{1}｛x}＼），乙每天的工作效率为＼（＼frac{1}｛y}＼）。

甲、乙合作每天的工作效率为＼（＼frac{1}｛x} ＋＼frac{1}｛y}＼）。

根据工作总量＝工作效率×工作时间，可列出方程：
＼（t(＼frac{1}｛x} ＋＼frac{1}｛y}）＝ 1\）
＼（t(＼frac{y}｛xy} ＋＼frac{x}｛xy}）＝ 1\）
＼（t(＼frac{x ＋ y}｛xy}）＝ 1\）
＼（t ＝＼frac{xy}｛x ＋ y}＼）
答：＼（t ＝＼frac{xy}｛x ＋ y}＼）。

七、总结
分式方程在实际生活中的应用广泛，通过以上的知识清单，希望大
家能够掌握分式方程的定义、解法、应用类型、解题步骤和易错点，
并能够熟练运用分式方程解决实际问题。

在学习过程中，要多做练习，不断提高自己的解题能力。