(北师大版)广州市九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．设a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022 2．某商品的售价为100元，连续两次降价%x 后售价降低了36元，则x 的值为（ ） A ．60
B ．20
C ．36
D ．18 3．一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 4．如图①，在矩形ABCD 中，AB ＞AD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 由点A 出发，沿A→B→C 运动．设点P 的运动路程为x ，△AOP 的面积为y ，y 与x 的函数关系图象如图②所示，则AB 边的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
5．为美化家园环境，提升城市形象，我市近几年大力开展“五城联创”活动，2020年被评为国家文明城 市，推动了当地旅游产业的发展，2020年我市某景区旅游收入达到10亿元，预计到2022年该景区旅游收入将达到14.4亿元，则我市2021、2022年旅游收入的平均增长率为（ ）
A ．4.4%
B ．12%
C ．20%
D ．24%
6．请你判断，320x x x -+=的实根的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，在一天内一人平均能传染x 人，经过两天传染后128人患上新冠肺炎，则x 的值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 8．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠
B ．2a ≥-且0a ≠
C ．2a ≥-
D ．0a ≠ 9．关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0有实数根，则a 满足（ ）
A ．a ≥1
B ．a ＞1且a ≠5
C ．a ≥1且a ≠5
D ．a ≠5 10．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A ．()1132x x +=
B ．()1132x x -=
C ．1(1)1322x ⨯+=
D ．1(1)1322
x x -=
11．下列说法不正确的是（ ）
A ．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B ．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C ．一元二次方程2210x x -+=只有一个根
D ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙
，甲的射击成绩稳定 12．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ）
A ．32
B ．52
C ．5
D ．2
二、填空题
13．方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，那么1212x x x x --的值为______． 14．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．
15．若关于x 的一元二次方程()22
367120m x x m m -++-+=有一个根是0，那么m 的值为______．
16．若m 是方程x 2＋2x －1＝0的一个根，则m 2＋2m －4＝______．
17．已知：（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣1）＝20，那么x 2+y 2＝_____．
18．一元二次方程221x x -=的两根α、β，则αβαβ++⋅=______．
19．一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ，则12x x +=________．
20．关于x 的方程21090x x ++=的实数根为______．
三、解答题
21．解方程：24120x x --=．
22．已知关于x 的一元二次方程2410x x m -++=有实数根．
（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；
（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且12
11+x x =3，求m 的值． 23．2019年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．
（1）求每位发病者平均每天传染多少人？
（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
24．某玩具经销商2017年全年的销售总额为20万元，总成本为12万元；由于改善经营模式，与2017年相比2019年总成本下降了20%,销售总额增加了10.5%．
（1）求该经销商年利润的平均增长率；
（2）如果不受客观因素的影响，并按此增长速度，那么2020年该经销商获得的利润是多少万元（结果精确到0.01万元）．
25．一商店销售某种商品，平均每天可售出12件，每件盈利20元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于15元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若每件商品降价2元，则平均每天盈利多少元？
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天的盈利为320元？
26．已知关于x 的方程22(21)10x m x m +-+-=．
（1）m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若抛物线y =22(21)1x m x m +-+-交x 轴于A ，B 两点，且AB =3，求m 的值．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
由一元二次方程根与系数的关系，得到1a b +=-，然后求出22022a a +=，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：∵a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，
∴1a b +=-，22022a a +=，
∴222()()a a b a a a b ++=+++
2022(1)=+-
2021=．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．
2．B
解析：B
【分析】
起始价为100元，终止价为100-36=64元，根据题意列方程计算即可．
【详解】
∵起始价为100元，终止价为100-36=64元，
∴根据题意，得
1002(1-%)x =64，
解得x=20或x=180（舍去），
故选B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的增长率问题，熟练掌握增长率问题的计算方法，正确布列方程是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据方程的根及根与系数的关系得到x 12﹣3x 1+1＝0，x 1+x 2=3，x 1x 2=1，将其代入代数式计算即可．
【详解】
解：由题意得x 12﹣3x 1+1＝0，x 1+x 2=3，x 1x 2=1，
∴x 12+1=3x 1，
∴x 12+3x 2+x 1x 2+1
=3x 1+3x 2+x 1x 2
=3（x 1+x 2）+ x 1x 2
=331⨯+
=10，
故选：A ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，结合图象可得△AOP 面积最大为6，得到AB 与BC 的积为24；当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，得到AB 与BC 的和为10，构造关于AB 的一元二方程可求解．
【详解】
解：当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为6． ∴12AB·12
BC=6，即AB•BC=24． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为10，
∴AB+BC=10．
则BC=10-AB ，代入AB•BC=24，得AB 2-10AB+24=0，解得AB=4或6，
因为AB ＞BC ，所以AB=6．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查动点问题的函数图象，解一元二次方程，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
5．C
解析：C
【分析】
利用一元二次方程的平均增长率列方程求解即可.
【详解】
解：设平均增长率为x ，根据题意，得
102(1)x +=14.4，
解得x=0.2或x=-2.2（舍去），
所以x=0.2即平均增长率为20%，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题,熟练掌握解题模型是解题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
利用绝对值的几何意义，假设x ＞0或x ＜0，分别分析得出即可．
【详解】
解：当x ＞0时，2320x x -+=，
解得：x 1＝1；x 2＝2；
当x ＜0时，2320x x --=，
解得：x 1（不合题意舍去），x 2， ∴方程的实数解的个数有3个．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查的是含有绝对值符号的一元二次方程的一般计算题，理解绝对值的意义是关键．
7．D
解析：D
【分析】
根据两天后共有128人患上流感，列出方程求解即可．
【详解】
解：依题意得2+2x +x （2+2x ）=128，
解得x 1=7，x 2=-9（不合题意，舍去）．
故x 值为7．
故选：D ．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
8．B
解析：B
【分析】
根据方程有实数根得到．
【详解】
由题意得：0∆≥，即2
44(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，
解得2a ≥-且0a ≠，
故选：B ．
【点睛】
此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2﹣4ac ≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
()
()()250
44510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a ≥1且a ≠5，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
10．B
解析：B
【分析】
利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．
【详解】
设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，
根据题意，列方程得()1132x x -=．
故选择：B ．
【点睛】
本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．
【详解】
解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；
B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；
C. 一元二次方程2210x x -+=中，24440b ac ∆=-=-=，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意；
D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙
，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意； 故选：C ．
【点睛】
本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当0∆=时，一元二次方程有两个相等的实数根．
12．B
解析：B
【分析】
由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．
【详解】
解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根，
∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；
由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ，
则()222a b ab c +-=，
即49−2（c ＋7）＝2c ，
解得：c ＝5或−7（舍去）， 再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为
52
． 故选：B ．
本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键．
二、填空题
13．【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2和的值然后代入计算即可【详解】∵方程的两个实根分别为∴x1+x2==∴=-（x1+x2）=-2故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0
解析：2-
【分析】
根据根与系数的关系求出x 1+x 2和12x x ⋅的值，然后代入计算即可．
【详解】
∵方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，
∴x 1+x 2=661
--=，12x x ⋅=441=， ∴1212x x x x --=12x x ⋅-（x 1+x 2）=-2．
故答案为：-2
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1+x 2=b a -，12x x ⋅=c a
． 14．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2
解析：14
【分析】
运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；
【详解】
解：28120x x -+=，
（x-2）（x-6）=0，
x 1=2，x 2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．
15．4【分析】先把x=0代入（m-3）x2+6x+m2-7m+12=0得m2-7m+12=0再解关于m 的方程然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值【详解】解：把x=0代入（m-3）x2+6x+m
解析：4
【分析】
先把x=0代入（m-3）x 2+6x+m 2-7m+12=0得m 2-7m+12=0，再解关于m 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．
【详解】
解：把x=0代入（m-3）x 2+6x+m 2-7m+12=0得m 2-7m+12=0，
解得m 1=4，m 2=3，
∵m-3≠0，即：m≠3
∴m 的值为4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
16．－3【分析】由于可知m 是方程的解可得将其带入求值即可；【详解】∵∴∵m 是的一个根∴∴故答案为：-3【点睛】本题考查了方程的解的定义此类型的题的特点是：利用方程解的定义找到相等的关系再把所求的代数式化 解析：－3
【分析】
由于2210x x +-=可知221x x +=，m 是方程的解，可得221m m += ，将其带入求值即可；
【详解】
∵2210x x +-=，
∴ 221x x +=，
∵ m 是2210x x +-=的一个根，
∴ 221m m +=，
∴ 224143m m +-=-=- ，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查了方程的解的定义，此类型的题的特点是：利用方程解的定义找到相等的关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值；
17．5【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t ＝x2+y2（t≥0）则t （t ﹣1）＝20整理得（t ﹣5）（t+4）＝0解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）所以x2+y2＝5故答案是：5【
解析：5
【分析】
应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．
【详解】
解：设t ＝x 2+y 2（t ≥0），则t （t ﹣1）＝20．
整理，得（t ﹣5）（t +4）＝0．
解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）．
所以x 2+y 2＝5．
故答案是：5．
【点睛】
本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．
18．1【分析】根据根与系数的关系得到+=2=-1把+和的值代入求出代数式的值
【详解】解：∵是一元二次方程()的两根∴+=2=-1∴2-1=1故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系利用根
解析：1
【分析】
根据根与系数的关系，得到α+β=2，αβ=-1，把α+β和αβ的值代入，求出代数式的值．
【详解】
解：∵α、β是一元二次方程221x x -=(2210x x --=)的两根，
∴α+β=2，αβ=-1，
∴αβαβ++⋅=2-1=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求出代数式的值． 19．3【分析】根据一元二次方程的根与系数关系两根之和等于代入求值即可
【详解】解：∵一元二次方程的两根为∴故答案为：3【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系知道一元二次方程的两根之和等于两根之积等于是 解析：3
【分析】 根据一元二次方程的根与系数关系，两根之和等于b a -
，代入求值即可． 【详解】
解：∵一元二次方程2320x x -+=的两根为1x ，2x ， ∴12331
b x x a -+=-
=-=， 故答案为：3．
【点睛】 本题考查了一元二次方程根与系数关系，知道一元二次方程的两根之和等于b a -
，两根之积等于c a
是解题关键． 20．【分析】利用因式分解法解方程【详解】解：（x+1）（x+9）
=0∴x+1=0x+9=0∴故答案为:【点睛】此题考查解一元二次方程掌握解方程的方法：直接开平方法公式法配方法因式分解法根据每个一元二次方
解析：11x =-，29x =-
【分析】
利用因式分解法解方程．
【详解】
解：21090x x ++=
（x+1）（x+9）=0
∴x+1=0，x+9=0，
∴11x =-，29x =-．
故答案为: 11x =-，29x =-．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，掌握解方程的方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，根据每个一元二次方程的特点选用恰当的解法是解题的关键．
三、解答题
21．122,6x x =-=．
【分析】
利用因式分解法求解即可．
【详解】
∵24120x x --=，
∴(x 2)(6)0x +-=，
∴122,6x x =-=，
故原方程的根为122,6x x =-=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择因式分解法是解题的关键．
22．（1）3；（2）
13
． 【分析】 （1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可； （2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．
【详解】
解：（1）∵1是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的一个根，
∴设α是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根，
∴1+α=4，
∴α=3，
∴关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根是3；
（2）∵12,x x 是方程2410x x m -++=的两个实数根，
∴=16-4(1)0m ∆+≥，
∴3m ≤，
又∵12
11+x x =3 而124x x +=且121x x m =+， ∴12
11+x x =1212431x x x x m +==+， ∴13
m =＜3， ∴m 的值是
13
． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．
23．（1）4人；（2）会
【分析】
（1）设每位发病者平均每天传染x 人，然后根据一开始有两人，经过两天后变为50人列出方程，即可求解；
（2）利用（1）结果，结合第二天总人数计算即可求解．
【详解】
（1）设每位发病者平均每天传染x 人，由题意得，
22(1)50x +=．
解得：14x =，26x =-（不合题意，舍去）
答：每位发病者平均每天传染4个人；
（2）50(1)505250x ⨯+=⨯=．
答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过200人．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，属于传播类问题，关键是根据等量关系列出方程． 24．（1）该经销商年利润的平均增长率为25%；（2）2020年该经销商获得的利润是15.63万元
【分析】
（1）设该经销商利润的平均增长率为x ，根据增长率问题的数量关系建立方程求出其解； （2）根据增长率问题的数量关系得到2020年该经销商获得的利润即可．
【详解】
解：()1该经销商年利润的平均增长率为x ．
依题意，得：()()()()2
2012120110.5%12120%x -+=+--，
即：()28112.5x +=， 1 1.25x ∴+=±，
则120.25, 2.25x x -＝＝(不符合，舍去)，
答：该经销商年利润的平均增长率为25%．
()22019年获得的利润12.5万元．
()12.5125%15.62515.63∴⨯+=≈(万元)．
答：2020年该经销商获得的利润是15.63万元．
【点睛】
本题考查了增长率问题的数量关系在实际问题中的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据据增长率问题的数量关系建立方程是关键．
25．（1）288元；（2）4元
【分析】
（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元，则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量为20+4=24（件）；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【详解】
解：（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价2元， 则平均每天可多售出2×2=4（件），即平均每天销售数量12+4=16（件），
利润为：18×16=288，
∴平均每天盈利288元；
（2）设每件商品降价x 元时，该商品每天的销售利润为320元，
由题意得：（20-x ）（12+2x ）=320，
整理得：x 2-14x+40=0，
∴（x-4）（x-10）=0，
∴x 1=4，x 2=10，
∵每件盈利不少于15元，
∴x2=10应舍去．
答：每件商品降价4元时，该商品每天的销售利润为320元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程在商品利润问题中的应用，明确商品平均每天售出的件数乘以每件盈利等于每天销售这种商品利润是解决本题的关键．
26．（1）m＜5
4
；（2）-1．
【分析】
（1）求出判别式△，令△＞0，解不等式即可求解；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则x1+x2=﹣2m+1，x1x2=m2﹣1，利用两点间的坐标公式可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）由题意，得，⊿=（2m-1）2-4（m2-1）=﹣4m+5＞0，
解得，m＜5 4
故当m＜5
4
时，方程有两个不相等的实数根；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），
则x1+x2=﹣2m+1，x1x2=m2﹣1，
AB=|x1﹣x2=，
∴3
=.
解得，m=﹣1（m＜5
4
）
故m的值为﹣1．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握根的判别式，根与系数的关系，两点间的坐标公式．。