向量与三角形内心、外心、重心、垂心

向量与三角形的重心、垂心、内心、外心的关系
一、四心的概念介绍、
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；
（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边距离相等；（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四线与向量的结合
121212,PA =1=
,=.AB
OA OB PB AB λλλλλλ=++ 1.定理：如图，设OP 则，且(记忆:交叉分配系数)
=()OA OB
AP BP
λ+
2.若M是OP上的任意一点，则OM (记忆:分母对应分配系数)
应用1:（1）中线:
（2）高线:
（3）角平分线:
（4）中垂线:
应用2.四线上的动点表示:
(1)中线上的动点:()AB AC λ+ 或
()||sin ||sin AB AC
AB B AC C
λ+
(2)高线上的动点:()cos cos AB AC
AB B AC C
λ+
,(3)角平分线上的动点:()
AB AC
AB AC λ+ (4)中垂线上的动点:()2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λ+=
++ ,三、四心与向量的结合1.
BOC AOC AOB O ABC S OA S OB S OC ∆∆∆∆++=
定理：设是内任意一点，
则（记忆：拉力平衡原则）应用:
（1）O 是ABC ∆的重心.⇔b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=1:1:1⇔
OA OB OC ++=
（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔C
tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：
：：=∆∆∆⇔0
OC C tan OB B tan OA A tan =++（3）O 为ABC ∆的内心.⇔c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆=sin :sin :sin A B C
⇔0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或⇔0
aOA bOB cOC ++=
（4）O 为ABC ∆的外心
⇔
⇔0
OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：
2.四心的向量表示：
（1）O 是ABC ∆的重心.⇔1()
3
P O P A P B P C =++
（2）O 为ABC ∆的垂心.⇔OA OB OB OC OC OA
⋅=⋅=⋅
（3）O 为ABC ∆的内心.
⇔(
()()0AB AC BC BA CA CB
OA OB OC AB AC BC BA CA CB
∙-=∙-=∙= （4）O 为ABC ∆的外心
⇔==四．典型例题：
一、与三角形“四心”相关的向量问题
题1：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题2：已知O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()OP OA AB AC λ=++
,[0,)λ∈+∞.则P 点的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题3：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
()||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++
,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
题4：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(||cos ||cos AB AC
OP OA AB B AC C
λ=++
,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的(
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
题5：已知O 是平面上的一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
(2||cos ||cos OB OC AB AC
OP AB B AC C
λ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通
过△ABC 的(
)
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心
题6：三个不共线的向量,,OA OB OC 满足(||||AB CA OA AB CA ⋅+ =(||BA OB BA ⋅
+||CB CB )=(||||
BC CA OC BC CA ⋅+
=0，则O 点是△ABC 的(
)
A.垂心
B.重心
C.内心
D.外心
题7：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OC ++
=0,则O 点是△ABC
的(
)A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题8：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若1()3
PO PA PB PC =++
(其中P 为平
面上任意一点),则O 点是△ABC 的(
)A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题9：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅
，则O
点是△ABC 的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题10：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足2222||||||||OA BC OB CA +=+
=
22||||OC AB +
，则O 点是△ABC 的(
)A.垂心 B.重心
C.内心
D.外心
题11：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若()OA OB AB +⋅ =()OB OC BC +⋅
=()OC OA CA +⋅
=0，则O 点是△ABC 的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题12：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA bOB cOC ++
=0，则O 点是△
ABC 的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题13：已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aPA bPB cPC
PO a b c
++=++
(其中P 是
△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的(
)
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
题14：△ABC 的外接圆的圆心为O ，两边上的高的交点为H ，
OH
=()m OA OB OC ++ ，则实数m =____________.
二、与三角形形状相关的向量问题题15：已知非零向量
AB
与AC 满足()||||
AB AC BC AB AC +⋅
=0且12
||||AB AC AB AC ⋅=
，则△ABC 为()
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
题16：已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-
，则
△ABC 一定是(
)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
题17：已知△ABC，若对任意t R ∈，||BA t BC - ≥||AC
，则△ABC(
)
A.必为锐角三角形
B.必为钝角三角形
C.必为直角三角形
D.答案不确定
题18：已知a ,b,c 分别为△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边，G 为△ABC 的重心，
且a GA b GB c GC ⋅+⋅+⋅
=0,则△ABC 为(
)
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
三、与三角形面积相关的向量问题
题19：已知点O 是△ABC 内一点，23OA OB OC ++
=0,则：
(1)△AOB 与△AOC 的面积之比为___________________；(2)△ABC 与△AOC 的面积之比为___________________；(3)△ABC 与四边形ABOC 的面积之比为_____________.
四、向量的基本关系(共线)
题20：如图，已知点G 是△ABC 的重心，
若PQ 过△ABC 的重心，记CA =a ,
CB =b ,CP =m a ,CQ =n b ,则11
m n
+=_____.
练习．O 为ABC ∆平面上一定点，该平面上一动点p 满足
{|(sin AB
M P OP OA C AB
λ==++
sin )0}AC
B AC
λ> ，，则ABC ∆的（）
一定属于集合M .（A）重心
（B）垂心
（C）外心（D）内心
G
A
B
C M
P
Q。