中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理,突破提升)及详细答案.doc

中考数学压轴题之反比例函数(中考题型整理 ,突破提升 )及详细答案
一、反比例函数
1．如图，点 A 在函数 y=（x＞0）图象上，过点 A 作 x 轴和 y 轴的平行线分别交函数y= 图象于点B，C，直线 BC 与坐标轴的交点为D， E．
（1）当点 C 的横坐标为 1 时，求点 B 的坐标；
（2）试问：当点 A 在函数 y= （ x＞ 0）图象上运动时，△ ABC 的面积是否发生变化？若不变，
请求出△ ABC 的面积，若变化，请说明理由．
（3）试说明：当点 A 在函数 y=（x＞0）图象上运动时，线段BD 与 CE的长始终相等．【答案】（1）解：∵点 C 在 y=的图象上，且 C 点横坐标为1，
∴C（1 ，1），
∵AC∥y 轴， AB∥ x 轴，
∴A 点横坐标为1，
∵A 点在函数 y=（x＞0）图象上，
∴A（1， 4），
∴B 点纵坐标为4，
∵点 B 在 y=的图象上，
∴B 点坐标为（，4）；
（2）解：设A（ a，），则C（a，），B（，），
∴AB=a﹣= a， AC=﹣=，
∴S△ABC= AB?AC=× × =，
即△ ABC的面积不发生变化，其面积为；
（3）解：如图，设AB 的延长线交y 轴于点 G， AC 的延长线交x 轴于点 F，
∵AB∥ x 轴，
∴△ ABC∽ △ EFC，
∴= ，即= ，
∴E F= a，
由（ 2）可知 BG=a，
∴B G=EF，
∵AE∥ y 轴，
∴∠ BDG=∠ FCE，
在△ DBG和△ CFE中
∴△ DBG≌ △ CEF（ AAS），
∴B D=EF．
【解析】【分析】（ 1）由条件可先求得 A 点坐标，从而可求得 B 点纵坐标，再代入y= 可求得 B 点坐标；（ 2）可设出 A 点坐标，从而可表示出C、 B 的坐标，则可表示出A B 和
AC 的长，可求得△ ABC的面积；（ 3）可证明△ ABC∽ △ EFC，利用（ 2）中， AB 和 AC 的
长可表示出 EF，可得到 BG=EF，从而可证明△ DBG≌ △ CFE，可得到 DB=CF．
2．已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点 O 是坐标原点，将线段OA 绕 O 点顺时针旋转30°得到线段 OB．判断点 B 是否在
此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m，m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜ 0），过P 点作 x 轴
的垂线，交x 轴于点 M ．若线段PM 上存在一点Q，使得△ OQM 的面积是，设Q点的纵
坐标为 n，求 n2﹣ 2n+9 的值．
【答案】（1）解：由题意得1=，解得k=﹣，
∴反比例函数的解析式为y=﹣
（2）解：过点 A 作 x 轴的垂线交x 轴于点 C．
在 Rt△ AOC中， OC=，AC=1，
∴OA==2，∠ AOC=30 ，°
∵将线段 OA 绕 O 点顺时针旋转30 °得到线段OB，
∴∠ AOB=30 ，°OB=OA=2，
∴∠ BOC=60 ．°
过点 B 作 x 轴的垂线交x 轴于点 D．
在 Rt△ BOD 中， BD=OB?sin∠ BOD=，OD=OB=1，
∴B 点坐标为（﹣ 1 ，），
将 x=﹣ 1 代入 y=﹣中，得y=，
∴点 B（﹣ 1，）在反比例函数y=﹣的图象上
（3）解：由y=﹣得xy=﹣，
∵点 P（ m，m+6）在反比例函数
∴m（m+6） =﹣，
∴m2+2m+1=0，
y=﹣的图象上，其中m＜ 0，
∵PQ⊥ x 轴，∴ Q 点的坐标为（ m， n）．
∵△ OQM 的面积是，
∴OM?QM= ，
∵m＜ 0，∴ mn=﹣ 1，
∴m2n2 +2mn2 +n2=0，
∴n 2﹣ 2 n=﹣1，
∴n 2﹣ 2 n+9=8．
【解析】【分析】（ 1）由于反比例函数y= 的图象经过点 A（﹣， 1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点 A 的坐标，可求出OA 的长度，∠AOC 的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30 ，°OB=OA，再求出点B 的坐标，进而判断点 B 是否在此反比例函数的图象上；（3）把点 P（ m，m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m 的一元二次方程；根据题意，可得Q 点的坐标为（ m， n ），再由
△OQM 的面积是，根据三角形的面积公式及式变形，把mn 的值代入，即可求出n2﹣2
m＜ 0，得出
n+9 的值．
mn 的值，最后将所求的代数
3 ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b（ k≠0）的图象与反比例函数
的图象交于二四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，点 B 的坐标为（ 6 ，n ），线段 OA=5 ， E 为 x 轴负半轴上一点，且 sin∠ AOE=
．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△ AOC的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围．
【答案】（1）解：作 AD⊥ x 轴于 D，如图，
在 Rt△ OAD 中，∵ sin∠ AOD==，
∴AD= OA=4，
∴OD==3，
∴A（﹣ 3， 4），
把 A（﹣ 3， 4）代入 y=得m=﹣4×3=﹣12，
所以反比例函数解析式为y=﹣；
把B（ 6，n ）代入 y=﹣得6n=﹣12，解得n=﹣2，
把 A（﹣ 3， 4）、 B（6，﹣ 2）分别代入y=kx+b 得，解得，所以一次函数解析式为y=﹣x+2
（2）解：当 y=0 时，﹣x+2=0，解得 x=3，则 C（3， 0），所以 S△AOC
× 4× 3=6
= （3）解：当 x＜﹣ 3 或 0＜ x＜ 6 时，一次函数的值大于反比例函数的值
【解析】【分析】（1）作 AD⊥ x 轴于 D，如图，先利用解直角三角形确定A（﹣ 3 ，4），
再把 A 点坐标代入y= 可求得 m=﹣ 12，则可得到反比例函数解析式；接着把B（ 6， n）代入反比例函数解析式求出n，然后把 A 和 B 点坐标分别代入 y=kx+b 得到关于 a、 b 的方程组，再解方程组求出 a 和 b 的值，从而可确定一次函数解析式；（ 2 ）先确定 C 点坐标，然后根据三角形面积公式求解；（3）观察函数图象，找出一次函数图象在反比例函数
图象上方所对应的自变量的范围即可．
4．如图，直线y=2x+6 与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（ 1， m），与 x 轴交于点 B，平行于x 轴的直线y=n（ 0＜ n＜ 6）交反比例函数的图象于点M，交 AB 于点 N，连
接 BM．
（1）求 m 的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出当x＞ 0 时不等式2x+6﹣＜0的解集；
（3）直线 y=n 沿 y 轴方向平移，当 n 为何值时，△ BMN 的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）解：∵直线 y=2x+6 经过点 A（1 ，m），
∴m=2 × 1+6=8，
∴A（1， 8），∵反比例函数经过点
A（1， 8），∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=．
（2）解：不等式2x+6﹣＜0的解集为0＜ x＜1．
（3）解：由题意，点M ， N 的坐标为M（，n），N（，n），
∵0＜ n＜ 6，
∴＜ 0，
∴ ﹣＞0
△BMN M
×（﹣）× n=﹣2
+ ，
∴S= |MN| × |y|= （ n﹣ 3）
∴n=3 时，△ BMN 的面积最大，最大值为．
【解析】【分析】（ 1）求出点 A 的坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（2）由图象直接求得；
（3）构建二次函数，利用二次函数的最值即可解决问题.
5．如图，反比例函数的图象与一次函数y=kx+5（k 为常数，且k≠0）的图象交于 A （﹣ 2， b）， B 两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线 AB 向下平移 m（ m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共
点，求 m 的值．
【答案】（1）解：把 A（﹣ 2， b）代入，
得 b=﹣=4，
所以 A 点坐标为（﹣2， 4），
把A（﹣ 2， 4）代入 y=kx+5，
得﹣ 2k+5=4，解得 k= ，
所以一次函数解析式为 y= x+5；
（2）解：将直线AB 向下平移m（ m＞0）个单位长度得直线解析式为y=x+5﹣ m，
根据题意方程组只有一组解，
消去 y 得﹣=x+5﹣ m，
整理得x2﹣（ m﹣ 5） x+8=0，
△=（ m﹣5）2﹣ 4×
×8=0，解得 m=9 或 m=1，
即 m 的值为 1 或 9．
【解析】【分析】（ 1）先利用反比例函数解析式求出b=4，得到
然后把 A 点坐标代入y=kx+5 中求出 k，从而得到一次函数解析式；
A 点坐标为（-2，4），
（2）由于将直线 AB 向下平移 m（ m＞ 0）个单位长度得直线解析式为与反比例函数有且只有一个公共点，可组成方程组，且只有一组解，然后消去x 的一元二次方程，再根据判别式 =0 得到关于 m 的方程，最后解方程求出y=
m
，又
y 得到关于
的值 .
6．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C， D 两点，坐标轴交于A、 B 两点，连结OC，OD（ O 是坐标原点）.
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值；
（2）求△ DOC 的面积 .
（3）双曲线上是否存在一点 P，使得△ POC 和△ POD 的面积相等？若存在，给出证明并求
出点 P 的坐标；若不存在，说明理由 .
【答案】（1）解：将C(1， 4)代入反比例函数解析式可得：k=4，则反比例函数解析式为：
，
将 D(4， m)代入反比例函数解析式可得：m=1
（2）解：根据点 C 和点 D 的坐标得出一次函数的解析式为： y=－ x+5 则点
A 的坐标为 (0， 5)，点
B 的坐标为 (5， 0)
∴S△DOC=5 × 5÷2－5× 1÷2－5× 1÷ 2=7.5
（3）解：双曲线上存在点 P(2,2),使得 S△ POC=S△ POD，理由如下：
∵C 点坐标为： (1,4),D 点坐标为： (4,1)，
∴OD=OC=，
∴当点 P 在∠ COD 的平分线上时，∠ COP=∠ POD，又OP=OP，
∴△ POC≌ △ POD，
∴S△POC=S△POD.
∵C 点坐标为： (1,4),D 点坐标为： (4,1)，
可得∠ COB=∠ DOA，
又∵ 这个点是∠ COD 的平分线与双曲线的y= 交点，
∴∠ BOP=∠ POA，
∴P 点横纵坐标坐标相等，
即xy=4， x2=4，
∴x= ±2，
∵x>0，
∴x=2， y=2，
故 P 点坐标为 (2,2)，使得△ POC和△ POD的面积相
等利用点 CD 关于直线 y=x 对称 ,P(2,2)或 P(-2,-2).
答：存在， P(2， 2)或 P(-2， -2)
【解析】【分析】（ 1）观察图像，根据点 C 的坐标可求出函数解析式及m 的值。

（2）利用待定系数法，由点D、 C 的坐标求出直线CD 的函数解析式，再求出直线CD与两
坐标轴的交点 A、 B 的坐标，然后利用 S△DOC△AOB△BOC△AOD
，利用三角形的面积公式
=S -S-S
计算可解答。

（3）双曲线上存在点 P，使得 S△POC△POD
，这个点就是∠ COD的平分线与双曲线的 y=
=S
交点，易证△ POC≌ △ POD，则 S△POC△POD
，可得出点 P 点横纵坐标坐标相等，利用反比
=S
例函数解析式，建立关于x 的方程，就可得出点P 的坐标，利用对称性，可得出点P 的另一个坐标，即可得出答案。

7．【阅读理解】
我们知道，当a＞ 0 且 b＞ 0 时，（﹣）2≥0，所以a﹣ 2+≥0，从而a+b ≥ 2
（当 a=b 时取等号），
【获得结论】设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=即x=时，函数
y 有最小值为 2
（1）【直接应用】
若 y1=x（x＞ 0）与 y2 =（x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】
若 y1=x+1（ x＞﹣ 1）与 y2=（ x+1）2 +4（ x＞﹣ 1），则的最小值是 ________
（3）【探索应用】
在平面直角坐标系中，点A（﹣ 3，0），点图象上的一个动点，过P 点作 PC⊥ x 轴于点边形 ABCD的面积为S
①求 S 与 x 之间的函数关系式；
②求 S 的最小值，判断取得最小值时的四边形B（ 0，﹣ 2），点P 是函数y=在第一象限内C， PD⊥ y 轴于点 D，设点 P 的横坐标为x，四
ABCD的形状，并说明理由．
【答案】（1） 1； 2
（2） 4
（3）解：①设 P（ x，），则 C（ x， 0）， D（ 0，），∴AC=x+3， BD= +2，
∴S= AC?BD= （ x+3）（+2）=6+x+ ；
② ∵x＞ 0，
∴x+ ≥ 2 =6，
∴当 x=时，即x=3时，x+有最小值6，
∴此时 S=6+x+有最小值12，
∵x=3，
∴P（ 3， 2）， C（ 3，0）， D（0， 2），
∴A、C 关于 x 轴对称， D、 B 关于 y 轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，
∴四边形 ABCD为菱形．
【解析】【解答】解：（1）∵ x＞ 0，∴y1+y2=x+≥ 2=2，∴当 x=时，即x=1时，y +y 有最小值 2 ，故答案为： 1 ； 2 ；（ 2 ）∵ x＞﹣ 1，∴x+1＞ 0，∴= = 1 2
（ x+1） + ≥2 =4，∴当 x+1= 时，即 x=1 时，有最小值4，故答案为：4；
【分析】（ 1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x 的值；（ 2）可把 x+1 看成
一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设 P（ x，），则可表示出C、 D 的坐标，从而可表示出 AC和 BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到 S 与 x 的函数关系式；② 再利用结论可求得其最得最小值时对应的x 的值，则可得到 P、 C、D 的坐标，可判断A、 C 关于 x 轴对称， B、 D 关于 y 轴对称，可判断四边形ABCD 为菱形．
8．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，点 A 在 x 轴的正半轴上，点B、 C 在第一象
限，且四边形OABC是平行四边形，OC=2，sin∠AOC=，反比例函数y=的图象经
过点 C 以及边 AB 的中点 D．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）四边形 OABC的面积．
【答案】（1）解：过 C 作 CM⊥ x 轴于 M，则∠ CMO=90°，
∵OC=2，sin∠AOC==，
∴MC=4，
由勾股定理得： OM= =2，
∴C 的坐标为（2，4），
代入 y=得：k=8，
所以这个反比例函数的解析式是y=
（2）解：
过B 作 BE⊥ x 轴于 E，则 BE=CM=4， AE=OM=2，过 D 作 DN⊥ x 轴于 N，∵D 为 AB 的中点，
∴DN==2， AN==1，
把 y=2 代入 y=得：x=4，
即 ON=4，
∴OA=4﹣1=3，
∴四边形 OABC的面积为OA× CM=3 × 4=12
【解析】【分析】（ 1）过 C 作 CM⊥ x 轴于 M ，则∠ CMO=90°，解直角三角形求出据勾股定理求出OM，求出 C 的坐标，即可求出答案；（2）根据 D 为中点求出代入反比例函数解析式求出ON，求出 OA，根据平行四边形的面积公式求出即可．
CM，根DN 的值，
9．如图，已知直线l： y=kx+b（ k＜ 0， b＞ 0，且 k、b 为常数）与y 轴、 x 轴分别交于A 点、 B 点，双曲线C： y=（x＞0）．
（1）当 k=﹣ 1， b=2时，求直线l 与双曲线 C 公共点的坐标；
（2）当 b=2时，求证：不论k 为任何小于零的实数，直线l 与双曲线 C 只有一个公共点（设为P），并求公共点P 的坐标（用k 的式子表示）．
（3）①在（ 2）的条件下，试猜想线段 PA、PB 是否相等．若相等，请加以证明；若不相
等，请说明理由；
②若直线 l 与双曲线 C 相交于两点P1、 P2，猜想并证明P1A 与 P2B 之间的数量关系．
【答案】（1）解：联立l 与 C 得，
① ﹣②，得﹣ x+2﹣=0
化简，得 x2﹣2 x+3=0
解得 x1=x2= ， y1=y2= ，
直线 l 与双曲线 C 公共点的坐标为（，）
（2）解：证明：联立l 与 C得，
① ﹣② ，得
kx+2﹣=0，
化简，得
kx2+2x﹣ 3=0，
a=k， b=2，c=﹣3，
△=b 2﹣4ac=（2）2﹣4k×（﹣3）=12k﹣12k=0，
∴kx2 +2x﹣3=0 只有相等两实根，即不论k 为任何小于零的实数，直线l 与双曲线C只有一个公共点；
x=﹣，y=，
即 P（﹣，）
（3）解：①PA=PB，理由如下：
y=kx+b 当 x=0 时， y=b，即 A（0， b）；当 y=0 时， x=﹣，即B（﹣，0），P（﹣，），
PA=，
PB=，
∴P A=PB．
②P1A=P2B，理由如下：
y=kx+b 当 x=0 时， y=b，即 A（0， b）；当 y=0 时， x=﹣，即B（﹣，0），
联立 l 与 C 得
① ﹣② ，得
，
kx+b﹣=0，
化简，得
kx2+bx﹣ 3=0，
解得 P1
（，
2
（，） P
）
P1A2=（）2+（）2，P2 B2 =（）2+
（）2，
∴P1A2=P2B2，
∴P1A=P2B
【解析】【分析】（ 1）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组
的解，可得交点的坐标；（2）根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可的
一元二次方程，根据判别式，可得答案；（3）①根据函数与自变量的关系，可得A、 B 点坐标，根据两点间距离公式，可得答案；②根据函数与自变量的关系，可得A、 B 点坐标，根据联立函数解析式，可得方程组，根据代入消元法，可得方程组的解，可得交点的
坐标，根据两点间距离公式，可得答案．
10．已知函数
（1）判断该函数的图象与轴的交点个数．
（2）若，求出函数值在时的取值范围．
（3）若方程在内有且只有一个解，直接写出的范围．【答案】（ 1）解：△，当时，图象与轴只有一个交点，当时，图象与轴有两个交点
（2）解：时，，
当时，函数有最小值，
当时，，
故：
（3）解：若方程
即为和函数函数，与故在时，
在内有且只有一个解，
只有一个交点，
轴的交点为：，函数的顶点坐标为：，
和函数【解析】【分析】（ 1 ）△求解；（ 2）时，值，当时，
内有且只有一个解，即为只有一个交点时，或
，即可
，当时，函数有最小，即可求解；（ 3 ）若方程在
和函数只有一个交点，即可求解
11．如图，二次函数
与 x 轴分别交于点A， B（点 A 位于点函数的图象上，CD∥ AB，连接AD.过点
（其中a， m 是常数，且a>0， m>0）的图象B 的左侧），与y 轴交于点C(0，－ 3)，点 D 在二次A 作射线AE 交二次函数的图象于点E， AB 平分
∠DAE.
（1）用含 m 的代数式表示 a；
（2）求证：为定值；
（3）设该二次函数图象的顶点为 F.探索：在 x 轴的负半轴上是否存在点 G，连接 CF，以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要
求的点 G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（ 1）解：将C（ 0， -3）代入函数表达式得，，∴
（2）证明：如答图1，过点 D、E 分别作 x 轴的垂线，垂足为M 、N.
由解得 x1=－m， x2 =3m.∴ A(－ m， 0)，B(3m， 0).
∵CD∥AB，∴点 D 的坐标为（ 2m，－ 3）.
∵AB 平分∠DAE.∴∠ DAM=∠ EAN.
∵∠ DMA=∠ ENA=900，∴ △ ADM∽ △ AEN, ∴.
设点 E 的坐标为（ x,）,
∴,∴x=4m.
∴为定值 .
（3）解：存在，
如答图 2，连接 FC 并延长，与x 轴负半轴的交点即为所求点G.
由题意得：二次函数图像顶点 F 的坐标为（ m， -4），
过点 F 作 FH⊥ x 轴于点 H，
在Rt△ CGO和 Rt△ FGH中 ,
∵tan ∠ CGO＝, tan∠ FGH＝, ∴=.∴ OG="3m,"
由勾股定理得，GF=，AD= ∴.
由（ 2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶ 5.
∴以线段 GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G 的横坐标为－ 3m. 【解析】【分析】 1）将 C 点代入函数解析式即可求得.（ 2）令 y=0 求 A、 B 的坐标，再根
据， CD∥ AB，求点D 的坐标，由△ ADM∽ △AEN,对应边成比例，将求的比转化成求
比，结果不含m 即为定值 .（3）连接FC 并延长，与x 轴负半轴的交点即为所求点G..过点F 作 FH⊥ x 轴于点 H，在 Rt△CGO和 Rt△ FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG
（用 m 表示），然后利用勾股定理求GF 和 AD（用 m 表示），并求其比值，由（2）
是定值，所以可得AD∶ GF∶ AE=3∶4∶ 5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、 AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G 的横坐标 .
12．综合与探究
如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为(，0).
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线与抛物线相交于点 A 和点 B(点 A 在第二象限 )，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，连接A′B，试判断AA′B的形状，并说明理由；
（3）在问题 (2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A， B， A′，P 为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（ 1）解：∵抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0 ）和 ( ， 0)，
∴，
解得：；
∴.
（2）解：AA′B是等边三角形；
∵，
解得：，
∴A()， B()，
过点 A 分别作 AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C， D，
∴A C= ，OC= ，在 Rt
AOC中
OA=，
∵点 A′与点 A 关于原点对称，
∴A′ ()， AA′ =，
∵B()，
∴A′ B=2-(- )=，
又∵ A()， B()，
∴A D= ，BD= ，在 Rt
ABD中
AB=，
∴AA′ =A ′，B=AB
∴Δ AA′B是等边三角形
（3）解：存在正确的点 P，且以点 A、 B、 A′、 P 为顶点的菱形分三种情况；设点 P 的坐标为：（ x，y）．
①当 A′B为对角线时，有，
解得：，
∴点 P 为：；
②当 AB 为对角线时，有，
解得：，
∴点 P 为：；
③当 AA′为对角线时，有，
解得：，
∴点 P 为：；
综合上述，,,
【解析】【分析】（ 1 ）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线 F 的解析式；（2）先求出点A、 B 的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股
定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据
P，设点P 的坐标为（x， y），等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点
分三种情况考虑：① 当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P
的坐标；②当AB 为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；
③ 当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标．综上即可
得出结论．。