于都实验中学2012-2013学年高三年级全县联考数学试卷(理科)

．
12、 已 知 圆 C : x2 y2 bx ay 3 0(a,b 为 正 实 数 )上 任 意 一 点 关 于 直 线
l : x y 2 0 的对称点都在圆 C 上，则 1 3 的最小值为 ab
．A
13、如图，P 为△ABC 内一点，且 AP 2 AB 1 AC ，则△ABP 的面积与△ABC 的面
(3)过点 Q(1, 0)的直线与椭圆交于两点 M、N，若△DMN 面积取得最大，求直线 MN 的方
程．
解：(1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4
得 2a=4，即 a=2
3
又点 A(1,
3 2
)在椭圆上，因此
1 22
4 b2
1 ，得 b2=1，于是
17．(12 分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已 知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12，至少选修一门的概率是 0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的 课程门数的乘积．
(1)记“函数 f(x)=x2+ξ·x 为 R 上的偶函数”为事件 A，求事件 A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．
1 解：(1)当 x＞－1 时， N '(x) ＝2x＋2＋ 1 x ＞0……………2 分 所以，N(x)在(－1，＋ )上是单调递增，N(0)＝0……………4 分 (2)f(x)的定义域是(－1，＋ )
当－1＜x＜0 时，N(x)＜0，所以， f '(x) ＜0，
当 x＞0 时，N(x)＞0，所以， f '(x) ＞0，……………………………8 分
22
20、(13 分)设
F1、F2 分别为椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆 C
上的点
A(1,
3 2
)到
F1、F2 两点的距离之和等于
4．
(1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
(2)过点 P(1, 1 )的直线与椭圆交于两点 D、E，若 DP=PE，求直线 DE 的方程； 4
55
P
C
积之比为
．
B
14、定义在 R 上的函数 f(x)为奇函数，且 f(x－3)为偶函数，记 f(2009)=a，若 f
(7)>1，则 a 的取值范围为
．
15、操作变换记为 P1(x, y)，其规则为：P1(x, y)=(x+y, x－y)，且规定：Pn(x, y)=P1(Pn －1(x, y))，n 是大于 1 的整数，如：P1(1, 2)=(3, －1)，P2(1, 2)=P1(P1(1, 2))=P1(3, －1)=(2, 4)，则
ak 为正整数的 k(k∈N*)叫做和谐数，则在区间[1, 2009]内所有的和谐数的和为
A．1018
B．1019
C．2038
D．2036
二、填空题.本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.把正确答案填在答题卡
的相应位置.
11、如果 f(tanx)=sin2x－5sinxcosx，那么 f(5)=
的斜率为
k=－1
∴DE 的方程为 y－1=－(x－ 1 ) 即 4x+4y=5………(7 分) 4
(3)直线 MN 不与 y 轴垂直得 MN 方程为 my=x－1
代入椭圆 C 的方程得(m2+4)y2+2my－3=0
设 M(x1, y1)，N(x2, y2)
则
y1+y2=
2m m2
4
，y1－y2=
C2=3
所以椭圆
C
的方程为
x2 4
y2
1 ，焦点
F1(－
3 , 0)，F2(
3 , 0) ………(3 分)
(2)∵P 在椭圆内
∴直线 DE 与椭圆相交
∴设
D(x1,
y1)，E(x2,
y2)代入椭圆
C
的方程得
x12
4y12
4
0,
x
2 2
4y
2 2
4．, 相减得
2(x1－x2)+4×2×
1 4
(y1－y2)=0
于都实验中学 2012-2013 学年高三年级全县联考数学试卷(理科)
一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．设集合 A＝{x|y＝ln(x－3)}，B＝{y| y=
1
}，则 A∩B＝
4 5x x 2
4
(3)过点 Q(1, 0)的直线与椭圆交于两点 M、N，若△DMN 面积取得最大，求直
线 MN 的方程．
21、(14 分)设函数 f(x)＝ x ln(1 x) ． 1 x
(1)令 N(x)＝(1＋x)2－1＋ln(1＋x)，判断并证明 N(x)在(－1，＋ )上的单调性， 并求 N(0)；
(2)求 f(x)在定义域上的最小值； (3)是否存在实数 m，n 满足 0≤m＜n，使得 f(x)在区间［m，n］上的值域也为 ［m，n］？
11 1
(2)求证：对任意正整数 n ，
an 2
,
a2 n1
,
a2 n 2
都不成等差数列．
12 分
19、(12 分)如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，AA1=AC=1，BC= 2 ，CD⊥AB， 垂足为 D．
(1)求证：BC∥平面 AB1C1； (2)求点 B1 到面 A1CD 的距离．
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要
条件 4. 已知函数 f(x)＝Error!则对任意 x1，x2∈R，若 0<|x1|<|x2|，下列不等式恒成立的 是
A．f(x1)－f(x2)>0
B．f(x1)－f(x2)<0
C．f(x1)＋f(x2)<0
D．f(x1)＋f(x2)>0
5．已知函数
f
(x)
Asin(x )
P2012(1, －1)=
．
三、解答题.本大题共 6 个小题，共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明 过程或推理步骤. 16．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b 3a.
(1)当 c=1，且△ABC 的面积为 3 时,求a 的值； 4
(2)当 cos C 3 时,求 cos(B A) 的值． 3
A．Φ
B．(3, +∞)
C．[ 2 , +∞)
3
D．[ 2 ，3)
3
2．已知复数 z 满足 z i 2 i ， i 为虚数单位，则 z
A． 1 2i
B． 1 2i
C． 1 2i
D．1 2i
3．命题“存在 x0∈R，使 x20＋ax0－4a<0”为假命题是“－16≤a≤0”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C1
解：(1)证明：
∵BC∥B1C1
A1
B1
B1C1 面 AB1C1 BC∥AB1C1 ……… (5 分)
BC 面 AB1C1
C
(2)建立如图的空间直角坐标系，则 A1(1, 0, 1)，C(0, 0, 0)，
D( 2 , 3
2 3
,
0)，B1(0,
2 , 1)
AD
B
设平面 A1CD 的一个法向量为 n =(x, y, z)
也即方程 f(x)＝x 在［0，＋ )上有两个不等的实根 m，n，
18．(12 分)已知等差数列an 中，首项 a1 0 ，公差 d 0 ．
(1)若 a1 =1， d
2 ，且
1 a12
,
1 a42
,
1 am2
成等比数列，求整数
m
的值；
(2)求证：对任意正整数 n
，
1 an 2
,
1 a2
n1
,
1 a2
n 2
都不成等差数列．
19、(12 分)如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB=90°，AA1=AC=1，BC= 2 ，
C．[－3, －2]∪[1, 3]∪[5, +∞)
D．[－3, －2)∪(1, 3]
9、已知函数
f(x)=|lg(x－1)|－(
1 3
)x
有两个零点
x1、x2，则有
A．x1x2<x1+x2 B．x1x2<1
C．x1x2=x1+x2 D．x1x2>x1+x2
10、已知数列{an}满足 a1=1，an=logn(n+1) (n≥2，n∈N*)，定义：使乘积 a1·a2·…
的图像如右图所示，又
f
(
)
2
，那么
f
(0) 的
23
值为 A． 2 3 C． 1 2
B． 1 2
D． 2 3
6、设 a =(3, 4)， a ⊥ b 且 b 在 x 轴上的投影为 2，则 b =
A．(2, 8 )
3
B．(2, － 3 )
2
C．(2, － 8 )
3
D．(－2, 3 )
2
7、已知函数 f(x)在 R 上满足 f(1+x)=2f(1－x)－x2+3x+1，则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))
分)
∴MN 方程为 x=1
21、(14 分)设函数 f(x)＝ x ln(1 x) ． 1 x
(1)令 N(x)＝(1＋x)2－1＋ln(1＋x)，判断并证明 N(x)在(－1，＋ )上的单调性，并求
N(0)； (2)求 f(x)在定义域上的最小值；
(3)是否存在实数 m，n 满足 0≤m＜n，使得 f(x)在区间［m，n］上的值域也为［m，n］？
所以，在(－1,0)上 f(x)单调递减，在(0，＋ )上，f(x)单调递增，
所以， fmin ＝f(0)＝0………………………………………10 分
(3)由(2)知 f(x)在［0，＋ )上是单调递增函数，
若存在 m，n 满足条件，则必有 f(m)＝m，f(n)＝n，……………………………12 分
处的切线方程是
A．3x－y－2=0 B．3x+y－2=0 C．x－y+1=0 D．x－y－2=0
8、已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象经过点(－4, 0)，且在(0, +∞)上单调递减，
则不等式(x2－x－6)·f(1－x)≥0 的解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为
A．(－3, －2)∪(1, 3)∪(5, +∞)
B．[－3, －2)∪(1, 3]∪[5, +∞)
C1
A1
B1
C
CD⊥AB，垂足为 D． (1)求证：BC∥平面 AB1C1； (2)求点 B1 到面 A1CD 的距离．
20、(13
分)设
F1、F2 分别为椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的左、右焦点，若椭圆
C
上的点 A(1,
3 2
)到
F1、F2
两点的距离之和等于
4．
(1)写出椭圆 C 的方程和焦点坐标； (2)过点 P(1, 1 )的直线与椭圆交于两点 D、E，若 DP=PE，求直线 DE 的方程；
∵ n ⊥ CA1 ， n ⊥ CD ∴ n · CA1 =0， n · CD =0
∴
x 2 3
x
z
0
y 3
0
∴
z y
x
2x
令 x=1，得 n =(1, － 2 , －1) …………(8 分)
∵点 B1 到面 A1CD 的距离等于 B1C 在 n 上的射影长 ∴d= 2 1 3 ………………(12 分)
(2)当 cos C 3 时,求 cos(B A) 的值． 3
1分
2分
5分
6分 8分 9分 11 分
12 分
17．(12 分)某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生选 修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12，至少选修一门的 概率是 0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
答案
一、选择题：本大题共 10 小题；每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
C
B
D
B
D
C
A
D
二、填空题.本大题共有 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
11、0
(1)记“函数 f(x)=x2+ξ·x 为 R 上的偶函数”为事件 A，求事件 A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．
18．(12 分)已知等差数列an 中，首项 a1 0 ，公差 d 0 ．
(1)若 a1 =1， d
2 ，且
1 a12
,
1 a42
,
1 am2
成等比数列，求整数 m
的值；
3 m2
4
且△>0
成立
又
S△OMN=
1 2
|
y1－y2|=
1 2
4m2 12(m2 4) 2 m2 3
m2 4
m2 4
设 t= m2 3≥ 33
则
S△OMN=
t
2 1
，( t
1 t
)
'
=1－t－2>0
对
t≥
3 恒成立
t
∴t=
3
时，
t
1 t
取得最小，S△OMN
最大，此时
m=0………(13
12．1 3 2
13、1：5
14、a<－1
15、(21006, －21006)
三、解答题.本大题共 6 个小题，共 75 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理
步骤.
16．(12 分)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 b 3a.
(1)当 c=1，且△ABC 的面积为 3 时, 求a 的值； 4