唐山高三上学期期末考试理科数学试卷(带解析)

唐山高三上学期期末考试理科数学试卷（带解析）
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题 1“
”是方程
表示双曲线的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2函数
的定义域为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3.某品牌空调在元旦期间举行促销活动,所示的茎叶图表示某专卖店记录的每天销售量情况(单位:台),则销售量的中位数是( )
A.13
B.14
C.15
D.16 4已知函数
，
，且
在区间
上递减，则
（ ）
A ．3
B ．2
C ．6
D ．5
54名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）
A ．24种
B ．36种
C ．48种
D ．60种
6设变量x 、y 满足，则目标函数的最小值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．22
D ．23 7.已知函数(12)3,? (1)
(){ln ,? (x 1)
a x a x f x x -+<=≥的值域为,R 那么a 的取值范围是( )
A. 11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
B. 11,2⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
C. (],1-∞-
D. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
8.执行如图所示的算法,则输出的结果是( )
A.1
B.4 3
C.5 4
D.2
9如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）
A．B．C．1
D．
10.椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左焦点为F,若F0
y
+=的对称点A
是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( )
A.1 2
B.
C.
D.1
11设函数，若对于任意都有，则实数a的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
12设是等比数列的前n项和，若，则（）
D．1或2
A．2
B．C．
13数列的前n项和为，，若，则
.
14若复数z满足（i为虚数单位），则.
15过点的直线与圆C：相切于点B，则
.
16在三棱锥中，，G为的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为.
三、解答题
17如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，
，.
（1）求证：；
（2）点E在棱PC上，满足，求二面角的余弦值.
18.某城市有东西南北四个进入城区主干道的入口,在早高峰时间段,时常发生交通拥堵现象,交警部门统计9月份30天内的拥堵天数.东西南北四个主干道入口的拥堵天数分别是18天,15天,9天,15天.假设每个入口发生拥堵现象互相独立,视频率为概率.
1.求该城市一天中早高峰时间段恰有三个入口发生拥堵的概率;
2.设ξ为一天中早高峰时间段发生拥堵的主干道入口个数,求ξ的分布数学期望.
19已知函数，，直线与曲线切于点
且与曲线切于点.
（1）求a，b的值和直线的方程；
（2）证明：.
20在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求b；
（2）若的面积为，求c.
21已知抛物线
，过点的直线交抛物线于A ，B 两点，坐标原点
为O ，. （1）求抛物线的方程；
（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线的方程. 22选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABDC 内接于圆，
，过C 点的圆的切线与AB 的延长线交于E 点.
（1）求证：；
（2）若
，
，
，求AB 的长.
23.设函数1
()1()2
f x x x x R =++∈的最小值为a . 1.求a ;
2.已知两个正数,m n 满足22
m n a +=,求
11
m n
+的最小值. 24.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两坐标系的长度单位
相同。

已知曲线C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=+,l 交y 轴于点
()0,1E .
1.求曲线C 的直角坐标方程,直线l 的参数方程;
2.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求EA EB +的值。

参考答案
一、选择题
答案：B
解析：方程表示双曲线.如,方程
表示椭圆;
方程表示双曲线
故选B
答案：B
解析：要使式子有意义，需要保证，∴，∴，故选B. 考点：函数的定义域、不等式组的解法.
3.答案：C
解析：由茎叶图可知这些数分别为:5,8,10,14,16,16,20,23,∴中位数为1416
15
2
+
=,故
选C.
考点:
茎叶图的读法、中位数的计算.
答案：B
解析：∵在上单调递减，且，∴，∵，
∴，∴，∴.
考点：两角和的正弦公式、三角函数的单调性.
答案：D
解析：每家企业至少录用一名大学生的情况有两种：一种是一家企业录用一名，种；一种是其中有一家企业录用两名大学生，种，∴一共有
种，故选D
考点：排列组合问题.
答案：A
解析： 变量x 、y 满足的区域如图所示：
目标函数在点处取得最小值7，故选A. 考点：线性规划、直线的平移. 7.答案：A 解析： 8.答案：A 解析：
输出;故选A. 答案： A
解析： 由三视图知几何体是直三棱柱截去一个三棱锥的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴.
考点：三视图. 10.答案：D
解析：设(),0F c -
0y +=的对称点为(,)A m n ,
则(
1,{0,
22n
m c m c n ⋅=-+-+=
∴,
2
{,
c m n ==,
代入椭圆方程可得
2
2
22
3
441
c
c
a b
+=,化简可得42
840
e e
-+=,
∴1
e.故选D.
答案：C
解析：∵，∴，
当时，，在上单调递减，不符合题意；
当时，，在上单调递减，符合题意；
当时，，∴或，
当时，即，在上单调递增，在上单调
递减，在上单调递增，∴，∴，∴；
当时，即时，在上单调递减，符合题意；综上可得：.
考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.
二、填空题
答案：B
解析：设，，由数列为等比数列，∴为等比数
列，而得到，∴，∴，故选B.
考点：等比数列的性质.
答案：-1
解析：∵①，∴当时，②，
∴①-②得：，∴，
∴数列为等差数列，当时，，∴，
∵，∴. ∴.
考点：等差数列的通项公式、前n项和公式、由求
答案：
解析：∵，∴，∴，
故填.
考点：复数的运算.
答案：5
解析：由已知，可知圆心，，
∴，∴，∴，
∴.
考点：两点间距离公式、圆的标准方程、向量的数量积.
答案：8
解析：过点G作交PA、PC于点E、F，过E、F分别作、
分别交AB、BC于点N、M，连结MN，所以EFMN是平行四边形，∴，即
，，即，所以截面的周长.
考点：线线平行、截面的周长.
三、解答题
答案：（1）证明详见解析；（2）.
解析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角、向量法等基础知识，同时考查分析问题解决问题的能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，利用线面垂直“PA⊥底面ABCD”的性质可得PA⊥CD，而PC⊥CD，则利用线面垂直的判定可得CD⊥平面PAC，所以CD垂直于面PAC内的线；第二问，根据已知条件得到AB、AC、AP两两垂直，建立空间直
角坐标系，写出相应点和相应向量的坐标，利用夹角的余弦公式解出，再求
的值.
试题解析：（Ⅰ）证明：
因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥C D，
因为∠PCD＝90°，所以PC⊥CD，
所以CD⊥平面PAC，
所以CD⊥AC．4分
（Ⅱ）
因为底面ABCD是平行四边形，CD⊥AC，所以AB⊥AC．又PA⊥底面ABCD，所以AB，AC，AP 两两垂直．
如图所示，以点A为原点，以为x轴正方向，以为单位长度，建立空间直角坐标系．
则B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，D(－1，1，0)． 设
，则
，
又∠DAE＝60°，则，
即，解得． 8分
则
，
，
所以.
因为
，所以
．又
，
故二面角B-AE-D 的余弦值为． 12分 考点：线线垂直、线面垂直、二面角、向量法.
18.答案：1.设东西南北四个主干道入口发生拥堵分别为事件,,,A B C D .
则() P A =
=183305,()1 2P B ==1530,() P C ==933010,()12
P D ==1530 设一天恰有三个入口发生拥堵为事件M ,则 M ABCD ABCD ABCD ABCD =+++.
则()11112222P M =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+23335105101111 2222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯==3733459
51051020040
.
2. ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
()0?P ξ===147200100,()1P ξ===5511
20040,
()2?P ξ==77200,()3?P ξ===45920040,()4?P ξ==
9
200
. ξ的分布列为:
()01234?E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯==938019
20020020020020020010
. 解析：
答案：（1）a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1；（2）证明详见解析.
解析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能
力、运算求解能力. 第一问，先求出f¢(x)、g¢(x)，由题意可求出、、
、，所以可得到的切线方程和的切线方程，而这两个切线是同一切线，即可得到a、b的值，即得到切线的方程；第二问，由题意可知只需证明
，且即可，构造函数，
，利用导数判断函数的单调性，求出最值，进行验证即可.
试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝ae x＋2x，g¢(x)＝cos＋b，
f(0)＝a，f¢(0)＝a，g(1)＝1＋b，g¢(1)＝b，
曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，
曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为
y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1．
依题意，有a＝b＝1，直线l方程为y＝x＋1． 4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)＝e x＋x2，g(x)＝sin＋x． 5分
设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝e x＋x2－x－1，则F¢(x)＝e x＋2x－1，
当x∈(－∞，0)时，F¢(x)＜F¢(0)＝0；
当x∈(0，＋∞)时，F¢(x)＞F¢(0)＝0．
F(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增，
故F(x)≥F(0)＝0． 8分
设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin，
则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1（k∈Z）时等号成立． 10分
由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，
因此f(x)＞g(x)． 12分
考点：导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值.
答案：（1）；（2）.
解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力. 第一问，利用正弦定理
将边换成角，消去，解出角C，再利用解出边b的长；第二问，利用三角形面积公式，可直接解出a边的值，再利用余弦定理
解出边c的长.
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得，
又，所以，．
因为，所以．…6分
（Ⅱ）因为，，所以．
据余弦定理可得，所以．…12分
考点：正弦定理、余弦定理、特殊角的三角函数值、三角形面积公式.
答案：（1）y2＝4x；（2），或.
解析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y1＋y2，y1y2，
，代入到中解出P的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出的长，联立解出m的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0．（*）
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则．
因为，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，
得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x．…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y2－4my＋8＝0．
y1＋y2＝4m，y1y2＝8．…6分
设AB的中点为M，则|AB|＝2x m＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①
又，②
由①②得(1＋m2)(16m2－32) ＝(4m2－4)2，
解得m2＝3，．
所以，直线l的方程为，或．…12分
考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题.
答案：（1）证明详见解析；（2）.
解析：本题主要考查圆内接四边形中的边角关系、切割线定理等基础知识，同时考查考生的读图能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，由于CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD，而BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD，从而∠ECD＝∠BCD，所以可得到结论；第二问，因为BD⊥AB，所以A C⊥CD，可得AC＝AB，所以得知AC＝EC，利用切割线定理得EC2＝AE•BE，再转化可解出AB的长.
试题解析：（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．
因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．
所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．
因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD．…5分
（Ⅱ）解：因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．
因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．
由切割线定理得EC2＝AE•BE，即AB2＝AE•( A E－AB)，即
AB2＋2 AB－4＝0，解得．…10分
考点：圆内接四边形中的边角关系、切割线定理
23.答案：1. 31,22
1(){1,202
31,12
x x f x x x x x --<-=-+-≤≤+>. 当(),0x ∈-∞时, ()f x 单调递减;
当[)0,x ∈+∞时, ()f x 单调递增.
所以当0x =时, ()f x 取得最小值1a =.
2.由1知221m n +=,
由222m n mn +≥,得12mn ≤
,
则11m n +≥≥
当且仅当2m n ==时取得等号. 所以11m n
+
的最小值为解析：
24.答案：1.由2(cos sin )ρθθ=+得2
2(cos sin )ρρθρθ=+ 即曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= l
的参数方程为12
{1x t y =
=+
(t 为参数, t R ∈) 2.
将12
{1x t y =
=+
代入22(1)(1)2x y -+-=得210t t --=
解得:
12t t ==
则12EA EB t t +=+=解析：。