2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题49 椭圆

为椭圆
C
上的一点，且
→→ PF1⊥PF2.若△PF1F2
的面积为 9，则 b＝________．
解析 (1)由条件知|PM|＝|PF|.
∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R＞|OF|.
∴P 点的轨迹是以 O，F 为焦点的椭圆．
→→ (2)由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1⊥PF2，
|BF1|＋|BF2|＝8， 两式相加得|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝16， 即△AF1B 周长为 16，又因为在△AF1B 中，有两边之和是 10，所以第三边长度为 16－10＝6.选 A. (2)设动圆的半径为 r，圆心为 P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|， 即 P 在以 C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为 10 的椭圆上， 得点 P 的轨迹方程为 x2 ＋ y2 ＝1.
【例 1】
(1)已知椭圆x2＋y2＝1 42
的两个焦点是
F1，F2，点
P
在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2
的
面积是( )
A. 2 B.2
C.2 2 D. 3
(2)与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为________.
QF1，QF，设
QF
与直线
y＝bx c
交于点
M.由题意知
M
为
线段 QF 的中点，且 OM⊥FQ.
又 O 为线段 F1F 的中点，
∴F1Q∥OM，
∴F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在 Rt△MOF 中，tan∠MOF＝|MF|＝b，|OF|＝c， |OM| c
可解得|OM|＝c2，|MF|＝bc，
b.
－3，5 【举一反三】(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 2 2 ，( 3， 5)，则椭圆方
程为________.
(2)过点( 3，－ 5)，且与椭圆 y2 ＋x2＝1 有相同焦点的椭圆标准方程为________. 25 9
解析 (1)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(0，－b)，B2(0，b)
B1(－b，0)，B2(b，0)
长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝2c e＝c∈(0，1)
a c2＝a2－b2
高频考点一 椭圆的定义及其应用
的两焦点，过点
F2
的直线交椭圆于
A，B
两点，在△AF1B
中，若有两边之和是 10，则第三边的长度为( )
A．6 B．5
C．4 D．3 (2)与圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 外切，且与圆 C2：(x－3)2＋y2＝81 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程为________．
|AF1|＋|AF2|＝8， 解析 (1)由椭圆定义知，
∴椭圆的标准方程为x2＋y2＝1 或 y2 ＋x2＝1.
9
81 9
答案 (1) x2 ＋y2＝1 (2)x2＋3y2＝1 (3)x2＋y2＝1 或 y2 ＋x2＝1
16 8
2
9
81 9
【方法规律】根据条件求椭圆方程常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的要点是根据题目所给
条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中
解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以
c＝1，又离心率 e＝c＝1，解得 a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆方程为x2＋y2＝1，故选 A.
a2
43
高频考点三 椭圆的几何性质 例 3、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点，A，B 分别为 C 的左、右顶点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线
16 8
(3)法一 若椭圆的焦点在 x 轴上，设方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)．
2a＝3×2b， 由题意得 a92＋b02＝1，
解得 a＝3，所以椭圆的标准方程为x2＋y2＝1.
b＝1.
9
若焦点在 y 轴上，设方程为y2＋x2＝1(a＞b＞0)． a2 b2
2a＝3×2b， a＝9，
由题意得 a02＋b92＝1，解得 b＝3.
0， 3 A. 2
0，3 B. 4
3，1 C. 2
3，1 D. 4
0， am 解析 (1)设 M(－c，m)，则 E a－c ，OE 的中点为 D，
0， am 则 D 2（a－c） ，又 B，D，M 三点共线，
所以 m ＝ m ，所以 a＝3c，所以 e＝1.
2（a－c） a＋c
3
(2)设左焦点为 F0，连接 F0A，F0B，则四边形 AFBF0 为平行四边形.
＝3|F1B|，AF2⊥x 轴，则椭圆 E 的方程为________．
(3)已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为
________．
解析
(1)设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，由
e＝
2，知c＝ 2a
22，故ba22＝12.
由于△ABF2 的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故 a＝4. ∴b2＝8，∴椭圆 C 的方程为 x2 ＋y2＝1.
BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为( )
A.1
B.1 C.2
D.3
3
23
4
(2)已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x－4y＝0 交椭圆 E 于 A，
B 两点.若|AF|＋|BF|＝4，点 M 到直线 l 的距离不小于4，则椭圆 E 的离心率的取值范围是( ) 5
a
a
故|QF|＝2|MF|＝2abc，|QF1|＝2|OM|＝2ac2.
由椭圆的定义得|QF|＋|QF1|＝2abc＋2ac2＝2a，
整理得 b＝c，∴a＝ b2＋c2＝ 2c，故 e＝c＝ 2. a2
方法二
y0＝b·x0＋c，
设 Q(x0，y0)，则 FQ 的中点坐标
x0＋c，y0 22
，kFQ＝x0y－0 c，依题意
－3 2 5 2
由 2 m＋ 2 n＝1，解得 m＝1，n＝ 1 .
3m＋5n＝1，
6 10
∴椭圆方程为 y2 ＋x2＝1. 10 6
(2)法一 椭圆 y2 ＋x2＝1 的焦点为(0，－4)，(0，4)，即 c＝4. 25 9
由椭圆的定义知，2a＝ （ 3－0）2＋（－ 5＋4）2＋
（ 3－0）2＋（－ 5－4）2，解得 a＝2 5.
解析 (1)由椭圆的方程可知 a＝2，c＝ 2，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|
＝1.
又|F1F2|＝2c＝2 2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2 为直角三角形，且∠PF2F 为直角，
所以 S△PF1F2＝12|F1F2||PF2|＝12×2 2×1＝ 2.
规律方法 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P
在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2 组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定
义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【变式探究】
(1)已知
F1，F2
是椭圆 x2 ＋y2＝1 16 9
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1||PF2|＝2b2，
∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.
∴b＝3.
答案 (1)A (2)3
2c2 y0 ·b＝－1，
x0－c c
x0＝c
2c2－a2 a2
，
解得 y0＝2ab2c2，
又因为(x0，y0)在椭圆上，
所以c2
2c2－a2 a6
2＋4ac44＝1，令
e＝c，则 a
4e6＋e2＝1，
∴离心率 e＝ 2. 2
【变式探究】 已知椭圆 C1：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P 为 C1 上任一点，MN 是圆 C2：x2＋(y－3)2＝1 的一条直径，与 AF 平行且在 y 轴上的截距为 3－ 2的直线 l 恰好与圆 C2 相切． (1)求椭圆 C1 的离心率；
专题 49 椭圆
1．椭圆的定义
在平面内与两定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数： (1)若 a＞c，则集合 P 为椭圆；
P→F2|的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．2 2
(2)(2015·浙江)椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的右焦点
F(c，0)关于直线
y＝bx c
的对称点
Q
在椭圆上，则椭圆的离
心率是________．
答案 (1)C (2) 2 2
(2)设椭圆的另一个焦点为
F1(－c,0)，如图，连接
答案 (1) y2 ＋x2＝1 (2) y2 ＋x2＝1
10 6
20 4
【变式探究】(1)已知椭圆的中心在原点，离心率 e＝1，且它的一个焦点与抛物线 y2＝－4x 的焦点重合， 2
则此椭圆方程为( )
A.x2＋y2＝1 43
C.x2＋y2＝1 2
B.x2＋y2＝1 86
D.x2＋y2＝1 4
(2)已知 F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A，B 两点，且|AB|
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设 M(0，b)，则4b≥4，∴1≤b<2. 55
离心率 e＝c＝ a
c2＝ a2
a2－b2＝ a2
4－b2∈
0，
3 2
.
4
答案 (1)A (2)A
【举一反三】(1)已知点 F1，F2 是椭圆 x2＋2y2＝2 的左，右焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么|P→F1＋
(2)若 a＝c，则集合 P 为线段；
(3)若 a＜c，则集合 P 为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
图形
范围
对称性 性
顶点 质
轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
【举一反三】 (1)(如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠 使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
(2)已知
F1，F2
是椭圆
C：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P
由 c2＝a2－b2 可得 b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为 y2 ＋x2＝1. 20 4
法二
设所求椭圆方程为
y2
＋ x2 ＝1(k<9)，将点( 3，－
（－ 5)的坐标代入可得
5）2＋（
3）2＝1，
25－k 9－k
25－k
9－k
解得 k＝5(k＝21 舍去)，所以所求椭圆的标准方程为 y2 ＋x2＝1. 20 4
所以椭圆的标准方程为 y2 ＋x2＝1. 81 9
综上所述，椭圆的标准方程为x2＋y2＝1 或 y2 ＋x2＝1.
9
81 9
法二
设椭圆的方程为x2＋y2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，则由题意知
9 ＝1， m
9 ＝1， 或m
mn
2 m＝3×2 n 2 n＝3×2 m，
m＝9， m＝9，
解得
或
n＝1
n＝81.
25 16 答案 (1)A (2) x2 ＋ y2 ＝1
25 16 高频考点二 求椭圆的标准方程
【例 2】
(1)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，离心率为
2.过 2
F1
的直线 l 交 C 于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 16，那么椭圆 C 的方程为________． (2)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若|AF1|