江苏省溧水高级中学2017-2018学年高一下学期3月月考试

2017-2018学年度高一学情调研 2018.03
数 学
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应位置．．．．．．．
上． 1．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若︒==60,3A a ，则=B
b s i n ▲ ．
2．等差数列{}n a 中，已知484,4a a =-=，则12a = ▲ ．
3．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若060B =，4=a ，2c =，则=b ▲ ． 4．在等比数列{}n a 中，如果34a =，716a =，那么5a 等于 ▲ ．
5．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若c B a =cos 2，则ABC ∆的形状 一定是 ▲ 三角形．
6．已知数列{}n a 满足111,2n n a a a +==-，则数列{}n a 的前n 项n S = ▲ ． 7．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若
⊥，则角C = ▲ ．
8．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大小．．为 ▲ ． 9．已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a =，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝ ▲ ．
10．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为 ▲ ．
11．一个球从128米的高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半．当它第9次着地时，共经过的路程是 ▲ 米．
12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，12130,0S S ><.则12313||,||,||,,||
a a a a 中最小的项为 ▲ ．
13．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ac b =2
，且54c
o s =
B ，则C
A t a n 1
t a n 1+
的值是 ▲ ．
14．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13n n n S a a +=，则
21
n
k
k a
==∑ ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请把
答案写在答题卷相应位置．．．．．．．
上．
15．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S .
（1）若{}n a 为等差数列，且公差2=d ，11=n a ，36=n S ，求1a 和n ； （2）若{}n a 为等比数列，且23=a ，63=S ，求1a 和公比q ．
16．（本小题满分14分）
在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos a b C c B -⋅=⋅. （1）求角C 的大小；
（2）若2c =， △ABC .
17.（本小题满分14分） 等差数列{}n a 的前n 项和为n S . （1） 若n
n S b n
=
，证明：数列{}n b 为等差数列； （2） 若212S =，1414S =-，求12S 的值.
18．（本小题满分16分）
在锐角△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，BC 边上的中线AD m =，且满足
2224a bc m +=.
（1）求BAC ∠的大小；
（2）若2a =，求ABC ∆的周长的取值范围.
19．（本小题满分16分）
设
{}n a 是公差不为零的等差数列，满足2222623455a ,a a a a ,=+=+数列{}n
b 的通项公式
为311n b n =-
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）将数列{}n a ,4{}n b +中的公共项按从小到大的顺序构成数列{}n C ，请直接写出数列
{}n C 的通项公式；
（3）记n
n n
b d a =
，是否存在正整数,m n (5)m n ≠≠，使得5,,m n d d d 成等差数列？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
如图所示，某镇有一块空地OAB ∆，其中3OA
km =，OB =，90AOB ∠= 。

当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖OMN ∆，其中,M N 都在边AB 上，且30MON ∠= ，挖出的泥土堆放在OAM ∆地带上形成假山，剩下的OBN ∆地带开设儿童游乐场. 为安全起见，需在OAN ∆的周围安装防护网.
（1）当3
2
AM km =
时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地OMN ∆的面积是堆假山用地
OAM ∆的面积的倍，试确定
AOM ∠ 的大小；
（3）为节省投入资金，人工湖OMN ∆的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使OMN ∆
的面积最小？最小面积是多少？
2017-2018学年度高一学情调研2018.03
数学参考答案与评分标准
二、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卷相应位置．．．．．．．
上． 1．2 2．12 3．32 4．8 5．等腰 6．2
n 7．3
π 8．
32π 9．2n
10．32或34. 11．383 12．7||a 13．35 14． 3(1)2
n n +
O
A
B M
N
15．解 （解：（1）由题意知，⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯-+=⨯-+3622)
1(112)1(11n n na n a ………2分 消1a 得：036122
=+-n n ………4分 解得6=n ，11=a ………6分
（2）由题意知，⎪⎩⎪⎨⎧=++=6
2
2
1112
1q a q a a q a ………8分 消1a 得：31
2
2=++q
q q ，即0122=--q q ………10分 解得2
1
-
=q 或1， ………12分 将q 代入上述方程解得⎩⎨⎧==211a q 或者⎪⎩⎪⎨⎧
=-
=8211a q ………14分
（不讨论1=q ，直接用61)1(313=--=q
q a S 解得21
-=q 或1；或者漏解1=q 的情况均扣3分）
16.解：（1）在△ABC 中，由正弦定理知sin sin sin a b c
A B C
==
R 2= 又因为()2cos cos a b C c B -⋅=⋅
所以2sin sin cos AcosC BcosC BsinC =+，即2sin cos sin A C A = ……………… 4分 ∵π<<A 0,∴0sin >A ∴1
cos 2
C =
……………… 6分 ∵0C π<< ∴3
C π
= ……………… 8分
（2
）∵1
sin 2
ABC S ab C ∆=
=∴4ab = ……………… 10分 又()2
222
23c a b abcosC a b ab =+-=+-
∴()2
16a b += ∴4a b +=
∴周长为6. ……………… 14分 17. 解（1）设{}n b 的公差为d ，则1(1)2n n n S na d -=+，11
2
n n b a d -=+ 1n ≥时，11
2
n n b b d +-=
，所以数列{}n b 为等差数列………………7分 （2122S =…………………………14分
18．解：（1）在ABD ∆中，由余弦定理得：22
2
1cos 4
c m a ma ADB =+-， ① 在ACD ∆中，由余弦定理得：222
1cos 4
b m a ma ADC =+
-， ② 因为ADB ADC π∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，
①+②得：222
2122
b c m a +=+， ……………… 4分
即2
222111224
m b c a =+-， 代入已知条件2224a bc m +=，
得2222222a bc b c a +=+-，即222b c a bc +-=， ……………… 6分
2221
cos 22
b c a BAC bc +-==，
又0A π<<，所以3
BAC π
∠=
. ……………… 8分
（2）在ABC ∆中由正弦定理得
sin sin sin
3
a b c
B C
π
=
=
，又2a =，
所以b B =
，
23c C B π⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，
∴24sin 26a b c B C B π⎛
⎫++=+=++ ⎪⎝
⎭， ……………… 10分 ∵ABC ∆为锐角三角形，3
BAC π
∠=
∴⇒⎪⎩⎪⎨⎧
<
<<<2020ππC B ,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ……………… 12分 ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+32,36πππ
B
，∴sin 6B π⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦
． ∴ABC ∆
周长的取值范围为(
2⎤+⎦
． ……………… 16分
19．19. （1）设公差为d ，则2
222
2543
a a a a -=-，由性质得43433()()d a a d a a -+=+，因为0d
≠，所以430a a +=，即1250a d +=，又由65a =得155a d +=，解得
15a =-，
2d =所以{}n a 的通项公式为27n a n =-………………………………5分
(2) 61n C n =+………………………………………………………………………10分
(3),假设存在正整数m 、n ，使得d 5，d m ，d n 成等差数列，则d 5＋d n ＝2d m ．311
27
n n d n -=-
所以
43＋31127n n --＝311227m m -⨯-， 化简得：2m ＝13－92
n -．……… 13分 当n －2＝－1，即n ＝1时，m ＝11，符合题意； 当n －2＝1，即n ＝3时，m ＝2，符合题意 当n －2＝3，即n ＝5时，m ＝5(舍去) ； 当n －2＝9，即n ＝11时，m ＝6，符合题意．
所以存在正整数m ＝11，n ＝1；m ＝2，n ＝3；m ＝6，n ＝11 使得b 2，b m ，b n 成等差数列．…16分
20．解：（1） 在OAB ∆中，3OA =
，OB =90AOB ∠=︒，
60OAB ∴∠=︒，
在AOM ∆中，3
3,,602
OA AM OAM ==
∠=︒，
由余弦定理，得2
OM =
， ……………2分 222OM AM OA ∴+=，即OM AN ⊥，30AOM ∴∠=︒， OAN ∴∆为正三角形，所以OAN ∆的周长为9，
即防护网的总长度为9km . ………………4分
（2）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒
，OMN OAM S ∆∆ ，
11
sin 30sin 22
ON OM OA OM θ∴⋅︒=⋅
，即ON θ=，…………………6分 在OAN ∆中，由
3
sin 60sin(6030)cos ON OA θθ==︒+︒+︒
，得2cos ON θ=， ………8分
从而θ=
，即1sin 22θ=，由02120θ︒<<︒，
得230θ=︒，15θ∴=︒，即AOM ∠15=︒. …………………………………10分 （3）设(060)AOM θθ∠=︒<<︒，由（2
）知ON =
，
又在AOM ∠中，由
sin 60sin(60)OM OA θ=︒+︒
，得OM =，…………12分
127
sin 30216sin(60)cos OMN S OM ON θθ
∆∴=⋅⋅︒=+︒
O
A
B
M
N
=
=
， …………………14分
∴当且仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，
OMN ∆ 的面积取最小值为
27(24
2km . ………………………………………16分。