湖北省2020-2021学年高二数学上学期期末模拟考试2套(含答案)

湖北省高二数学上册期末模拟试卷
（含答案）
年级：高二 科目：数学（文科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.抛物线2
12
y x =
的准线方程是 ( ) A. 18y =-
B. 12y =-
C. 1
8
x =- D. 12x =- 2.已知命题p :R x ∃∈使得1
2x x
+
<，
命题2q :R,1x x x ∀∈+>，下列为真命题的是（ ） A. ()q p ⌝∧ B. ()p q ∧⌝ C.
q p ∧ D. ()()p q ⌝∧⌝
3.圆2
2
460x y x y +-+=和圆22
60x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（ ）
A. 30x y -=
B. 30x y +=
C. 30x y -=
D. 30x y += 4.将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该
几何体的侧视图为（ ）
5.“15k <<”是“方程
22
151
x y k k +=--表示椭圆”的什么条件（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.执行如图所示的程序框图,输出2017
2018
s =,那么判断框内应填（ ）
A. 2017?k ≤
B. 2018?k ≥
C. 2017?k ≥
D. 2018?k ≤
7.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的3倍，则侧棱与底面所成的角的余弦值为（ ）
A.
1
2
B. 33
C. 36
D. 39
8.若()2,2P -为圆()2
21100x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ）． A.260x y --= B.220x y ++= C.220x y +-= D.260x y --= 9.已知圆1F ： ()2
2236x y ++=，定点()22,0F ， A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是（ ）
A. 22143x y +=
B. 22134x y +=
C. 22195x y +=
D. 22
159
x y += 10.甲、乙两名同学打算在下午自习16:00-17:00期间去向杨老师问问题，预计解答完一个
学生的问题需要15分钟.若甲乙两人在16:00-17:00内的任意时刻去问问题是相互独立的，则两人独自去时不需要等待的概率是（ ）
A.
316 B. 516 C. 716 D. 916
11.已知0,0a b >>，且3a b +=，则14
a b
+的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12.将一颗六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体形状的骰子投掷两次，第一次、第二次出现的点数分别记为a b 、，设直线1:2l ax by +=与2:22l x y +=平行的概率为1P ，相交的概率为2P ，则圆22:16C x y +=上到直线126211()P x P y -+=的距离为2的点的个数是（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.学生A ， B 在高三8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生A 的平均成绩与学生B 的成绩的众数相等，则m =__________．
14.在ABC ∆中，三顶点()2,4A ， ()1,2B -， ()1,0C ，
点(),P x y 在ABC ∆内部及边界运动，则z x y =-最大值为_________. 15.在球面上有,,,A B C D 四个点，如果,,AD AB AB BC ⊥
⊥,BC AD ⊥1,AD =
2,AB =3,BC =则该球的表面积为________.
16.已知A 、B 、P 是双曲线22
221x y a b
-=上不同的三点，且A 、B 两点关于原点O 对称，
若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB
k k ⋅=，则该双曲线的离心率e =_______．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b A c C +=．
（Ⅰ）求角C 的值．
（Ⅱ）若43CA CB ⋅=，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值．
18.（本题满分12分）
已知0m >， 2
:280p x x --≤， :22q m x m -≤≤+.
（Ⅰ）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若3m =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.
19.（本题满分12分）
为对期中七校联考成绩进行分析，随机抽查了其中3000名考生的成绩，根据所 得数据画了如下的样本频率分布直方图． （Ⅰ）求成绩在[)600,700的频率；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估算出样本数据的平均数和中位数；
（Ⅲ）我校共有880人参加这次考试，请根据频率分布直方图估计我校成绩在[)650,700这段的人数？
20.（本题满分12分）
已知直线10ax y -+=与圆2
2
:6440C x y x y +-++=交于,A B 两点，过点()5,1P -的
直线l 与圆C 交于,M N 两点，
（Ⅰ）若直线l 垂直平分弦AB ，求实数a 的值；
（Ⅱ）若4MN =，求直线l 的方程；
21.（本题满分12分）
已知三棱锥A BCD -中,
BCD ∆是等腰直角三角形,且BC CD ⊥,4BC =,AD ⊥平面
BCD ,2AD =.
（Ⅰ）求证:平面ABC ⊥平面ADC
（Ⅱ）若E 为AB 的中点,求点A 到平面CDE 的距离.
22.（本题满分12分）
已知椭圆22
154
x y +=，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于M ， N 两点． （Ⅰ）若8
3
OM ON ⋅=-
，求直线l 的方程； （Ⅱ）若直线l 的斜率存在，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(),0P a ，求实数a 的取值范围．
参考答案及评分标准
一、 选择题
BCABB ADACD BB
二、 填空题
13：5 14：1 15：14π 16：2 三、解答题 17、解：（1）
cos cos 2cos a B b A c C
+=
由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=
，
∴sin()2sin cos A B C C +=
∴sin 2sin cos C C C =
2
cos 2
C ∴=
又0C π<<， ∴π
4
C =
．…………………………………5分 （2）∵2
cos 432
CA CB ab C ab ⋅==
=， ∴112sin ()2322ABC S ab C ab ∆=
==，……………………10分 18、解：(1)记命题p 的解集为A=[-2，4]， 命题q 的解集为B=[2-m ，2+m]， ∵p 是q 的充分不必要条件 ∴ ∴22{
24
m m -≤-+≥，解得： 4m ≥. …………………………………5分
(2)∵“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，
∴命题p 与q 一真一假， ①若p 真q 假，则24
1,,5x x or x -≤≤⎧⎨
<->⎩»
，解得：[)2,1x ∈-- …………………8分
②若p 假q 真，则2,,4
15x or x x <->⎧⎨
-≤≤⎩
，解得： (]4,5x ∈. ………………11分
综上得： [)(]2,14,5x ∈--. ………………………………………12分
19、解：（1）根据频率分布直方图，得:成绩在[600，700）的频率为
0.003500.001500.2⨯+⨯= ；…………………………………………2分
（2）设样本数据的平均数为a ,中位数为b ,
0.002504250.004504750.00550525
a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
0.005505750.003506250.00150675+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯
540= …………………………………………………………5分
根据直方图估计中位数b 在[500,550)段
0.002500.004500.005(500)0.5b ⨯+⨯+⨯-=
解得540b = ……………………………………………………8分 所以数据的平均数和中位数都是540
（3）成绩在[650，700）的频率为：0.001×50=0.05，
所以我校880名学生生中成绩在[650，700）的人数为：0.05×880=44（人），……12分 20、解：（Ⅰ）由于圆2
2
:6440C x y x y +-++=即2
2
:(3)(2)9C x y -++=
圆心()3,2C -，半径为3， 直线10ax y -+=即1y ax =+
由于l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在直线l 上， 所以l 的过点()5,1P -和()3,2C -，斜率 所以2AB k a ==-， …………………………………………………………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程是(5)1y k x =--, C 到l 的距离
解得2k =-， ……………………………………………………………10分 所以l 的方程是：2(5)1y x =--- 即l 方程为： 290
x y +-=
………………………………………………12分
21、解：（1）证明：
AD ⊥平面,BCD BC ⊂平面BCD ，AD BC ∴⊥， 又
,BC CD CD
AD D ⊥=，
BC ∴⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，
∴平面ABC ⊥平面ACD . …………………………………5分
（2）由已知可得CD =
，取CD 中点为F ，连结EF ，
1
32
ED EC AB ==
=，ECD ∴∆为等腰三角形，
EF ∴= ECD S ∆= …………………………………8分
由（1）知BC ⊥平面,ACD
E ∴到平面ACD 的距离为1
22
BC =， 4ACD S ∆=，……………10分
设A 到平面CED 的距离为d ， 有11
233
A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，
解得d =
.A ∴到平面CDE . ………………………………12分
22、解：（1）当直线l 的斜率不存在时， 161OM ON ⋅=-
1分 当直线l 的斜率存在时，设()11,M x y ， ()22,N x y ，
直线l 的方程为()1y k x =-，① 由①②可得()
222254105200k x k x k +-+-=，
3分
4分
∴12OM ON x x ⋅=，解得2
4k =，………………………5分 ∴2k =±，即直线l 的方程为()21y x =-或()21y x =--．………………………6分
（2）由（1
设MN的中点为Q ，即…………………………8分1
k k⋅=-，直线PQ的方程是
PQ MN
令0
y=解得10分k=时，M，N为椭圆长轴的两个端点，则点P与原点重合，
当0
k≠时，11分当0
综上所述，存在点P且12分
湖北省高二数学上册期末模拟试卷
（含答案）
第Ⅰ卷 选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“对任意x R ∈，都有210x x -+>”的否定为（ ）
A ．对任意x R ∈，都有210x x -+≤
B ．不存在x R ∈，使得210x x -+>
C ．存在0x R ∈，使得20010x x -+≤
D ．存在0x R ∈，使得2
0010x x -+<
2.若复数z 满足(12)2i z i -=+，则|z |=（ ）
A ．
2
5
B ．1
C ．5 D
3.余弦函数是偶函数，2
()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2
()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）
A ．结论不正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．全不正确 4.袋中装有3个黑球，4个白球，从中任取4个球，则
①至少有1个白球和至少有1个黑球； ②至少有2个白球和恰有3个黑球； ③至少有1个黑球和全是白球； ④恰有1个白球和至多有1个黑球. 在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ） A ．① B ．② C. ③ D ．④ 5.下列命题中为真命题的是（ ）
A ．命题“若2
1x ≠，则1x ≠”的逆命题
B ．命题“若x y ≥，则||x y ≥”的否命题
C.命题“若2x =-，则2
20x x +-=”的逆命题
D ．命题“若1x ≤，则2
1x ≤”的逆否命题
6.①已知32
2p q +=，求证2p q +<，用反正法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实
数，2
()f x x ax a =++，求证|(1)|f 与|(2)|f 中至少有一个小于1
2
，用反证法证明时可假设1|(1)|2f ≥
，且1
|(2)|2
f ≥，以下说法正确的是（ ） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C. ①的假设正确，②的假设错误 D ．①的假设错误，②的假设正确 7.下列各数中，最大的是（ ）
A ．(2)101010
B ．(3)111 C. (4)32 D ．(7)54
8.执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为10，则判断框内可填入的条件是（ ）
A ．34s ≤
B ．56s ≤ C. 1112s ≤ D ．2524
s ≤ 9.某校艺术节对摄影类的,,,A B C D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；
丙说：“,A D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ） A ．A 作品 B ．B 作品 C. C 作品 D ．D 作品 10.下列说法中错误的是（ ）
A ．先把高二年级的2000名学生编号为1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m ，然后抽取编号为50m +，100m +，150m +的学生，
这样的抽样方法是系统抽样法
B ．线性回归直线y b x a ∧∧∧=+一定过样本中心点(,)x y C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1
D ．若一组数据1、a 、3的平均数是2，则该组数据的方差是23
11.鞋柜里有3双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A ．23
B ．13 C. 35 D ．25
12.命题“存在[1,2]x ∈，使20x a ->成立”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ）
A ．1a ≤
B ．1a < C. 4a ≤ D ．4a <
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分.
13.对某同学的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：
①中位数为84；②众数为83；
③平均数为85；④极差为16；
其中，正确说法的序号是 ．
14.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1,2,,960⋯⋯，
分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为4，抽到的32人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,720]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为 ．
15.在2017年11月11日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是3.246.4y x ∧=-+，则m = ．
16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，
额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=
===则按照以上规律，若=有“穿墙术”，则n = ．
三、解答题 ：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（1）用秦九韶算法求多项式5432()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值；
（2）用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.
18.已知复数12z a i =-，234z i =+（a R ∈，i 为虚数单位）.
（1）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；
（2）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.
19.设:p 实数x 满足22320x ax a -+≤，其中0a >，命题:q 实数x 满足
1288x <<. （1）若2a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
20.已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12
. （1）求n 的值；
（2）从袋子中有放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .
①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数,x y ，求事件“2
()4
a b x y -+>恒成立”的概率.
21.证明下列不等式：
（1）当2a >时，求证：2220a a a ---+>；
（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：4a b +≥.
22.某工厂有工人1000名，为了提高工人的生产技能，特组织工人参加培训.其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人）.现从该工厂的工人中共抽查了100名工人作为样本，调查他们的生产能力（生产能力是指工人一天加工的零件数），得到A 类工人生产能力的茎叶图（图1），B 类工人生产能力的频率分布直方图（图2）.
（1）在样本中求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若规定生产能力在[130,150]内为能力优秀，现以样本中频率作为概率，从1000名工人中按分层抽样共抽取n 名工人进行调查，请估计这n 名工人中的各类人数，完成下面的22⨯列联表.
若研究得到在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为生产能力与培训时间长短有关，则n 的最小值为多少？
参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
试卷答案
一、选择题
1-5:CBCDB 6-10:DADBC 11、12：BC
二、填空题
13. ②④ 14. 8 15.20 16.99
三、解答题
17.解：（1）()((((54)3)2)1)3f x x x x x x =++++-
05v =；152414v =⨯+=；2142331v =⨯+=；3312264v =⨯+=
46421129v =⨯+=；512923255v =⨯-=
所以，当2x =时，多项式的值为255.
（2）13581154=⨯+
8154127=⨯+
542720=⨯+
则81与135的最大公约数为27
18.解：（1）依据12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-
根据题意12z z ⋅是纯虚数，380460a a +=⎧⎨-≠⎩ 83
a =-； （2）根据题意12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，可得
3808346032a a a +>⎧⇒-<<⎨-<⎩
所以，实数a 的取值范围为83{|}32
a a -<< 19.解：由22320x ax a -+≤，得()(2)0x a a a --≤，
又0a >，所以:2p a x a ≤≤. 又1288
x <<得33x -<<，所以:33q x -<< （1）当2a =时:24p x ≤≤
由p q ∧为真，则x 满足2433
x x ≤≤⎧⎨-<<⎩，则实数x 的取值范围是23x ≤<，
（2）p 是q 的充分不必要条件，
记{|2,0}A x a x a a =≤≤>，{|33}B x x =-<<
则A 是B 的真子集，满足023
a a >⎧⎨<⎩，
则实数a 的取值范围是302a <<
20.解：（1）依题意122
n n =+，得2n =. ①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为,k h ，则取出2个小球的可能情况有：(,),(,),(,),(,),(,)s s s t s k s h t s ，(,),(,),(,),(,),(,)t t t k t h k s k t ，
(,),(,),(,),(,),(,)k k k h h s h t h k ，(,)h h 共16种，其中满足“2a b +=”的有5种：(,),(,),(,),(,),(,)s k s h t t k s h s .所以所求概率为5()16
P A = ②记“2
()4
a b x y -+>恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“1x y +>”恒成立，(,)x y 可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为
{(,)|02,02,,}x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈，而事件B 构成的区域为
{(,)|1,(,)}B x y x y x y =+>∈Ω.所以所求的概率为7()8
P B =
21.试题解析：（1）要证0>
<
只要证22<，
只要证24a a +<，
a <，由于2a >，
只要证224a a -<，
<
（2）因为0a b ab +-=，0a >，0b >， 所以111a b +=
11()()a b a b a b +=++ 11b a a b
=+++ 22
4b a a b ≥+⋅= 当且仅当b a a b
=，即a b =时，等号成立 所以4a b +≥
22.解析：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为123，由频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为
1150.041250.36D x =⨯+⨯1350.41450.2+⨯+⨯=4.6455429132.6+++=； （Ⅱ）由（Ⅰ）及所给数据得能力与培训的22⨯列联表如下：
由上表得
24
22433915()1010202040010.8283119311933442020442020
n n n n n n n n k n n n n n ⨯-⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯， 解得357.324n >，又人数必须取整，
∴n 的最小值为360.。