2023-2024学年河南省南阳市高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）
A．∅B．A C．B D．A∪B
2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）
A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数
B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数
C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数
D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数
3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A．f(x)=1
e x+e−x B．f(x)=1
e x−e−x
C．f(x)=e x−e−x
e x+e−x D．f(x)=e
x+e−x
e x−e−x
4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈
0.693，ln5
4
≈0.223，由此可知ln5的近似值为（）
A．1.519B．1.726C．1.609D．1.316
5．已知a=24
3，b=4
2
5，c=20
1
3，则（）
A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y＝[x]称为取整函数．那么“[x]＝[y]”是“|x﹣y|＜1”的（）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
7．若关于x的不等式1
x−a ＞
1
x−b
的解集是{x|1＜x＜3}，则下列式子中错误的是（）
A．a﹣b＜0B．a+b＝4C．a＝1，b＝3D．a＝3，b＝1
8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，
x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），
则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(2
5
，1)
B ．(2
5
，+∞)
C ．(2
5
，2)
D ．（2，+∞）
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2
B ．f(x)=1+
22x
−1
C ．f(x)={−x ，x ＜−1
1，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.
D ．f(x)=
√4−x 2
2−|x−2|
11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，则下列结论正确的有（ ）
A ．f （1.2）＞f （1.5）
B ．2a +b ＝0
C ．f(−√2)＜f(√3)
D ．abc ＜0
12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ） A ．1a +1
b
的最小值为4
B ．1a +a
b 的最小值为3
C ．
11−a
+
12−b
的最小值为2
D ．a +1
b
的最小值为1
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ ． 14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =
f(2x−3)
√x 2−2x−3
的定义域是 ．
15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 ．
16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为 ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 1
2+x−
1
2值；
（2）计算：2−1
2+
2
+(1−√2)−1−8
2
3+2lg5lg20+(lg2)2．
18．（12分）已知函数f(x)=x+1
x
．
（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）求函数g(x)=√x2+4
x2+5
的值域．
19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．
（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x的函数关系；
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
21．（12分）已知log a b+log b a=5
2
，a b＝b a，其中a＞b＞1．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）＝m•a x+b x+1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）的定义域为R．当x＞0时，f（x）＝2x+a，a∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）是奇函数且在R上单调，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若关于x的方程（（f（x）+2+a）（f（x）﹣a）＝0有三个不等的实数根，求实数a的取值范围．
2023-2024学年河南省南阳市高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}，则A∩B＝（）
A．∅B．A C．B D．A∪B
解：集合A＝{x|1＜x＜3}，则B＝{y|y＝2x﹣1，x∈A}＝{y|1＜y＜5}，故A∩B＝A．
故选：B．
2．命题“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是（）
A．方程x2﹣8x+15＝0有一个根不是偶数
B．方程x2﹣8x+15＝0至少有一个根不是偶数
C．方程x2﹣8x+15＝0至多有一个根不是偶数
D．方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数
解：“方程x2﹣8x+15＝0有一个根是偶数”的否定是：方程x2﹣8x+15＝0的每一个根都不是偶数．故选：D．
3．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A．f(x)=1
e x+e−x B．f(x)=1
e x−e−x
C．f(x)=e x−e−x
e x+e−x D．f(x)=e
x+e−x
e x−e−x
解：对于A，f(0)=1
2
，与图象不相符，故A错误；
对于B，f（0）无意义，与图象不相符，故B错误；
对于C，函数定义域为R，f（0）＝0，f(−x)=e−x−e x
e−x+e x
=−f(x)，函数为奇函数，符合图象，故C正
确；
对于D，f（0）无意义，与图象不相符，故D错误．
故选：C．
4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表，他通过“对数积”求得ln2≈
0.693，ln 5
4
≈0.223，由此可知ln 5的近似值为（ ）
A ．1.519
B ．1.726
C ．1.609
D ．1.316
解：因为ln 2≈0.693，ln 5
4
≈0.223=ln 5﹣2ln 2＝ln 5﹣1.386，由此可知ln 5≈1.609．
故选：C ． 5．已知a =
24
3，b
=
425，c
=201
3，则（ ）
A ．b ＜a ＜c
B ．b ＜c ＜a
C ．c ＜b ＜a
D ．a ＜c ＜b
解：∵a =
243=√163
，b =
425
=√165
，c =
2013
=√203
，
y =x 1
3=√x 3
是R 上的增函数，20＞16，
∴√203
＞√163
，即c ＞a ．再根据√163
＞√165
，可得a ＞b ． 综上可得，c ＞a ＞b ． 故选：A ．
6．通过北师大版必修一教材57页的详细介绍，我们把y ＝[x ]称为取整函数．那么“[x ]＝[y ]”是“|x ﹣y |＜1”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要
D ．既不充分也不必要
解：若[x ]＝[y ]，设[x ]＝[y ]＝m ，则x ＝m +a （0≤a ＜1），y ＝m +b （0≤b ＜1）， ∴x ﹣y ＝a ﹣b ∈（﹣1，1），∴|x ﹣y |＜1，
反之，令x ＝1.1，y ＝0.9，则满足|x ﹣y |＝0.2＜1，但[x ]＝1，[y ]＝0，[x ]≠[y ]， ∴[x ]＝[y ]是|x ﹣y |＜1的充分不必要条件． 故选：A ． 7．若关于x 的不等式1x−a
＞
1x−b
的解集是{x |1＜x ＜3}，则下列式子中错误的是（ ）
A ．a ﹣b ＜0
B ．a +b ＝4
C ．a ＝1，b ＝3
D ．a ＝3，b ＝1
解：由
1x−a
＞1x−b
，得1x−a
−
1x−b
＞0，化简得，
a−b
(x−a)(x−b)
＞0，即（a ﹣b ）（x ﹣a ）（x ﹣b ）＞0，
∵不等式
1x ＞a
＞
1
x−b
的解集是{x |1＜x ＜3}，
∴a ﹣b ＜0，且1和3是方程（x ﹣a ）（x ﹣b ）＝0的两个根， ∴a ＝1，b ＝3，∴a +b ＝4，故A 正确，B 正确，C 正确，D 错误． 故选：D ．
8．已知函数f(x)={−2x 2+4x ，x ≤2，
x−2x+1，x ＞2，若存在三个不相等的实数x 1，x 2，x 3使得f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），
则f （x 1+x 2+x 3）的取值范围是（ ） A ．(2
5
，1)
B ．(2
5
，+∞)
C ．(2
5
，2)
D ．（2，+∞）
解：函数f （x ）={−2x 2+4x ，x ≤2
x−2x+1
，x ＞2的图象如图所示：
由f （x ）在（﹣∞，2]上关于x ＝1对称，且f max （x ）＝2， 当x ∈（2，+∞）时，f （x ）=x−2x+1=1−3
x+1
是增函数， 且f （x ）=
x−2x+1=1−3
x+1
∈（0，1）， 所以x 1+x 2＝2，x 3∈（2，+∞）， 所以x 1+x 2+x 3∈（4，+∞），又f （4）=4−24+1=2
5
， 故f （x 1+x 2+x 3）∈（2
5
，1）．
故选：A ．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．满足函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调的实数a 的值可能是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解：因为函数f （x ）＝x 2﹣ax +1在区间[1，3]上不单调，所以1＜1
2
a ＜3，即2＜a ＜6．
故选：ABC ．
10．下列函数中，具备奇偶性的函数是（ ） A ．f(x)=(√x)2
B ．f(x)=1+
22x
−1
C ．f(x)={−x ，x ＜−1
1，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.
D ．f(x)=
√4−x 2
2−|x−2|
解：根据题意，依次分析选项：
对于A ，f （x ）＝（√x ）2，其定义域为[0，+∞），不关于原点对称， 则该函数为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B ，f （x ）＝1+
2
2x
−1
，其定义域为R ， 有f （﹣x ）+f （x ）＝1+22−x −1+1+22x −1=2+2⋅2x
1−2x +2
2x
−1
=0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 则该函数为奇函数，符合题意；
对于C ，f(x)={−x ，x ＜−1
1，−1＜x ＜1，x ，x ＞1.
其定义域为{x |x ≠±1}，
当x ＜﹣1时，﹣x ＞1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝﹣x ， 当﹣1＜x ＜1时，﹣1＜﹣x ＜1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝1， 当x ＞1时，﹣x ＜﹣1，有f （﹣x ）＝f （x ）＝x ，
综合可得：∀x ∈{x |x ≠±1}，都有f （x ）＝f （﹣x ），则f （x ）为偶函数，符合题意；
对于D ，f （x ）=
√4−x 2
2−|x−2|，则有{4−x 2≥02−|x −2|≠0
，解可得﹣2≤x ≤2且x ≠0，
即函数的定义域为{x |﹣2≤x ≤2且x ≠0}， 则f （x ）=
√4−x 2
x
，则有f （﹣x ）=−
√4−x 2
x
=−f （x ），则f （x ）为奇函数．
故选：BCD ．
11．已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ），且对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，则下列结论正确的有（ ）
A ．f （1.2）＞f （1.5）
B ．2a +b ＝0
C ．f(−√2)＜f(√3)
D ．abc ＜0
解：因为二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c 满足f （1+x ）＝f （1﹣x ）， 即函数的图象关于x ＝1对称，故−b
2a
=1，所以b +2a ＝0，B 正确； 对∀x 1，x 2∈（﹣∞，1），都有
f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
＞0，所以f （x ）在（﹣∞，1）上单调递增，
所以a ＜0，b ＝﹣2a ＞0，但c 的正负无法确定，D 错误；
根据函数的对称性可知，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，则f （1.2）＞f （1.5），A 正确， 又f （−√2）＝f （2+√2）＜f （√3），C 正确． 故选：ABC ．
12．已知a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则下列结论成立的是（ ）
A ．1a +1
b
的最小值为4
B ．1a +a
b 的最小值为3
C ．
11−a
+
12−b
的最小值为2
D ．a +1
b
的最小值为1
解：对于A ，1a +1b =(a +b)(1a +1b )=2+b a +a b ≥2+2√b a ⋅a b
=4，当且仅当a ＝b =1
2时，取等
号，故A 正确；
对于B ，1a =a+b a =1+b a ，故1a +a b =1+b a +a b ≥1+2√b a ⋅a b
=3，当且仅当a ＝b =1
2时，取等
号，故B 正确；
对于C ，由a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，可知（1﹣a ）+（2﹣b ）＝3﹣（a +b ）＝2，且1﹣a ＞0，2﹣b ＞0， 11−a
+12−b
=12
[(1−a)+(2−b)](11−a
+12−b
)=12
(2+2−b 1−a
+1−a 2−b
)≥
12
(2+√
2−b 1−a ⋅1−a 2−b
)=2， 不等式取等号的条件是1﹣a ＝2﹣b ＝1，即a ＝0，b ＝1，与题设a +b ＝1矛盾，故1
1−a
+
12−b
的最小值
大于2，C 不正确；
对于D ，a +1b −1=1b −b =1−b 2
b =(1+b)(1−b)b ＞0，故a +1
b
＞1，最小值大于1，故D 不正确．
故选：AB ．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4），则a +b ＝ 3 ． 解：幂函数f （x ）＝（a 2﹣2a +2）x b （a ＞0）的图像经过点（2，4）， ∴{a 2−2a +2=1
f(2)=2b =4，解得a ＝1，b ＝2，则a +b ＝1+2＝3． 故答案为：3．
14．若函数f （x ）的定义域是[2，5]，则函数y =f(2x−3)
√x 2−2x−3
的定义域是 （3，4] ．
解：由题意得，{
2≤2x −3≤5
x 2−2x −3＞0
，解得3＜x ≤4．
故答案为：（3，4]．
15．已知f （x ）＝x 2+|x |+2；则不等式f （x +1）＜8的解集是 （﹣3，1） ．
解：对于f （x ）＝x 2+|x |+2，当x ≥0时，f （x ）＝x 2+x +2，当x ＜0时，f （x ）＝x 2﹣x +2， 所以f(x)={x 2+x +2，x ≥0x 2−x +2，x ＜0
，
当x +1≥0时，即x ≥﹣1时，不等式f （x +1）＜8可化为（x +1）2+（x +1）+2＜8，
即x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，所以﹣1≤x＜1；
当x+1＜0时，即x＜﹣1时，不等式f（x+1）＜8可化为（x+1）2﹣（x+1）+2＜8，
即x2+x﹣6＜0，解得﹣3＜x＜2，所以﹣3＜x＜﹣1；
综上，不等式f（x+1）＜8的解集为（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
16．如图，已知等腰三角形中一腰上的中线长为√6，则该等腰三角形的面积最大值为4．
解：如图所示：作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则AE＝EB，EF＝FB，设DF＝h，FB＝b，故AF＝3b，
在△ADF中：6＝9b2+h2≥2√9b2×ℎ2=6bh，即bh≤1，
当且仅当9b2＝h2，即h=√3，b=√3
3
时等号成立，
S△ABC＝2S△ABD＝4bh≤4．
故答案为：4．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）（1）已知x+x﹣1＝3，求是x 1
2+x−
1
2值；
（2）计算：2−1
2+
40
√2
+(1−√2)−1−8
2
3+2lg5lg20+(lg2)2．
解：（1）由于(x 1
2+x
1
2)2=x+x−1+2=5，
又x 1
2+x−
1
2＞0，故x
1
2+x
1
2=√5；
（2）原式=√2
22
−（√2+1）﹣4+2＝﹣3．
18．（12分）已知函数f(x)=x+1
x
．
（1）判断函数f（x）在[1+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）求函数g(x)=√x2+4
x2+5
的值域．
解：（1）函数f（x）在[1+∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，x2x1＞1，
则f(x2)−f(x1)=(x2+1
x2
)−(x1+
1
x1
)=x2−x1+
1
x1
=(x2−x1)
(x2x1−1)
x2x1
＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）是[1，+∞）上的增函数．（2）令t=√x2+4(t≥2)，则t2﹣4＝x2，
于是g（x）的值域即为求ℎ(t)=
t
t2+1
=
1
t+1
t
的值域，
由（1）知函数y=t+1
t
(t≥2)在[2，+∞）是单调递增的，
所以当t＝2时，即√x2+4=2，即x＝0处y取最小值y min=2+1
2
=
5
2
，
所以0＜
1
t+1
t
≤
2
5
，
所以函数g(x)=√x2+4
x2+5
的值域为(0，
2
5
]．
19．（12分）已知集合A＝{x|x2+ax﹣a﹣1＜0，a∈R}，B＝{x|2＜x＜3}．
（1）若0∈A且2∉A，求实数a的取值范围；
（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：（1）由0∈A且2∉A，得{−a−1＜0
a+3≥0
，∴a＞﹣1，
∴a的取值范围为（﹣1，+∞）；
（2）由p是q的必要不充分条件，∴B⫋A，
∵x2+ax﹣a﹣1＝（x﹣1）（x+a+1）＜0，且B＝{x|2＜x＜3}，
故A＝{x|1＜x＜﹣a﹣1}，∴{1＜−a−1
−a−1≥3
，∴a≤﹣4，
∴a的取值范围为（﹣∞，﹣4]．
20．（12分）为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件20元，出厂价为每件24元，每月的销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间的关系近似满足一次函数：y＝﹣10x+600．
（1）设袁阳每月获得的利润为ω（单位：元），写出每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系；
（2）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于40元．如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少元？
解：（1）依题意可知每件的销售利润为（x ﹣20）元，每月的销售量为（﹣10x +600）件，
所以每月获得的利润ω与销售单价x 的函数关系为ω＝（x ﹣20）（﹣10x +600）（20≤x ≤60）；
（2）由每月获得的利润不小于3000元，
即（x ﹣20）（﹣10x +600）≥3000，
即x 2﹣80x +1500≤0，
即（x ﹣30）（x ﹣50）≤0，解得30≤x ≤50，
又因为这种节能灯的销售单价不得高于40元，
所以30≤x ≤40，
设政府每个月为他承担的总差价为p 元，
则p ＝（24﹣20）（﹣10x +600）＝﹣40x +2400，
由30≤x ≤40，得800≤p ≤1200，
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[800，1200]元．
21．（12分）已知log a b +log b a =52
，a b ＝b a ，其中a ＞b ＞1． （1）求实数a ，b 的值；
（2）若函数f （x ）＝m •a x +b x +1在定义域[1，2]上为增函数，求实数m 的取值范围．
解：（1）设log b a ＝k ，则k ＞1，因为log a b +log b a =52
， 可得k +1k =52
，所以k ＝2，则a ＝b 2． 又a b ＝b a ，所以b 2b =b b 2，即2b ＝b 2，
又a ＞b ＞1，解得b ＝2，a ＝4．
（2）由（1）以及函数f （x ）＝m •a x +b x +1，得f （x ）＝m •4x +2x +1，令t ＝2x ，x ∈[1，2]，
则y ＝mt 2+t +1，t ∈[2，4]．
为使f （x ）在[1，2]上为增函数，
则m ＝0或{m ＞0−12m ＜2或{m ＜0−12m
≥4，解得m ＝0或m ＞0或−18≤m ＜0． 综上，m 的取值范围为[−18
，+∞)． 22．（12分）已知函数f （x ）的定义域为R ．当x ＞0时，f （x ）＝2x +a ，a ∈R ．
（1）若函数f （x ）为奇函数，求函数f （x ）的表达式；
（2）若函数f （x ）是奇函数且在R 上单调，求实数a 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若关于x 的方程（（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0有三个不等的实数根，求实数a 的取值范围．
解：（1）当x ＝0时，f （0）＝0；
当x ＜0时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（2﹣x +a ）＝﹣2﹣x ﹣a ；
故f(x)={2x +a ，x ＞0
0，x =0
−2−x −a ，x ＜0
．
（2）因为当x ＞0时，f （x ）＝2x +a 是单调增函数，
所以若f （x ）在R 上单调，则f （x ）必为R 上的单调增函数，
只须满足﹣20﹣a ≤0≤20+a ，得a ≥﹣1，实数a 的取值范围是[﹣1，+∞）；
（3）由方程（f （x ）+2+a ）（f （x ）﹣a ）＝0⋯（*），可得f （x ）＝﹣2﹣a 或f （x ）＝a ，
由题意可知，f （x ）不可能是单调函数，故a ＜﹣1，
又因为方程（*）有三个不等的实数根，且a ＜1+a ，
所以只须1+a ＜﹣2﹣a ＜﹣1﹣a 且﹣2﹣a ≠0，解得a ＜−32
且a ≠﹣2， 综上所述，a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−2，−32)．。