2020年高考数学临考押题卷(山东卷)(解析版)(01)

2020年高考临考押题卷（五）
数学（山东卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题
1．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)
C ．{}2,3
D ．{2,3,4}
【答案】C
【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}
23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.
2．已知复数z 满足(12)|34|z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】由(12)|34|5z i i ⋅+=-=， 得55(12)5(12)
1212(12)(12)5
i i z i i i i --=
===-++-， 在复平面内复数z 对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限， 故选：D.
3．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．
2764
B ．
916
C ．
81
256
D ．
716
【答案】B
【解析】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种
恰有一个地方未被选中共有：2113424
32
2
144C C C A A ⋅⋅=种情况 ∴恰有一个地方未被选中的概率：1449
25616
p =
= 本题正确选项：B
4．已知平面向量a r ，b r ，c r
均为单位向量，若12a b ⋅=r r ，则()()a b b c +⋅-r r r r 的最大值是( )
A ．1
B ．3
C ．32+
D ．1
2
+【答案】C
【解析】Q 平面量a r ，b r ，c r
均为单位向量，
22
2()23a b a a b b ∴+=+⋅+=r r r r r r ，||a b ∴+=r r 2()()()a b b c a b b a b c ∴+⋅-=⋅+-+⋅r r r r r r r r r r
333
()||||222
a b c a b c =-+⋅≤++⋅-=+r r r r r
r 当且仅当a b +r r 与c r
反向时取等号.
故选：C.
5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2|2|f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，
()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．()0,2
B ．(0,2)(,6)⋃-∞-
C ．()2,0-
D ．()(2,06,)-⋃+∞
【答案】D
【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+. 作出()f x 的图象，如图所示
()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左（0a >时）或向右（0a <时）平移a 个单位而得.
当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立， 当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[1,2]x ∈-）， 故(2,0)(6,)a ∈-⋃+∞. 故选：D.
6．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是（ ）
A ．()sin x x y e e -=+
B ．()sin x x
y e e -=- C ．()cos x x y e e -=- D ．()
cos x x y e e -=+
【答案】D
【解析】由图可知，当0x =时，0y <
当0x =时，()
sin x x
y e e -=+20sin =>，故排除A ；
当0x =时，(
)sin x x
y e e
-=-00sin ==，故排除B ；
当0x =时，()
cos x x y e e -=-010cos ==>，故排除C ；
当0x =时，(
)
cos x x y e e -=+20cos =<，满足题意.
故选：D.
7．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，
且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴
交于点H .若3HN OH =-u u u r u u u u r （O 为坐标原点），则C 的离心率为( ) A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B
【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示
设||, (0, )(0)FM m H h h =>，由3HN OH =-u u u r u u u u r
，可得(0,2)N h -.
由AFM AON △∽△，得2m c a h a -=（1） 由BOH BFM △∽△，得
h a m c a
=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a
-=+，即3c a =. 所以离心率3c
e a
==. 故选：B.
8．函数()f x 满足()()1,,2x e f x f x x x ⎡⎫
=+∈+∞⎢⎣'⎪⎭， ()1f e =-，若存在[]2,1a ∈-，使得31232f a a e m ⎛
⎫-≤--- ⎪⎝
⎭成立，则m 的取值（ ）
A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．[
)1,+∞ D ．12,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】A
【解析】由题意设()()x
f x
g x e
=
，则()()1
()x f x f x g x e x -'='=，所以()ln g x x c =+（c 为常数）．∵()1f e =-，∴(1)
(1)1f g c e
==-=，∴()()(1ln )x x f x g x e e x =⋅=-+， ∴1()(ln 1)x
f x e x x =+-'．令1()ln 1h x x x =+-，则22111()x h x x x x
-=-=，故当112x <<时，
()0,()h x h x '<单调递减；当1x >时，()0,()h x h x '>单调递增．
∴()(1)0h x h ≥=，从而当1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0f x '≥，∴()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增．
设[]
3
()32,2,1a a a e a ϕ=---∈-，则2
()333(1)(1)a a a a ϕ'=-=+-，故()a ϕ在(2,1)--上单调递增，
在(1,1)-上单调递减，所以max ()(1)a e ϕϕ=-=-． ∴不等式3
1232f a a e
m ⎛
⎫-
≤--- ⎪⎝⎭等价于12(1)f e f m ⎛
⎫-≤-= ⎪⎝
⎭，
∴12111
22
m m ⎧
-≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得213m ≤≤，故m 的取值范围为2[,1]3．选A ．
二、多选题
9．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表： AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 300>
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
如图是某市12月1日-20日AQI 指数变化趋势：
下列叙述正确的是（ ）
A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B ．这20天中的中度污染及以上的天数占
1
4
C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】ABD
【解析】对A ：将这20天的数据从小到大排序后，第10个数据略小于100，第11个数据约为120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于100是正确的，故A 正确； 对B ：这20天中，AQI 指数大于150的有5天，故中度污染及以上的天数占
1
4
是正确的， 故B 正确；
对C ：由折线图可知，前5天空气质量越来越好，从6日开始至15日越来越差，
故C 错误；
对D ：由折线图可知，上旬大部分AQI 指数在100以下，中旬AQI 指数大部分在100以上，
故上旬空气质量比中旬的要好.故D 正确. 故选：ABD.
10．已知函数()()sin 32
2f x x π
πϕϕ⎛⎫=+-
<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）
A ．函数12f x π⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3
π D ．函数()f x 的图象向右平移4
π
个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC 【解析】因为直线4
x π
=是()()sin 32
2f x x π
πϕϕ⎛⎫=+-
<< ⎪⎝⎭的对称轴,
所以()34
2
k k Z π
π
ϕπ⨯
+=
+∈,则()4
k k Z π
ϕπ=-
+∈,
当0k =时,4π
ϕ=-
,则()sin 34f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函
数,故A 正确； 对于选项B,()2322
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+<-
<
+∈,即()21212
343
k k
x k Z π
πππ-
+
<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦当单调递增,故B 错误； 对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323
ππ
⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π
个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦,故
D 错误 故选：AC
11．下列结论正确的是（ ）
A ．x R ∀∈，1
2x x
+≥
B ．若0a b <<，则33
11a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈
D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104
ab <≤
【答案】BD
【解析】当0x <时，1
x x
+
为负数，所以A 不正确； 若0a b <<，则
11
0b a
<<，考虑函数3()f x x =在R 上单调递增， 所以11()()f f a b >，即3
3
11()()a
b
>，所以B 正确；
若()20x x -<，则02x <<，2log (,1)x ∈-∞，所以C 不正确； 若0a >，0b >，1a b +≤，根据基本不等式有21
,0()224
a b a b ab ab ++≤<≤= 所以D 正确. 故选：BD
12．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，PAD △是等边三角形，底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，M 为棱PD 的中点，N 为菱形ABCD 的中心，下列结论正确的有（ ）
A ．直线P
B 与平面AM
C 平行 B ．直线PB 与直线A
D 垂直 C ．线段AM 与线段CM 长度相等 D ．PB 与AM 2
【答案】ABD
【解析】如图，连接MN ，易知//MN PB ，由线面平行的判定定理得//PB 面AMC ，A 正确.
在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BAD ∴V 为等边三角形.设AD 的中点为O ，
连接OB ，OP ，则OP AD ⊥，OB AD ⊥，由线面垂直的判定定理得出AD ⊥平面POB ，AD PB ∴⊥，B 正确.
Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的性质可得POB V 为直角三角形
设4=AD ，则23OP OB ==，26PB ∴=，1
62
MN PB ==. 在MAN △中，23AM AN ==，6MN =
，可得2cos 4
AMN ∠=
故异面直线PB 与AM 所成角的余弦值为
24
在MAN △中222AM AN MN ≠+，则ANM ∠不是直角，则AMC ∆不是等腰三角形，即AM 与CM 长度不等，故C 错误，D 正确 故选：ABD
三、填空题 13．已知()3312,,,sin ,sin 45413ππαβπαββ⎛⎫⎛⎫∈+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭__________．
【答案】56
65
-
【解析】∵3,,4παβπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
， ∴3,22παβπ⎛⎫+∈
⎪⎝⎭
, ∴()()2
4
cos =1sin 5
αβαβ+-+=
． 又3,424π
ππβ⎛⎫
-
∈ ⎪⎝⎭，12sin ,413πβ⎛⎫-=
⎪⎝
⎭ ∴25
cos()=1sin ()4
4
13
π
π
ββ----
=-
． ∴cos()cos[()()]4
4
π
π
ααββ+
=+--
cos()cos()sin ()sin()4
4
π
π
αββαββ=+-
++-
4531256()()51351365
=⨯-+-⨯=-． 答案：5665
- 14．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于点M （M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，则| |MD =_____________. 【答案】23 【解析】如图所示
设准线与x 轴交于E .易知()1,0F ，2EF =，由抛物线定义知||||MN MF =. 由题意60MFx ∠=︒，60NMF ∴∠=︒， NMF ∴V 为等边三角形，60NFE ∴∠=︒， 24cos60EF NM FE ∴=
==︒
.
又OD 是FEN △的中位线，
MD ∴就是该等边NMF V 的高，||23MD ∴=.
故答案为：2315．已知a ∈R ，若二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16，所有项系数和是81，则n ＝_____，含x 项的系数是_____． 【答案】4 24或96
【解析】∵二项式(1)n x 的展开式中二项式系数和是16， ∴216n =，解得4n =；
令1x =，可得()4
181a +=，解得2a =或4-， 二项式展开式的通项公式为2442
1
4
4
()
r r
r
r r
r T
C x C a
x
-
--+==，
令2r =，则x 项的系数是222
46C a a =，
当2a =时，2624a =，
当4a =-时，2696a =， 所以含x 项的系数是24或96． 故答案为：4，24或96．
16．已知函数()22
2,01
,03x x ax a x f x e ex a x x
⎧++≤⎪
=⎨-+>⎪
⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数
a 的取值范围为__________.
【答案】3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
【解析】
由题得函数()y f x =的图象和直线y k =有六个交点.显然有200a a a >-<，.
22
1(1)
(),()3x x e e x f x e a f x x x -'=-+∴=
,（0x >）， 所以函数在(0,1)单调递减，在1+∞（，）单调递增，且2
1(1)03
f a =>. 由题得2
2
1(,||),(0,),(1,)3
A a a a
B a
C a --，
,,A B C 三点的高度应满足A B C h h h ≥>或B A C h h h ≥>,
所以21|1|3a a a a -≥>
或21
|1|3
a a a a ≥->， 因为200a a a >-<， 所以23a ≤<或
3
22
a <≤，
综合得332a <<. 故答案为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
四、解答题
17．如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3
B =，点D 在线段B
C 上．
(Ⅰ) 若34
ADC π∠=，求AD 的长； （Ⅱ） 若2BD DC =，ACD ∆的面积为
42，求sin sin BAD CAD ∠∠的值． 【解析】（I ）在三角形中，∵1cos 3B =，∴22sin 3
B =． 在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin AB AD ADB B =∠， 又2AB =，4ADB π∠=，22sin 3
B =．∴83AD =． （II ）∵2BD D
C =，∴2AB
D ADC S S ∆∆=，
， 又423
ADC S ∆=∴42ABC S ∆=， ∵1·sin 2
ABC S AB BC ABC ∆=∠，∴6BC =， ∵1·sin 2ABD S AB AD BAD ∆=∠，1·sin 2
ADC S AC AD CAD ∆=∠， 2ABD ADC S S ∆∆=，∴sin 2?sin BAD AC CAD AB
∠=∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222?cos AC AB BC AB BC ABC =+-∠．
∴42AC =∴sin 2?42sin BAD AC CAD AB
∠==∠ 18．已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，336,S a =是1a 与9a 的等比中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列()*24(1)41n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若2112020
n P +<，求正整数n 的最小值. 【解析】（1）公差d 不为零的等差数列{}n a ，由3
a 是1a 与9a 的等比中项，可得 2193a a a ⋅=，即()()2
11182a a d a d +=+，解得1a d =. 又31336S a d =+=，可得11a d ==，
所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，
所以*,N n a n n =∈.
（2）由（1）可知()()241111412121n n n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭
， 211111111113355743414141n P n n n n ∴=--++--+--++---+L 1141
n =-++， 211201914120204
n P n n +=<∴>+Q ， 所以n 的最小值为505.
19．在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90,2DBC BC DE ︒∠==，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 中点.
（1）证明：DF AC ⊥；
（2）求二面角B AD E --的正弦值.
【解析】（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，如图所示
因为//GF BC ，且12
GF BC =
， 又因为//DE BC ，且12DE BC =，
故//GF DE ，且GF DE =，
即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF ，
CE AE =Q ，G 为AC 中点，GE AC ∴⊥；
又//GE DF ，DF AC ∴⊥.
（2）Q 平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC DB AC =⊥，，
DB ∴⊥平面ABC ，
又AC ⊂平面ABC ，DB AC ∴⊥.
由（1）知,DF AC BD DF D ⊥⋂=Q ，,BD DF ⊂平面ABC ，
AC ∴⊥平面ABD ，而AB Ì平面ABD ，AC AB ∴⊥，
2AB AC ==Q ，2
2,2BC DE ∴==.
取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ， DB ⊥Q 平面ABC ，
OE ∴⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，OA ⊂平面ABC ，故OE BC OE OA ⊥⊥，，
,AB AC OA BC =∴⊥Q ，
∴分别以OA 、OB 、OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系，如图所示
3,1CE AE OE ==∴=Q ，
则2,1)D ，(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C -，
故(2,2,1)AD =-u u u r ，(2,0,1)AE =u u u r ，(2,2,0)CA =u u u r ，
易知平面ABD 的一个法向量为(2,2,0)CA =u u u r ，
设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则
00n AD n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即22020
x z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩，令2,1,0z x y =∴==， 2)n ∴=r .
设二面角B AD E --的为θ，则
|cos ||cos ,|||||
n CA n CA n CA θ⋅=〈〉==r u u u r r u u u r r u u u r
sin θ\==. ∴二面角B AD E --
. 20．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与抛物线2:4D y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =- （点F 在此直线右侧）的距离的一半.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设O 为坐标原点，直线l 过点F 且与椭圆交于A B ，两点，以OA
OB ，为邻边作平行四边形OAMB .是否存在直线l ，使点M 落在椭圆C 或抛物线D 上？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意知()1,0F -，因而1c =，即221a b =+，
又两曲线在第二象限内的交点(),Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，
即()421Q Q x x +=-+， 得23Q x =-，则283
Q y =， 代入到椭圆方程，得2248193a b
+=. 由2222481931
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 解得224,3a b ==，
∴所求椭圆的方程为22143
x y +=. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()1y k x =+ 由22(1)14
3y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22223484120k x k x k +++-=，
设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ， 则22121222
8412,3434k k x x x x k k --+=⋅=++， 由于OABM 为平行四边形，得OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，
故0120
12x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，又()()11221,1y k x y k x =+=+， 可得2
202220288634,,3434634k x k k k M k k k
y k ⎧-=⎪⎛⎫-⎪+∴⎨ ⎪++⎝⎭⎪=⎪+⎩
. 若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得()42
221612134k k k +=+，无解. 若点M 在抛物线D 上，则200:4D y x =-，代入得()2
222236323434k k k k =++，无解.
当直线斜率不存在时，:1l x =-，此时存在点(2,0)M -在椭圆C 上.
故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点()2,0M -落在椭圆C 上.
21．已知函数()(1)ln(1)f x x x =++，2
()cos 2
x g x ax x x =+-. （1）当0x ≥时，总有2
()2x f x mx +…，求m 的最小值； （2）对于[]0,1中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.
【解析】（1）令2
()(1)1(1),02
x x mx x n x x φ=+-++≥， 则1()ln(1)1,()101
x x m x x x ϕφ'''=+-+-=->+， ()x ϕ'∴在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-
若m 1≥，则()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴≥=，即m 1≥满足条件；
若1,(0)10,()m m x ϕϕ'<=-<存在单调递减区间[]00,x ，又(0)0ϕ=Q ，
所以存在0x 使得()00x ϕ<与已知条件矛盾，所以m 1≥，m 的最小值为1.
（2）由（1）知2()2x f x x ≤+，如果2
()2
x x g x +≤，则必有()()f x g x ≤成立.
令2()()(1)cos (1cos )2x h x g x x a x x x x a x ⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭
， 则()(1cos )0h x x a x =--…
，即1cos 0,1cos ,2a x a x a --≥+∴∴≥≥. 若()0h x ≥，必有()()f x g x ≤恒成立，
故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立，
下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立.
令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x =-=++-，1()ln(1)f x x '=+，
当0x >时，1()ln(1)0f x x '=+>，1()f x 在区间[]0,1上单调递增
故11()(0)0f x f ≥=，即1()()0f x f x x =-≥，故()x f x ≤.
2()()()(1)cos 1cos 22x x g x f x g x x a x x x x a x ⎛⎫-≤-=-+-=-+- ⎪⎝⎭
， 令()1cos 2x
t x a x =-+-，1()sin 02
t x x '=+>， 所以()t x 在[]0,1上单调递增，又(0)20t a =-<，则一定存在区间()0,m （其中01m <<），
当()0,x m ∈时，()0t x <，
则()()()0g x f x xt x -≤<，故()()f x g x ≤不恒成立.
综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞.
22．为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对
第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,1615
20n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩„„. （1）试确定n 的所有取值，并求k ；
（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111
的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17
的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降
低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖. （i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率； （ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
【解析】（1）根据题意，X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间， 分别是[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100)，
70100X ≤<Q ，
由*55(1),n X n n ≤<+∈N ，14,15,16,17,18,19n ∴=. 每个小区间的频率值分别是8109,14,15,16605115,17,18,193
20n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-⋅=⎪-⎩. 由3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =. n ∴的所有取值为14,15,16,17,18,19，350k =.
（2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.
由（1）知，学生B 的分数属于区间[)[)[)[)[)[)70,75,75,80,80,85,85,90,90,95,95,100的概率分别是：360，1160，1960，1460，1160，260
. 我们用符号ij A （或ij B )表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(,1,2,3)j i i j =….
记“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”为事件W ， 则()12122223222()P W P B B B A B A =+++
()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++
2111111010141105160601160111160711220
=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =
， 学生B 最终获得一等奖的概率是()121211
1211606027271127279
6060
P B B ''+=+⋅=+=，
1180(0)1111999
P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 111118(1)1111911999
P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅-+-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==
⋅=， ξ∴的分布列为：
801812001299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=.。