高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》难题汇编附解析

数学《不等式》高考复习知识点
一、选择题
1．已知函数24,
0()(2)1,0
x x f x x
x x ⎧+>⎪
=⎨⎪+-≤⎩，若方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(4,)+∞
C ．(2,4)
D ．(3,4)
【答案】A 【解析】 【分析】
画出函数()f x 的图象,再根据基本不等式求解4
y x x
=+的最小值,数形结合求解即可. 【详解】
画出函数()f x 的图象,如图所示.当0x >时,4()4f x x x
=+
….设()2g x m =,则方程()20f x m -=恰有三个不同的实数根,即()f x 和()2g x m =的图象有三个交点.由图象可
知,24m >,即2m >,故实数m 的取值范围是(2,)+∞.
故选：A 【点睛】
本题考查分段函数的性质和图象以及函数的零点,考查数形结合以及化归转化思想.
2．若直线过点
，则
的最小值等于（ ）
A ．5
B ．
C ．6
D ．
【答案】C 【解析】∵直线过点
，∴
，∴
，
∵
，∴
，
，
，
当且仅当
时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1f x x x
=+ B ．1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+
<< ⎪⎝⎭
C ．()223
f x x =+D ．()4
2x
x
f x e e =+
- 【答案】D 【解析】 【分析】
根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1
f x x x
=+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭
，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ()222233
3
f x x x x =
=+++233x +，故()43
f x ≥
，C 错误； D. ()422422x
x f x e e =+-≥=，当4x
x e e
=，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】
本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
4．已知,x y 满足约束条件230
23400x y x y y -+≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≥⎩
，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1
（其中0,0m n >>），则11
2m n
+的最小值为（ ） A ．3 B ．1
C ．2
D ．
32
【答案】D 【解析】
画出可行域，根据目标函数z 的最大值求得,m n 的关系式23m n +=，再利用基本不等式
求得
11
2m n +的最小值. 【详解】
画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=.
()111111515193222323232322
n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=⨯++≥⨯+⋅=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以
112m n +的最小值为3
2
. 故选：D
【点睛】
本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
5．给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）
①命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++<”；
②若正整数m 和n 满足m n ≤()2
n m n m -； ③在ABC ∆中 ，A B >是sin sin A B >的充要条件；
④一条光线经过点()1,3P ，射在直线:10l x y ++=上，反射后穿过点()1,1Q ，则入射光线所在直线的方程为5340x y -+=；
⑤已知32()f x x mx nx k =+++的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则m n k ++为定值. A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【分析】
①根据特称命题的否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断. 【详解】
①，命题“0x R ∃∈，使得2
0010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”，故①
错误.
②，由于正整数m 和n 满足m n ≤，0n m -≥，由基本不等式得
()22
m n m n
m n m +--≤
=，当m n m =-即2n m =时等号成立，故②正确. ③，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即
sin sin A B A B >⇔>，所以A B >是sin sin A B >的充要条件，故③正确.
④，设()1,1Q 关于直线10x y ++=的对称点为(),A a b ，则线段AQ 中点为
11,22a b ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，则11
10221121
112AQ a b b k a ++⎧++=⎪⎪⎪+⎨
-⎪==+⎪
-⎪⎩，解得2a b ==-，所以()2,2A --.所以入射光线为直线AP ，即312321
y x --=----，化简得5340x y -+=.故④正确. ⑤，由于抛物线的离心率是1，所以(1)0f =，即10m n k +++=，所以1
m n k ++=-为定值，所以⑤正确. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.
6．设实数满足条件
则
的最大值为（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，
有最大值为.
故选：.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
7．已知0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A ．ln ln a b b a ->- B ．|||a b b a < C ．ln ln a b b a -<- D ．|||a b b a ->
【答案】C 【解析】 【分析】
利用特殊值代入法，作差比较法，排除不符合条件的选项，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，因为0a b >>，取,1a e b ==，则ln 0,ln a b b a e -=-=，
1a b e b a e ==-，可排除A 、D 项；
取11,49a b ==71
1812
a b b a ==，可排除B 项； 因为满足0a b >>条件的排除法，可得A 、B 、D 是错误的.
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了不等式与不等关系，以及不等式的的基本性质，其中解答中合理赋值，代入排除是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
8．若,x y满足
4,
20,
24,
x y
x y
x y
+≤
⎧
⎪
-≥
⎨
⎪+≥
⎩
则
4
y
x
-
的最大值为（）
A．
7
2
-B．
5
2
-C．
3
2
-D．1-
【答案】D
【解析】
【分析】
画出平面区域，结合目标函数的几何意义，求解即可.
【详解】
该不等式组表示的平面区域，如下图所示
4
y
x
-
表示该平面区域中的点()
,x y与(0,4)
A确定直线的斜率
由斜率的性质得出，当区域内的点为线段AB上任意一点时，取得最大值.
不妨取
84
(,)
33
B时，
4
y
x
-
取最大值
4
4
31
8
3
-
=-
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求分式型目标函数的最值，属于中档题.
9．设a b c
，，为非零实数，且a c b c
>>
，，则（）
A．a b c
+>B．2
ab c
>C．
a b
2
c
+
>D．
112
a b c
+>【答案】C
【解析】
【分析】
取1,1,2
a b c
=-=-=-，计算知ABD错误，根据不等式性质知C正确，得到答案.
【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
10．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】C 【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4
[4,5]x x
+
∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
11．在三角形ABC 中，给出命题:p “2ab c >”，命题:q “3
C π
<”，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
由余弦定理将2c 化为222cos a b ab C +-，整理后利用基本不等式求得12cos 2C +>，求出C 范围，即可判断充分性，取4a =，7b =，6c =，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】
充分性：由余弦定理，2222cos c a b ab C =+-， 所以2ab c >，即222cos ab a b ab C >+-，
整理得，22
12cos a b C ab
++>，
由基本不等式，222a b ab ab
+≥=，
当且仅当a b =时等号成立， 此时，12cos 2C +>，即1
cos 2C >，解得3
C π<， 充分性得证；
必要性：取4a =，7b =，6c =，则164936291
cos 247562
C +-==>⨯⨯，
故3
C π
<
，但228ab c =<，故3
C π
<
推不出2ab c >.
故必要性不成立； 故p 是q 的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】
本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.
12．已知函数()2222,2
{
log ,2
x x x f x x x -+≤=> ，若0R x ∃∈，使得()2
054f x m m ≤- 成立，
则实数m 的取值范围为 （ ）
A ．11,4⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．1,13⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【答案】B 【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：()11f =,则要考查的不等式转化为：
2
154m m ≤-，解得：
114m ≤≤，即实数m 的取值范围为 1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 本题选择B 选项.
点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
14．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则
11
p q
+的最小值为（ ） A ．2 B ．
52
C ．
94
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到11
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，， 所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q
p +=，（0p >，0q >） 所以
11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559
214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4
23
q p ==时取得等号．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
15．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y
x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．(1,2)- B ．(,2)(1,)-∞-+∞U C ．()
2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U
【答案】D 【解析】 【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围. 【详解】 若不等式24y x m m +
<-有解，即2()4
min y
m m x ->+即可， 142x y +=Q
，12
12x y
∴+=， 则
121221112121124422482
y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当28x y y x
=，即22
16y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y
x +
=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->， 得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞， 故选D ． 【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
16．已知M、N是不等式组
1,
1,
10,
6
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
-+≥
⎪
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||
MN的最大值是（）
A．17B
．
34
C．32D．
17
2
【答案】A
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=2
1417
+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
17．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A．16
9
π
B．
8
9
π
C．
16
27
π
D．
8
27
π
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ， 则由题意可得323r x -=， 332x r ∴
=-， ∴圆柱的体积为23()(3)(02)2
V r r r r π=-<<，
则33333163331616442()(3)()9442939r r r V r r r r πππ++-=-=g g g g …．
当且仅当33342r r =-，即43
r =时等号成立． ∴圆柱的最大体积为
169
π， 故选：A ．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
18．已知正数x ，y 满足
144x y +=，则x y +的最小值是（ ） A ．9
B ．6
C ．94
D ．52 【答案】C
【解析】
【分析】
先把x y +转化成114()4x y x y ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭
，展开后利用均值不等式即可求解.
Q 正数x ，y 满足144x y
+=，
1141419()1454444y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=+⋅+=++++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝…， 当且仅当4144y x x y x y
⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即34x =，32y =时，取等号. 故选：C
【点睛】
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则，属于基础题.
19．实数,x y 满足020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩
，则2x y -的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数， 2z x y =-，则2y x z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移知：当3,3x y ==时，2z x y =-有最大值为3.
故选：C .
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
20．以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直，且该三棱锥外接球的表面积为8π，则以A 为顶点，以面BCD 为下底面的三棱锥的侧面积之和的最大值为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意补全几何图形为长方体，设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，即可由外接球的表面积求得对角线长，结合侧面积公式即可由不等式求得面积的最大值.
【详解】
将以A 为顶点的三棱锥A BCD -，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，如下图所示：
长方体的体对角线即为三棱锥A BCD -外接球的直径，
设AB x =，AC y =，AD z =，球半径为R ，
因为三棱锥外接球的表面积为8π，
则284R π=π，
解得R =，所以体对角线为， 所以2228x y z ++=，
111222
S yz xy xz =++侧面积 由于()()()()222222240x y z S x y y x x z ++-=-+-+-≥，
所以416S ≤，故4S ≤，
即三棱锥的侧面积之和的最大值为4，
故选：B.
【点睛】
本题考查了空间几何体的综合应用，三棱锥的外接球性质及应用，属于中档题.。