2023-2024学年湖南省高一下学期期中月考数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年湖南省高一下册期中联考数学试题
一、单选题
1．设集合1Z 32A x x ⎧⎫
=∈-<<⎨⎬⎩
⎭，{}1,0,1,2B =-，能正确表示图中阴影部分的集合是（
）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,2
C ．{}0,1,2
D ．{}
2【正确答案】B
【分析】先求得集合{}2,1,0A =--，结合题意及集合的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合{}1Z 32,1,02A x x ⎧⎫
=∈-<<=--⎨⎬⎩
⎭，
根据图中阴影部分表示集合B 中元素除去集合A 中的元素，即为{}1,2.故选：B.
2．用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）
A ．长方体
B ．圆锥
C ．棱锥
D ．圆台
【正确答案】D
【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案.
【详解】
对于A 项，如图1，用平面1ACD 截长方体，得到的截面是三角形，故A 项正确；
对于B 项，如图2，用平面PAB 截圆锥，得到的截面是三角形，故B 项正确；
对于C 项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C 项正确；
对于D 项，圆台的截面不可能为三角形，故D 项错误.故选：D.
3．复平面内表示复数1i
i
z -=的点位于（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】C
【分析】化简复数可得1i z =--，即可根据复数的几何意义得出答案.【详解】根据复数的除法运算求解()1i i 1i i 1
1i i i i 1
z --+=
===--⋅-，所以，复平面内表示该复数的点为()1,1--，所以，复平面内表示复数1i
i
z -=的点位于第三象限.故选：C.
4．已知a ，b 为非零实数，则“1b
a
≥”是“b a ≥”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】由2
22
222111||||b b b b a b a a a a ⎛⎫≥⇒≥⇒≥⇒≥⇒≥ ⎪⎝⎭
，即b a ≥成立，故充分性成立；
取2b =-，1a =，则b a ≥成立，但
1b
a
≥不成立，故必要性不成立.
因此，“
1b
a
≥”是“b a ≥”的充分不必要条件.故选：A 5．函数()4cos 22x x
x
f x -=
-的部分图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】C
【分析】根据函数的奇偶性排除AB ，再由特殊值排除D 即可得解.【详解】因为()4cos 22x x
x
f x -=-的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，
所以4cos()4cos ()()2222x x x x
x x
f x f x ----=
==---，即函数为奇函数，排除AB ，
当2x =时，22
4cos 2
(2)022f -=<-，排除D.
故选：C
6．如图，AB 是底部不可到达的一座建筑物，A 为建筑物的最高点，某同学选择地面CD 作为水平
基线，使得C ，D ，B 在同一直线上，在C ，D 两点用测角仪器测得A 点的仰角分别是45°和75°，
10CD =，则建筑物AB 的高度为（
）
A ．5
B ．
5
2
C ．D
【正确答案】A
【分析】根据正弦定理求出AD ，再在直角三角形中求解即可.
【详解】在ACD 中，根据正弦定理可得()
sin 10sin 45sin sin 7545CD ACD AD DAC ∠︒
===∠︒-︒，
在Rt △ABD 中，
)sin 75sin 30cos 45cos30sin 455
4
AB AD =︒=︒︒+︒︒==，故选：A
7．如图，在ABC 中，点O 在BC 上，AO AB AC αβ=⋅+⋅ ，则2αβ
αβ
+⋅的最小值为（
）
A ．5
B ．
3-C ．D ．3+
【正确答案】D
【分析】由已知可推得1αβ+=，又212
αβαβαβ
+=+⋅，根据“1”的代换，利用基本不等式，即可求出最小值.
【详解】由题意可得，,,B O C 三点共线，则,BO BC uu u r uu u r
共线.
则存在唯一实数λ，使得BO BC λ=
，01λ<<，
即()
AO AB AC AB λ-=-uuu r uu u r uuu r uu u r ，
整理可得，()1AO AB AC λλ=-+uuu r uu u r uuu r
.
又AO AB AC αβ=⋅+⋅
，所以1αλ=-，βλ=，
所以1αβ+=，且0α>，0β>，
又
212αβαβαβ+=+⋅()1223βααβαβαβ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭33≥=，
当且仅当2βα
αβ=，即1a =，2β=时等号成立.
所以，2αβ
αβ
+⋅的最小值为3+故选：D.
8．已知
a ，b
是不共线的两个向量，2a = ，a b ⋅= t ∀∈R ，2b ta -≥ ，则b 的最小值为
A ．2
B ．4C
．D
．【正确答案】B
【分析】由2b ta -≥
可推得，(22416b t ≥--+ .令(
)(2
416f t t =--+，根据函数的最大值，
即可得出()2
max 16b f t ≥= ，进而得出答案.
【详解】由2b ta -≥ 可得，()2
24b ta b ta
-=-≥ ，
即22
224b ta b t a -⋅+≥ .
因为2a =
，a b ⋅=
(
2
22244124b t b t -+=+-≥ ，
所以，(2
2416b t ≥--+ .
令(
)(2
416f t t =--+，
因为，(2
41616t -+≤，所以()max 16f t =.
又对t ∀∈R ，2b ta -≥ 恒成立，所以()2
max 16b f t ≥= ，所以4b ≥ .
故选：B.二、多选题
9．向量,a b 满足：4a = ，2b = ，3a b ⋅≥ ，则向量b 在向量a
上的投影向量的模的可能值是（
）
A ．1
B ．
14
C ．
34
D ．2
【正确答案】CD
【分析】根据题意，结合向量b 在向量a
上的投影向量的模公式，即可求解.
【详解】由题意，向量,a b 满足
4,2a b == 且3a b ⋅≥ ，所以向量b 在向量a
上的投影向量的模为3cos ,4a b b a b a
⋅=≥
.
故选：CD
10．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列选项正确的是（）
A ．a b A B
<⇔<
B ．sin sin A B A B
≥⇔≥C ．若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B >D ．()cos cos A B C +=【正确答案】ABC
【分析】根据大边对大角，即可得出A 项；根据正弦定理，结合A 项，即可得出B 项；由已知可推出ππ
022
B A <
-<<，根据正弦函数的单调性，即可得出C 项；()()cos cos πA B C +=-，根据诱导公式化简，即可判断D 项.
【详解】对于A 项，根据大边对大角，知A 项正确；对于B 项，由A 知，A B a b ≥⇔≥.由正弦定理
sin sin a b
A B =可得，sin 1sin A a B b
=≥，所以sin sin A B ≥.由sin sin A B ≥，根据正弦定理
sin sin a b
A B
=可得，sin 1sin a A b B
=≥，所以a b ≥，所以A B ≥，故B 项正确；对于C 项，由已知可得，π2A B +>
，所以ππ022
B A <-<<，因为正弦函数在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增，所以πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭
，故C 项正确；
对于D 项，()()cos cos πcos A B C C +=-=-，故D 项错误.故选：ABC.
11．已知()0,πx ∈，2
sin cos 3
x x +=-
，则下列结论正确的是（）
A ．πsin 43x ⎛
⎫+=-
⎪⎝
⎭B ．5sin 29
x =-
C ．sin cos 3
x x -=-D ．1tan 0
x -<<【正确答案】ABD
【分析】辅助角公式化简已知，即可得出A 项；由已知可得，()2
4
sin cos 9
x x +=，展开即可得出B 项；先得出()2
9
s s 4
n co 1i x x -=，根据已知可得sin cos 0x x ->，开方即可判断C 项；根据2
sin cos 03
x x +=-
<，结合三角函数的符号，即可推出sin cos x x <，进而得出tan 1x <，即可得出D 项.
【详解】对于A
项，因为sin cos sin cos 22x x x x ⎫+⎪⎪
⎭
π243x ⎛
⎫=+=- ⎪⎝⎭，
所以πsin 4x ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
A 项正确；
对于B 项，由已知可得，()2
4sin cos 9
x x +=
，即22
4sin cos 2sin cos 1sin 29
x x x x x ++=+=
，所以，5
sin 29
x =-，故B 项正确；
对于C 项，()22
2
9
s s in c 2o 14sin cos 2in cos s 1sin x x x x x x x +-=-=
-=.由已知2sin cos 3x x +=-，()0,πx ∈，可知π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以sin cos 0x x ->，
所以，sin cos 3
x x -=
，故C 项错误；对于D 项，因为2
sin cos 03
x x +=-<，sin 0x >，cos 0x <，所以sin cos x x <，
所以，sin tan 1cos x
x x
=
<.又tan 0x <，所以1tan 0x -<<，故D 项正确.故选：ABD.
12．已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>，下列说法正确的是（）
A ．若函数()y f x =为偶函数，则sin 0
ϕ=B ．若0ϕ=时，且()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤
∈ ⎥
⎝⎦
C ．若0ϕ=时，()y f x =的图象在长度为π的任意闭区间上与直线1y =最少有3个交点，最多有4个交点，则5,23ω⎡⎫
∈⎪
⎢⎣⎭
D ．若函数()g x f x ϕω⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点，则913,5,22ω⎡⎤⎡⎫
∈⋃+∞⎪
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
【正确答案】BD
【分析】由已知求出ϕ的表达式，代入即可判断A ；求出x ω的范围，根据已知列出方程组，求解即可得出B 项；先解1sin 2
x ω=，然后得出相邻交点最小的距离为
2π
3ω，最大距离为4π3ω
.结合已知列出ω
的不等式，求解即可判断C 项；由已知可推出4ω≥，进而结合正弦函数的图象与性质，得出所有的可能，分别列出不等式组，求解即可得出ω的取值范围，进而判断D 项.【详解】对于A 项，要使函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>为偶函数，则π
π,2
k k ϕ=+∈Z ，则sin 1ϕ=±，故A 项错误；
对于B 项，0ϕ=时，()2sin f x x ω=，因为ππ,43x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，所以ππ,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，
因为()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，所以有π
π42
ππ3
2ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤
⎪⎩，解得302ω<≤，故B 项正确；对于C 项，由题意2sin 1x ω=，则1
sin 2
x ω=，π2π,6x k k ω=+∈Z 或5π2π,6
x k k ω=+∈Z ，则π2π,6k x k ωω=
+∈Z 或5π2π,6k x k ωω
=+∈Z ，所以，相邻交点最小的距离为
2π
3ω，最大距离为4π3ω
.由题意，相邻四个交点之间的最大距离不大于π，相邻五个交点之间的最小距离不大于π，所以，10ππ3ω≤，且4π
2πT ω=>，所以，
10
43
ω≤<，故C 项错误；对于D 项，()2sin 2sin g x f x x x ϕϕωϕωωω⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
故π
π2
T -≥，所以
2ππ2ω≤，所以4ω≥.因为
π
π2
x ≤≤，所以ππ2x ωωω≤≤.
由于4ω≥，所以π
2π2
ω≥，
则①π5π22
9π
π2ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
，解得952ω≤≤；
②5ππ9π222
13π
π2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
，解得1392ω≤≤；
③9ππ
13π22217ππ2ωω⎧<≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩
，解得913ω<≤.
④当13ω>时，ππ13ππ222ωωω-=>，满足()sin h x x ω=在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有两个最大值点.
综上所述，913,5,22ω⎡⎤⎡⎫
∈⋃+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
.
故选：BD
思路点睛：D 项，先化简函数表达式，进而根据已知得出ω的大致范围，进而结合正弦函数的图象与性质，列出关系式，求解即可得出ω的取值范围.三、填空题
13．幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫
⎪⎝⎭
，则函数()()log n f x x m =+恒过定点___________.
【正确答案】(2,0)
-【分析】根据幂函数过点求出m ，再由对数函数的性质求出所过定点.
【详解】因为幂函数m y x =的图象过点11,28⎛⎫
⎪⎝⎭
，
所以1182m
⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，解得3m =，
即()()log 3n f x x =+，当2x =-时，(2)0f -=，所以函数()()log n f x x m =+恒过定点(2,0)-.故(2,0)
-14
．若πcos 3x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________.
【正确答案】
1
3
【分析】因为ππ22π33x x ⎛⎫-
=+- ⎪⎝⎭，根据诱导公式可得c πc πos 223os 3x x ⎛
⎫-⎪⎛
⎫-= +⎭ ⎝
⎪⎭⎝，然后根据二
倍角的余弦公式展开，即可得出答案.【详解】因为ππ22π33x x ⎛
⎫-
=+- ⎪⎝
⎭，所以，2πc πco s 3s πo 23x x ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎛⎫-=⎝⎭⎭⎣ ⎪⎝⎦πcos 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭2
2π112cos 1233x ⎛
⎫=-+=-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为.
13
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图是一个半径为6m 的筒车，筒车转轮的中心到水面的距离为3m ，每2分钟逆时针匀速旋转一圈.筒车上的一个盛水筒P （视为质点）从水中浮现（图中点A ）时开始记时.建立如图平面直角坐标系，将P 到水面距离()m y 表示为时间()s t 的函数()y f t =，则()f t =___________.
【正确答案】π
π6sin 3(0)
606t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭
【分析】根据三角函数的周期求出角速度，再利用正弦函数求圆上点的纵坐标即可得出.【详解】由题意周期260120T =⨯=秒，所以角速度2ππ12060
ω=
=（rad/s ），当经过时间t 秒()0t ≥，质点P 从A 运动到如图M 所在位置，如图，
此时π60
MOA t t ω∠==
，因为水车半径6OA =米，水车中心离水面距离3AC =米,所以π6AOC ∠=
，ππ606
MOB t ∠=-，所以P 到水面距离πππ
π6sin 6sin 3606606y t AC t ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即π
π()6sin 3606f t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
(0)t ≥，
故π
π6sin 3606t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
(0)
t ≥16．定义在R 上的函数()f x 满足()()1
22
f x f x +=
，且当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=；当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-；当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，()161x
f x =-.若对[),x m ∀∈+∞，都有()12f x ≤，则m 的
取值范围是__________.
【正确答案】21
5log 3
4
m ≥-【分析】根据已知可得出函数在区间[]0,1以及区间[]0,2上的对称性，进而可作出函数的图象.根据图象设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以及09,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.进而根据已知条件，推出函数()f x 在9,52⎡⎤
⎢⎥⎣⎦内的解析式，进而求解
()1
2
f x =即可得出0x 的值，进而得出m 的取值范围.
【详解】由当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，可得()f x 的图象在该区间内关于直线1
2
x =对称；由当[]0,2x ∈时，()()2f x f x -=-，可得()f x 的图象在该区间内关于点()1,0对称.结合已知条件，作出函数()f x 的部分图象如下图
由图象可设01,2A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且0x x >时，都有()()012f x f x <=，且09,52x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
设112
x ≤≤，则1012x ≤-≤，()11161x
f x --=-.
因为，当[]0,1x ∈时，()()1f x f x -=，所以()()11161x
f x f x -=-=-，
1
12
x ≤≤.当9,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，14,12x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦
，所以()()
145416
1161x x f x ----=-=-.又函数()f x 满足()()1
22
f x f x +=，
所以，()()()4224f x f x f x -=-=，
所以，()()54161
44
x f x f x ---==
.令()51611
42
x f x --==，解得215log 34x =-，即2115log 3,42A ⎛⎫- ⎪⎝⎭.
所以，21
5log 34
m ≥-.
故21
5log 3
4
m ≥-四、解答题
17．已知关于x 的方程2320x ax a -+=，a ∈R .(1)当1a =时，在复数范围内求方程的解；
(2)已知复数2i z a =+，若方程2320x ax a -+=有虚根，求z 的模的取值范围.
【正确答案】(1)13x =±
(2)1z <<【分析】（1）代入1a =，配方得到2
1239x ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，开方即可得出答案；
（2）由已知可得Δ0<，求解得出a 的取值范围，进而得出2
137z <<，开方即可得出答案.【详解】（1）当1a =时，方程为23210x x -+=，配方可得，2
1239x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，
两边开方可得，13x -=，
所以，方程的解为133
x =
±.（2）要使方程2320x ax a -+=有虚根，则()2
22434120a a a a ∆=--⨯=-<，所以0<<3a ，所以209a <<.又2
241z a =+，所以2
137z <<，
所以，1z <<.
18．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，我校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建一个羊驼养殖场，规定ABCD 的每条边长均不超过20米．如图所示，矩形EFGH 为羊驼养殖区，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵
石小径．设AB ＝x （单位：米），养殖区域EFGH 的面积为S （单位：平方米）．
（1）将S 表示为x 的函数，并写出函数的定义域；（2）当AB 为多长时，S 取得最大值？并求出此最大值．
【正确答案】（1）S ＝102－200
x
－x ，定义域为[5，20]；（2）当AB ＝米时，S 取得最大值，最
大值为102－【分析】（1）由已知得到AD ＝
100
x
，进一步得到EF ,FG 的长度用x 表示，即可得到S ；（2）利用基本不等式即可求得最大值.【详解】解：（1）因为AB ＝x ，所以AD ＝100x ，EF ＝x －2，FG ＝100
x
－1，所以S ＝(x －2)(
100
x －1)＝102－200x
－x ，因为0＜x ≤20，0＜100
x
≤20，解得5≤x ≤20，所以S ＝102－
200
x －x ，定义域为[5，20]．
（2）S ＝102－200x －x ≤102－＝102－，
当且仅当x ＝[5，20]时取等号，
答：当AB ＝米时，S 取得最大值，最大值为102－19．如图，在四边形ACBD 中，AB 与CD 交于点M ，且CD xCA yCB =+
.
(1)若2AM MB = ，3CD CM =
，求x ，y 的值；
(2)若2CB =，4CA =，45ACD ∠=︒，60BCD ∠=︒，求x ，y 满足的等量关系.
【正确答案】(1)1x =，2y =
(2)=【分析】（1）根据已知条件可推得，2233AM CB =- ，进而得出1233
C CA CB M =+ .根据3C
D CM =
，
即可得出,x y 的值；
（2
）根据数量积公式，求出CA CB ⋅=
.
进而求出
(16CA CD x y ⋅=+ ，又根据数
量积公式有CA CD ⋅=
，即可得出(1CD y =+
.
同理可得出
(4CD x y =-+
，联立即可得出关系式.
【详解】（1）由已知可得，AB CB CA =-
.
又2AM MB =
，所以222333
AM AB CA ==- .
所以，22123333
C C A M C A B C A A C B AM C C =+=+-=+
.
又3CD CM = ，所以12
2333CD CA CB CA CB ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭
+
.又CD xCA yCB =+
，所以1x =，2y =.
（2）由已知可得，105ACB ∠=︒，
则5cos co 0s1ACB ∠=︒()5cos 460=︒+
︒cos cos sin sin 45604560=︒︒-︒︒=，
则
cos 4222CA CB CA CB ACB ⎛
⋅=∠=⨯⨯-= ⎝
⎭
则()
CA CD CA xCA yCB ⋅⋅=+
(216CA C y x xCA B y ⋅=+-+=
，
又cos 42
CA CD CA CD ACD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ,
所以，(16CD x y =+-
，则
(1CD y =+ .()CB CD CB xCA yCB ⋅⋅=+
(2
4x yC y B =⋅++= .
又1cos 22
CB CD CB CD BCD CD CD ⋅=∠=⨯⨯= ，
所以，(4CD x y =+
.
所以，有(
(41x y y -+=+，
整理可得，=.
20．函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>><< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
为该图象上两点，且函数()f x 的一个零点为5π
12
.
(1)求()f x 的解析式；(2)将()y f x =的图象向左平移
π6
个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的13，
得到()y g x =的图象.令()()()F x f x g x =，求()F x 的最大值，若()F x 取得最大值时x 的值为0x ，求0tan 4x .
【正确答案】(1)π()3sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭(2)9
4
【分析】（1）求出对称轴可得出函数周期，由周期求出ω，再由过点5π,012⎛⎫
⎪⎝⎭求出ϕ，代入30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
求
A ，即可得出函数解析式；
（2）根据图象平移得出()g x 解析式，利用三角恒等变换化简()F x ，即可得出最大值及对应的自变量，再求出对应正切即可.
【详解】（1）由图象过30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
知π6x =为函数的对称轴，
所以5πππ
41264
T =
-=，即πT =，所以2π2π2π
T ω=
==，又函数图象经过5π,012⎛⎫
⎪⎝⎭，所以5πsin 2012A ϕ⎛⎫⨯
+= ⎪⎝⎭，即5πsin 06ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，又π
02ϕ<<，所以π6
ϕ=，
因为图象过点30,2⎛⎫
⎪⎝⎭，所以3πsin 26A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，解得3A =，
所以函数解析式为π()3sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（2）()y f x =的图象向左平移
6π个单位长度可得π3sin 23cos 22y x x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，
得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的1
3
，得到()cos 2y g x x ==，
所以2π1()()()3sin 2cos 23sin 2cos 2cos 262F x f x g x x x x x x ⎫⎛
⎫==+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
333π3
4cos 4sin 4444264x x x ⎛
⎫=
++=++ ⎪⎝
⎭，当ππ42π, Z 62x k k +
=+∈，即0ππ
,Z 122
k x k =+∈时，()F x 有最大值94，
此时0ππtan 2πtan ta 3n 43x k ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
.
21．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AC 边上的点，
()()2sin 2sin 2sin b B a c A c a C =-+-.
(1)求ABC ∠的大小；
(2)若1CD =，2AD BD ==，求BC 的长.【正确答案】(1)π3
【分析】（1）由正弦定理角化边，整理可得222a c b ac +-=，然后根据余弦定理即可求得1
cos 2
ABC ∠=
，进而根据角的范围，即可得出答案；（2）在BDC 以及BDA △中，分别根据余弦定理，结合πBDC BDA ∠+∠=，整理化简可得222180c a +-=.在ABC 中，根据余弦定理推出229a c ac +-=.联立两个方程，即可得出答案.
【详解】（1）由正弦定理以及已知可得，()()2
222b a a c c c a =-+-，
整理可得，222a c b ac +-=.
由余弦定理可得，2221cos 222a c b ac ABC ac ac +-∠===.
又()0,πABC ∠∈，所以π
3
ABC ∠=.
（2）
在BDC 中，由余弦定理可得，2222
5cos 24BD CD BC a BDC BD CD +--∠==
⋅.在BDA △中，由余弦定理可得，2222
8cos 28
BD AD AB c BDA BD AD +--∠==
⋅.又πBDC BDA ∠+∠=，所以cos cos BDC BDA ∠=-∠，即22
5848
a c --=-
，整理可得222180c a +-=.因为3b AC AD CD ==+=，
在ABC 中，由余弦定理可得，2222cos b a c ac ABC =+-∠，
即22
22π
92cos
3
a c ac a c ac =+-=+-，整理可得，229a c ac +-=.
联立222221809c a a c ac ⎧+-=⎨
+-=⎩可得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩
所以，BC a ==22．已知()241
x
f x a =-
+是定义在R 上的奇函数，()()
22x x g x m -=+.(1)若[]1,2x ∈-时，()()()h x f x g x =的最大值为2，求m 的值；
(2)设直线1x x =，2x x =与函数()2
y f x =⎡⎤⎣⎦的图象分别交于A ，B 两点，直线1x x =，2x x =与函数()2
y g x ⎡⎤=⎣⎦
的图象分别交于C ，D 两点，若存在12x x ≠，且[]12,0,1x x ∈，使得//AB CD ，求m 的取值范围.
【正确答案】(1)8
15m =
或43
m =-(2)1
881,,225252m ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
U 【分析】（1）根据()00f =，求出1a =，然后代入函数验证奇偶性.化简得到()()22x x
h x m -=-，结
合22x x y -=-的单调性，根据m 与0的关系，得到函数的单调性，进而得出最大值，列出方程，即
可求出答案；
（2）写出各点的坐标，得出向量，根据易知即可得出()()()()2
2
2
2
2211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.令()()()2
2
H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，代入整理可得()()
()2
22412222x x x x H x m --=--++，令()
2
22x x t -=+换
元，根据题意结合对勾函数的单调性，即可求出m 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 为R 上的奇函数，所以()00f =，即02
1041
a a -
=-=+，所以1a =.当1a =时，()241
14141x x x f x -=-=++，()()41144141
x x x x f x f x -----===-++，
因此，()f x 为奇函数.所以，
()()()()412241x x x
x h x f x g x m --⋅+=+=()()412282224141
x x x x x x x x x m m
---++--==++()()()21612412241
x x x x x x x
m
m m ----==⋅-=-+.
当[]1,2x ∈-时，22x x y -=-单调递增，若0m =，则()0h x =恒成立，不符合题意；若0m >，则()h x 单调递增，此时()()max 15
224h x h m ==
=，所以815
m =；若0m <，则()h x 单调递减，此时()()max 3
122h x h m =-=-=，所以43
m =-.
综上所述，8
15m =
或43
m =-.（2）由题意可得，()(
)2
11,A x f x ⎡⎤⎣⎦，()()2
22,B x f x ⎡⎤⎣⎦，()(
)
2
11,C x g x ⎡⎤⎣⎦
，()(
)
2
22,D x g x ⎡⎤⎣⎦，
则()()(
)222121
,AB x x f x f x =--⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦uu u r ，()()()2
2
2
1
2
1,CD x x g x g x =--⎡⎤⎡⎤⎣⎦
⎣⎦
uu u r
.
由//AB CD 可知，()()()()2222
2121f x f x g x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()()2
2
2
2
2211f x g x f x g x -=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，
设()()()22
H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
由题意可得，存在[]12,0,1x x ∈，()12x x ≠使得()()12H x H x =.
()()()22
H x f x g x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()2
22222222x x x x x x m ---⎛⎫-=-+ ⎪+⎝⎭
()()222412222x x x x m --=--++.令()
2
22x x
t -=+，该函数关于x 单调递增，且[]0,1x ∈时，254,4t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
设()241l t m t t ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭，由题意可知()l t 在254,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上不单调，
当0m =时，不符合题意；当0m ≠时，对勾函数24
y m t t =+在20,m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减，在2,m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，因此22544m <
<，解得1881,,225252m ⎛⎫⎛⎫
∈-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
U .。