湖南理工职业技术学院 《应用数学》经典案例

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湖南理工职业技术学院 《应用数学》经典案例
模块二 导数及其应用案例 一.导数—瞬时变化率
案例2.1 [低频跨导] 具有PN 节的半导体器件,其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导.一种PN 节的半导体器件,其转移特性曲线方程为2
5I
U
=,求电压2U
v
=-时的低频跨导.
解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比,它在2
V
=-伏时的变化率为
22
5(2)5(2)
lim
lim
10
V V I V I V
V
∆→∆→∆-+∆--===∆∆(v ).
案例2.2 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T 吨铜矿的花费为()
C
f T =元,
(2000)100f '=意味着什么?
解: 对于
2000(2000)|100T d C f d T
='=
=.
因C 的单位为元,T 的单位为t ,所以d C d T
的单位为元/t ,(2000)100f '=表明当已
有2000t 铜矿从矿中被开采出来时,再开采1t 铜矿需花费100元. 二、导数的运算
案例2.3 [电流] 电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间
t
的瞬时变化率,如果某一电路中的电量为3
()q t t t
=
+.求
(1) 电流函数()i t ; (2)
3t =时的电流是多少?
(3) 什么时候电流为49.
解: (1)3
3
2
()()()()31d q i t t t t t t d t
'''=
=+=+=+;
(2)
22
3(3)(31)|33128
t i t ==+=⨯+=;
(3) 解方程2
()3149
i t t =
+=,得4
t
=± (舍去负值),即当4
t
=时,
电流为49.
案例2.4 [速度]已知某物体做直线运动,运动方程为2(1)(1)s
t t =++,s
(单位:米),t (单位:秒) .求在3
t =秒时物体的速度?
解: 物体运动的速度为 2
((1)(1))d s v
t t d t
'
==++
22
(1)(1)(1)(1)t t t t ''
=+++++
2
2
2(1)(1)1321t t t t t =+++⨯=++,
3t =秒时的速度为 2
33|(321)|34(/)t t v t t m s ===++=.
案例 2.5 [生命科学] 癌肿瘤的体积. 癌肿瘤的球形体积V 可以表示成
34()3
V r r π=

其中r 是肿瘤的半径(单位:厘米).
(1) 求体积关于半径的变化率. (2) 求体积在r=1.2厘米的变化率.
解 (1)2
2
4
3
()34V r r r ππ'=⋅⋅⋅=⋅
(这正是球面面积.在积分学中可说明理由的.) (2)2
(1.2)4 1.2 5.7618V ππ'=⋅=≈(平方厘米).
案例2.6 [电压的变化率] 一个电阻为3Ω,可变电阻为R 的电路中的电压由下式给出:6253
R V
R +=
+.求在7R

时电压关于可变电阻R 的变化率.
解: 电压V 关于可变电阻R 的变化率为
6253
R V R +''=+()
2
6(3)(625)
(3)
R R R +-+=
+
2
3R =+7
-()

在7R

时电压关于可变电阻R 的变化率为
7
2
70.07
10
R V ='
=-=-.
案例2.7 [并联电阻] 当电流通过两个并联电阻21,r r 时,总电阻由下式给出:
1
2
111R r r =+,求R 对1r 的变化率.假定2r 是常量.
解: 由
1
2
111R
r r =
+
知1212
r r R
r r =
+,因为2r 是常数,所以
1
d R
d r =
12112
r r d
d r r r +()2
2
12122
2
21212)r r r r r r r r r r +-==++(()
()
.
案例2.8 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果,t 小
时后冰箱的温度为2200.051
t T t =
-+ (单位:0
C
).问冰箱温度T 关于时间t 的变化
率是多少?
解: 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为
d T d t
=2(
20)0.051
t t '
-+
2(
)(20)0.051
t t ''
=-+
2
2(0.051)20.05
(0.051)
t t t +-⨯=
-+
2
2(0.051)
t =
+ (0C /小时).
案例2.9 [放射物的衰减] 放射性元素碳-14(1g )的衰减由下式给出:
0.000121t
Q e
-=,其中Q 是t 年后碳-14存余的数量(单位:g).问碳-14的衰减速度(单
位:g/a )是多少?
解: 碳-14的衰减速度v 为
0.000121()t
d Q v e
d t
-'
=
=
0.0001210.000121)t
e
t -'
=-(
0.0001210.000121t
e
-=-(g/a) .
案例2.10 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度L (单位:cm )取决于气温H (单位:0C ),而气温H 又取决于时间t (单位:h ),如果气温每升高10C ,钢棒长度增加2cm ,而每隔1小时,气温上升30C ,问钢棒长度关于时间的增加有多快?
解: 已知长度对气温的变化率
2
d L d H
=cm/0C .气温对时间的变化率为
3d H d t
=0
C /h .要求长度对时间的变化率,即求d L d t

将L 看作H 的函数,H 看作t 的函数,由复合函数求导的链式法则得
6
32d d d d d d =⨯=⋅=t
H H
L t
L (cm/h).
因而,长度关于时间的增长率为6cm/h .
案例 2.11 [充电速度] 对电容器充电的过程中,电容器充电的电压为
(1)
t R C
C u E e
-
=-,求电容器的充电速度
C d u d t
(如图所示).
解: 利用复合函数的求导法则,有
((1))((1))t t C R C
R C
d u E
e E e d t
-
-
''
=-=-
(0())(0())t t R C
R C
t E e
E e
R C
-
-
''=-=--
1(0())t t
R C
R C
E E e
e
R C
R C
--
=--
=
案例 2.12[电流与电压的关系] 在电容器两端加正弦电流电压
sin()C m u U t ωφ=+,求电流i
.
解: [sin ()]C m d u i
C
C U t d t
ωφ'
==+
[cos()()]m C U t t ωφωφ'=++[cos()]
m C U t ωωφ=+
)
2
sin(π
φωω+
+=t CU
m
sin()m I t ωθ=+
其中m
m
C U I ω=是电流的峰值(最大值),称振幅,初相2
πθ
φ=+

从而可知,电容器上电流与电压有下列关系: (1)电流i 与电压C u 是同频率的正弦波;
(2)电流i 比电压C u 相位提前
2
π;
(3)电压峰值与电流峰值之比为
ω
ωC U
C U
I U
m
m
m
m
1=
=

工学中称
1C ω
为容抗(容性电抗).
案例2.13. [动物的地盘] 某种动物的地盘T 是指它的防护区域或专有区域.该区域的面积T 可用动物的体重W 近似地表示成 1.31
T
W
=.求
d T d W
,并说明意义.
解:依题意可知
131
130
()131
d T W
W d W
'==
显然
0d T d W

这说明随着动物的体重的增加,它的防护区域或专有区域将越大。

案例 2.14.[女性新婚的平均年龄] 女性新婚的平均年龄可近似地表示成线性函数()0.0819.7
A t t =
+,其中()A t 是1950年以后的第t 年的女性平均年龄.求平均年
龄A 关于时间t 的变化率,并说明意义.
解: 依题意可知
(0.0819.7)
0.08
d A t d t
'=+=
这说明随着时间的增加,女性新婚的平均年龄将越大,到2010年,女性新婚的平均年龄应为(60)0.086019.725.5A =
⨯+=.
三、导数的应用 (一) 函数的单调性
案例2.15 [增长率] 若某国的国民生产总值的增长率
d P d t
,由函数单调
性的判定方法知()P t 是一单调增加函数,即该国的国民生产总值越来越大;反之,若某国的国民生产总值的增长率
d P d t
,则该国的国民生产总值越来越小.
案例2.16 [石油蕴藏] 假设P 为在第t 年时地球的石油总蕴藏量(包括未被发现的),假设没有新的石油产生,并且P 以桶为单位计量,d P d t
的单位是什么?
它有何意义?它的符号为正还是负?为什么?
解: 由于没有新的石油产生,而地球的石油是不可再生资源,随着对石油的消耗,其总量会越来越少,因此地球的石油总蕴藏量()P t 是一单调减少函数, 所以
d P d t
.因为P 的单位是桶,t 的单位是年,所以
d P d t
的单位是桶/年.
案例2.17 [人口增长] 中国的人口总数P (以10亿为单位)在1993年—1995年间可近似地用方程 1.15(1.014)
t
P
=⨯来计算,其中t 是以1993年为起点的
年数,根据这一方程,说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少?
解: 中国人口总数在1993—1995年间的增长率(0
t
)为
(1.15(1.014))t
d P d t
'=⨯
1.15(1.014)ln 1.0140
t
=⨯⨯>,
因此中国人口总数在1993—1995年期间是增长的.
案例2.18 [血液的压强] 血液从心脏流出,经主动脉后流到毛细血管,再通过静脉流回心脏.医生建立了某病人在心脏收缩的一个周期内血压P (单位:mmHg )的数学模型2
2251231
t P
t +=
+,0t =表示血液从心脏流出的时间(t 的单
位:秒).问在心脏收缩的一个周期里,血压是单调增加的还是单调减少的?
解:
2
225123(
)1
d P t d t
t +'=+
2222
22
2512312512311t t t t t ''+++++()
()-()()=()
22
2
2
5012251231t t t t t +++()-()
=
()
2
2
196(1)
t t =-
+ .
因为0
t
,所以
2
2
1960
(1)
d P t d t
t =-
+ ,因此在心脏收缩的一个周期里,血压是单
调减少的.
案例 2.19 [碳定年代法] 考古、地质等方面的专家常用14C (碳-14,碳-12的同位素)测定法(通常称为碳定年代法)去估计文物或化石的年代.长沙市马王堆一号墓于1972年8月出土,其时测得出土的木炭标本的14C 平均蜕变数为29.78次/分,而新砍伐烧成的木炭中14C 平均蜕变数为38.37次/分,又知14C 的半衰期(给定数量的14C 蜕变到一半数量所需的时间)为5568年,试估计一下该墓的大致年代.
解:碳定年代法的根据
宇宙射线不断轰击大气层,使之中子,中子与氮气作用生成具有放射性的
14
C
,这种放射性碳可以氧化成二氧化碳.二氧化碳被植物吸收,而动物又以植物
作为食物,于是放射性碳就被带到各种动物体内.由于14C 是放射性的无论存在于空气中还是生物体内,它都不断蜕变.活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C ,使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量.生物死亡后,它停止摄取
14
C
,因而尸体内的14C 由于不断地蜕变而不断地减少.碳定年代法就是根据蜕变
减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的.
假设:1.现代生物中14C 的蜕变速度与马王堆墓葬时代生物体中14C 的蜕变速度相同;
2.
14
C
的蜕变速度与该时刻14C 的含量成正比.
由于地球周围大气中的14C 的百分含量可认为基本不变(即宇宙射线大气层的强度自古至今基本不变),故假设1是合理的.假设2的根据来自原子物理学的理论.
建模:设在时刻t(年)生物体中14C 的存在量为x(t),由假设2知
d x kx
d t
=- (1)
其中 k>0为比例常数.k 前置负号表示
14
C
的存量x 是递减的.(1)可化为
d x kd t
x
=- (2)
而 ln x kt c =-+对t 求导数即为(2)
所以(1)的通解为 ()kt
x t C e
-=
设生物的死亡时间为0
0t =,其时
14
C
的含量为0x ,代人上式得C=0x ,于
是有
0()kt
x t x e
-= (2)

14
C
的半衰期为T ,则有
0()2
x x T = (3)
将(3)代人(2)得 l n 2k T
=
即有
l n 2
0()t T
x t x e
-
= ,由此解得
0ln
ln 2
()
x T t x t =
(4)
由于0x 、()x t 不便于测量,我们改用下面的方法求t:对(2)式两边求导,得
0()()
kt
x t x ke
kx t -'=-=- 而
(0)(0)x k x k x '=-=- 上面两式相除得
(0)
()()
x x x t x t '='
将其代人(4)得
(0)ln
ln 2
()
T x t x t '=' (5)
由假设1知,可用现代木炭中14C 的蜕变速度作为(0)x ',即(0)x '=38.37次/分,而()x t '=29.78次/分(由已知).将它们及T=5568年代人(5)式得
556838.37ln
2036
ln 2
29.78
t =
≈(年)
这样就估计出马王堆一号墓大约是2000多年的.
注:对14C 的半衰期各种书上的说法不一致,有人测定为5568年,也有人测定为5580年或5730年.若用5580或5730年,则可分别求得马王堆一号墓存在于2040年或2095年前.
(二) 函数的极值与最值
案例2.20 [容器的设计] 要设计一个容积为500ml 的有盖圆柱形容器,其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少?
解: 设其底面半径为r ,高为h ,其表面积为2
22S
rh r
ππ=+,
容积为2
500V
r h
π==,即2
500
h
r
π=

代入2
22S
rh r
ππ=+,得表面积2
10002S
r
r
π=+,
求导 2
10004S r
r
π'=
-+,
解0S '=,得唯一驻点1
3
500(
)2r
π
=,因为此问题的最小值一定存在,故此驻
点即为最小值点,将1
3
500()2r
π
=代入2
500
r h
π=,得1
3
2000
(
)h
π
=,即
12
r h
=

故当底面半径与高之比为1:2时,所用材料最少.
案例2.21 [发动机的效率] 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率,发动机的效率p (%)与汽车的速度v (单位:公里/小时)之间的关系为3
0.7680.00004p
v v
=-.问发动机的最大效率是多少?
解:求发动机的最大效率,即求函数3
0.7680.00004p
v v
=-的最大值,
先求导
32
(0.7680.00004)0.7680.00012d p v v v
d v
'=-=-,

d p d v
=,得80v =(单位:km/h) .由实际问题知,此时发动机的效率最
大,最大效率为(80)41p ≈
(%)
案例2.22 [最大容积] 设有一个长8分米和宽5分米的矩形铁片,在四个角上切去大小相同的小正方形,问切去的小正方形的边长为多少分米时,才能使剩下的铁片折成开口盒子的容积为最大?并求开口盒子容积的最大值.
解:设切去的小正方形的边长为x 分米,则盒子的容积为
5(82)(52)(0)2
V x x x
x =--
,求导
)
25)(28()28(2)25(2x x x x x x V --+----='
)
103)(1(4--=x x .
令0V '=,得驻点12101,3
x x ==
(2
52
x
,应舍去),则符合题意的驻
点只有1x
=.由于开口盒子容积的最大值一定存在,
而且在5(0,
)
2
内取得,而0V '=在5(0,
)
2
内只有一个根1x =,故此点为所
求的最大值点.所以切去的小正方形的边长为1分米时,做成的开口盒子容积最大,最大容积是18立方分米.
案例2.23 [油管铺设路线的设计] 要铺设一石油管道,将石油从炼油厂输送到石油罐装点,如图所示.炼油厂附近有条宽 2.5km 的河,罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10km 处.如果在水中铺设管道的费用为6万元/km ,在河边铺设
管道的费用为4万元/km .试在河边找一点P ,使管道铺设费低.
解: 设P 点距炼油厂的距离为x ,管道铺设费为y ,由题意有
46y x =+ (0)
x

2
2
[(10) 2.5](4)6x y x '-+''=
-
6(10)4x -=+
令0y '=,得驻点10
x

舍去大于10的驻点,由于管道最低铺设费
一定存在,且在(0,10)内取得,所以最小值点为7.764
x ≈km ,最低的管道铺设费
为51.18
y
≈万元.
案例2.24 [最大输出功率] 设在电路中,电源电动势为E ,内阻为r (E ,r 均为常量),问负载电阻R 多大时,输出功率P 最大?
解: 消耗在电阻R 上的功率为2
P
I R
=,其中I 是回路中的电流,由欧姆
定律知E I
R r
=
+,所以2
2
()
E R P
R r =
+, (0R +∞ ).
要使P 最大,应使0
d P d R
=,即
222
4
()2()()
d P E R r E R r R
d R
R r +-+=
+
2
3
()0
()
E r R R r -=
=+,
解之得 R
r
=,
此 时, 2
4E
P
R
=

由于此闭合电路的最大输出功率一定存在,且在(0,)+∞内部取得,所以必在P 的唯一驻点r
R
=处取得.因此,当R
r
=时,输出功率最大为2
4E
P
R
=

案例2.25 [最高血压] 对于剂量为x 立方厘米的某种药物,所引起的血压B 可近似地表示成2
3
()0.050.3,00.16B x x x x =-≤≤,求最高血压,并且求取多大
剂量时出现最高血压.
解:因为 2
3
()0.050.3B x x x
=-
所以
2
()0.10.9
B x x x '=-
令()0B x '=得唯一驻点
19
x =
,此时
1(
)0.0002676
9
B =
即当取剂量为
19
立方厘米时,出现最高血压0.0002676.
案例2.26 [利润的最值] 某制造商制造并出售球形瓶装的某种酒.瓶子的制造成本是20.8r π(分),其中r 是瓶子的半径,单位是厘米.假设每售出1立方厘米的酒,
商人可获利0.2分.他能制造的瓶子的最大半径为6厘米,问
(1) 瓶子半径为多大时,能使每瓶酒获利最大?
(2) 瓶子半径为多大时,每瓶酒获利最小? 解 瓶子半径为r ,每瓶酒能获利 3
3
2
2
4()0.2
0.80.8()3
3
r p r r r r πππ=
⋅-=
-,06
r ≤
2
()0.8(2
)p r r r π'=-
当r=2时,0p '=.(0,2)r ∈,0
p ' ;(2,6),0r p '∈ .p(r)只有一个极值点,
所以r=2是极小值点,当r=6时,p(r)可达最大值.
四、高阶导数及其应用
案例2.27 [刹车测试] 在测试一汽车的刹车性能时发现,刹车后汽车行驶的距离(单位:m )与时间t (单位:s)满足3
19.20.4S t t
=-.假设汽车作直线运
动,求汽车在4t
=秒时的速度和加速度.
解: 汽车刹车后的速度为 32
(19.20.4)19.2 1.2d S v
t t t
d t
'=
=-=- (m/s),
汽车刹车后的加速度为 2
(19.2 1.2) 2.4d v a
t t
d t
'=
=-=-(2
/m
s
),
4t =s 时,汽车的速度为 2
4(19.2 1.2)|0t v
t ==-=(m/s ),
4t =s 时,汽车的加速度为 42.4|9.6t a
t ==-=-(2
/m s
).
案例2.28 [水量增加量] 如果一个容器中的水量W 随着时间的增加而增加,但增加量越来越小, 则
d W d t

2
2
d W d t
的正、负符号分别为什么?
解: 因为水量W 随着时间的增加而增加,所以0
d W d t
,但因为增加量
越来越小,所以
2
20d W d t

案例2.29 [通货膨涨] 设函数()p t 表示某种产品在时刻t 的价格,则在通货膨涨期间,()p t 将迅速增加.请用()p t 的导数描述以下叙述: (1)通货膨涨仍然存在; (2)通货膨涨率正在下降;
(3)在不久的将来,物价将稳定下来. 解: (1) ()0p t '
表示产品的价格在上升,即通货膨涨仍然存在;
(2) ()0
p t '
表示通货膨涨存在,()0p t '' 表示通货膨涨率正在下降;
(3) ()0p t '→ 表示产品的价格不再上升,即物价将稳定下来.
案例2.30 [股票曲线] 假设()p t 代表在时刻t 某公司的股票价格,请根据以下叙述判定()p t 的一阶、二阶导数的正、负号.
(a) (b)
(1) 股票价格上升得越来越快;
(2) 股票价格接近最低点;
(3) 图(a)所示为某种股票某天的价格走势曲线,请说明该股票当天的走势.
解: (1)股票价格上升得越来越快,一方面说明股票价格在上升,即()0
p t' ,另一方面说明上升的速度也是单调增加的,即()0
p t
'' ,如图(b)所示.(2)股票价格接近最低点时,应满足()0
p t
'=.
(3)从图(a)所示的某股票在某天的价格走势曲线可以看出,此曲线是单调上升且为凸的,即()0
p t
' ,且()0
p t
'' .
这说明该股票当日的价格上升得越来越慢.
案例2.31 [桥梁的曲率]若某一桥梁的桥面设计为抛物线,其方程为
2
y x
=,求它在点M(1,1)处的曲率.
解: 由2
y x
'=,2
y''=,得
11
|2|2
x x
y x
==
'==,
11
|2|2
x x
y
==
''==,代入曲率公式,得
(
)33
222
(1,1)
2
25
15
y
K
y
''
===
'
+
案例2.32 [比较弧形弓件的弯曲程度]设有两个弧形弓件A、B,弓件A 满足曲线方程3
y x
=,弓件B满足曲线方程2
y x
=,试比较此两个弓件在1
x=处的弯曲程度.
解: 弓件A 在1x
=处2
11|3|3x x y x =='==,11|6|6
x x y x ==''==,其曲率为
(
)
13
3
2
2
2
(1,1)
6
0.1897
50
110y K y ''
=
=
=
≈'
+

弓件B 在1x
=处,11|2|2x x y x =='==,1|2x y =''=,其曲率为
()
2
3
3
2
2
2
(1,1)
2
0.1789
15y K
y ''
=
=
≈'
+

所以,在1x
=处弓件A 的弯曲程度大些.
案例2.33 [弧形工件的加工原理]设某工件内表面的截线为抛物线
2
0.4y x
=,现在要用砂轮磨削其内表面, 问用直径多大的砂轮才比较合适?(提
示:在磨削弧形工件时,为了不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多,
砂轮的半径应不大于弧形工件上各点处曲率半径中的最小值.已知抛物线在其顶点处的曲率最大.)
解:由于抛物线在其顶点处的曲率半径最小,因此,只要求出抛物线2
0.4y x =在其顶点(0,0)O 处的曲率半径.由0.8y x '=,0.8y ''=,有 0|0
x y ='=,0|0.8
x y =''=
.
将其代入曲率计算公式,得 0.8K
=,
因而求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
ρ
==
所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过2.5单位长.
案例2.34 [加速度] 在离水面高度为h (米)的岸上,有人用绳子拉船靠岸.假定绳子长为l (米),船位于离岸壁s(米)处,试问:当收绳子的速度为0v (m/s )时,船的速度和加速度各是多少?
解 l 、h 、s 三者构成了直角三角形,由勾股定理得
2
22
l h s
=+ (1)
两端对时间t 求导,得 202d l d s l
s
d t
d t
=+
由此得 d l d s l
s
d t
d t
= (2)
l 为绳长,按速度定义,d l d t
即为收绳速度 0v ,船只能沿s 线在水面上行
驶逐渐靠近岸壁,因而
d s d t
应为船速v ,将它们代人(2)式得船速
0l v
v s
= (3)
利用(1)式消去l 得
v s
=
(m/s ) (4)
(4)中h 、0v 均为常数,只有s 是变量.按加速度定义
2
0()d v
d v d s a v
d t d s d t =
=⋅=-
将(4)式代入上式得 22
03
h v a
s
=-
2
(/)m s (5)
(这里的负号表明加速度的方向与x 轴正向相反.)
由(4)与(5)式知,船速与船的加速度均与船的位置有关,它们是变化的,当船靠岸时,船速与加速度都不断增大. 五、函数的微分及其应用
案例2.35 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正立方形金属体的边长为
2m ,当金属受热边长增加0.01m 时,体积的微分是多少?体积的改变量又是多少?
解: 体积的微分为3
2
()3dV x dx x x '==∆,
将2
x
=,0.01x ∆=代入上式,得在2x =,0.01x
∆=处的微分
22
0.01
|320.010.12x x d V
=∆==⨯⨯= (3
m
),
在2
x =,0.01x ∆=处体积的改变量为
33
2
0.01
|(20.01)20.12006
x x V =∆=∆=+-≈ (3m ),
由此可见,2
2
0.01
0.01
||x x x x V
d V ==∆=∆=∆≈.
案例2.36 [电压改变量] 设有一电阻负载25R =Ω,现负载功率P 从400W
变到401W ,求负载两端电压U 的改变量(如下图所示).
解: 由电学知,负载功率2
U P
R
=
,即U
=
d
d U d P d P
=
P =
=P
=

因为25
R
=,400
P
=,1P ∆=,所以电压U 的改变量为
10.125
U d U ∆≈=
= (V ).
案例2.37 [收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序,假设能全部
出售,收入函数为2
3620
x
R
x =-
, 其中x 为公司一天的产量,如果公司每天的产
量从250增加到260,请估计公司每天收入的增加量.
解: 公司每天产量的增加量为10x
∆=,用d R 估计每天的收入增加量为
2
10(36)|36020
x x
R d R x x x
∆='∆≈=-
∆=-.
案例2.38 [放大电路] 某一负反馈放大电路,记其开环电路的放大倍
数为A ,闭环电路的放大倍数为f A ,则它们二者有函数关系10.01f
A A A
=
+.当
4
10
A =时,由于受环境温度变化的影响,A 变化了10%,求f A 的变化量是多少?
f
A 的相对变化量又为多少?
解:由于4
10
A
=时,100
f
A ≈,用f d A 近似计算f A ∆,得
()f f f A dA A A '∆≈=∆,
其中 2
1()(
)10.01(10.01)
f A A A
A ''=
=
++.
f
A 的变化量约为 4
4
2
10100.10.11||0.098(10.01)
f
A A A A
A A
A A A ==∆=∆=∆≈
∆≈+,
f
A 的相对变化量约为
4
0.0989.810
100
f f
A A -∆≈
=⨯
.
案例2.39 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为1s ,在冬季,摆长
因热涨冷缩而缩短了0.01cm ,
已知单摆的周期为2T π
=,其中2
980/g
cm s
=,
问这只钟每秒大约快还是慢多少?
解: 因为钟摆的周期为1
秒,所以有12π
=,解之得摆的原长为
2
(2)
g l π=
,又摆长的改变量为0.01l ∆=-厘米,用d T 近似计算T ∆,得
d T T d T l l
d l
π
∆≈=
∆=,
将2
(2)
g l
π=
,0.01l ∆=-代入上式得
)
01.0()
2(12
-⨯⋅
=
∆=≈∆ππ
π
g g l gl
dT T
2
2(0.01)0.0002
g
π=
⨯-≈-
这就是说,由于摆长缩短了0.01厘米,钟摆的周期相应地缩短了约0.0002秒.
案例2.40 [绝对误差] 设已测得一根圆柱的直径为43cm ,并已知在测量中绝对误差不超过0.2cm ,试用此数据计算圆柱的横截面面积所引起的绝对误差与相对误差.
(注: 若某个量的准确值为x ,它的近似值为*x ,称*
||||
x x x ∆=-为*x 的绝对误
差.当0
x
≠时,称*
*
|
|x x x
-为*
x
的相对误差.)
解: 圆柱的横截面的直径43
D =cm ,直径的绝对误差||0.2
D
∆≤,圆柱的横
截面面积的近似值为
A D
=
=
⋅=14
14
43462252
2
πππ
.
由D 的测量误差D ∆所引起的面积A 的计算误差A ∆,可用微分d A 来近似计算,即 1 4.32
A
d A D D ππ∆≈=
⋅∆= (2
cm )
所求绝对误差为 |||| 4.3A dA π
∆≈=
(2cm )
所求相对误差为 2
1
||||0.22
|
||
|2
20.93%143
4
D D A d A D A
A
D
D
ππ∆∆∆≈===⨯
≈.。

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