八年级数学上册5.6 二元一次方程与一次函数
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例 1：直线 y＝－x＋2 与 y＝ax＋b 交点的横坐标为 3，则关于 x，
x＋y＝2，
y 的二元一次方程组
的解为( B )
－ax＋y＝b
x＝3，
x＝3，
x＝－3，
x＝－1，
A.
B.
C.
D.
y＝1
y＝－1
y＝－1
y＝3
例2：一次函数y＝kx＋b与y＝x＋5的图象相交于点A，其横坐标为
知识点2：一次函数与二元一次方程组之间的关系(难点)
(1)二元一次方程组的解⇔两个一次函数图象的交点坐标．
(2)用图象法解二元一次方程组的步骤：
①将方程组中每个方程分别转化成一次函数；
②在同一坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象；
③根据两个函数图象的交点坐标写出方程组的解.
【题型一】两条直线的交点与二元一次方程组的解
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，
相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次
方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标
②把二元一次方程3x＋2y－3＝0改写成y＝kx＋b的形式为
3 3
y＝－2x＋2
______________________．
③已知方程ax＋b＝0的解为x＝－ ，则一次函数y＝ax＋b的
3
－ ，0
图象与x轴交点的坐标为__________．
2
④已知函数y＝kx＋b的部分x，y的对应值如表所示，则关于x
x＝－1
的方程kx＋b＝3的解为________．
x
y
…
…
－2
5
－1
3
1
－1
…
…
⑤如图，一次函数y1＝k1x＋b与y2＝k2x的图象交于点A，
－1
则关于x的方程k x＋b＝k x的解为x＝________．
1
2
⑥如图，已知直线y＝ax＋b和直线y＝kx交于点P，若二元一
y＝kx，
x＝x0，
的解为
发了学生学习数学的兴趣．
问题导入
1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。
2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次
函数y=5-x的图象上吗？
3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=
5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-
则A(0，4)，B(4，8)．所以两条直线与y轴围成的三角形的面
积S△AOB＝ 1 ×4×4＝8.
2
本节课我们学习了二元一次方程与一次函数，主要知识有
1．二元一次方程与一次函数图象有什么关系？
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的
图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线
2．二元一次方程组与两个一次函数图象的交点有什么关系？
6二元一次方程与一次函数
1. 在经历同一数学问题可用不同的数学方法解决的过程中，
培养学生的创新意识和变式能力．
2．通过学生的思考和操作，提示出方程与函数之间的关系，
引入二元一次方程组的图象解法，同时培养了学生初步
的数形结合的意识和能力．
3．通过学生的自主探索，引出方程和函数之间的对应关系，
加强新旧知识之间的联系，培养了学生的创新意识，激
次方程组
y＝ax＋b
y＝y0，
3
则x0＋y0＝________．
⑦两个一次函数的图象一定有交点吗？为什么？
不一定，因为两个一次函数的图象可
能平行)
如图，已知直线l1：y＝x－4与直线l2：y＝－2x交于点A，且直
线l1分别与x轴，y轴交于点C，点B.
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P在直线l1上，且S△BOP＝2S△POC，求点P的横坐标．
4
8
解：(1)A3，－3，B(0，－4)，C(4，0)．
8
(2)点 P 的横坐标为 8 或3
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：一次函数与二元一次方程之间的关系 (重点)
一次函数与二元一次方程：由于任意一个二元一次方程都可以转
化为y＝kx＋b的形式，因此有：
二元一次方程的解⇔一次函数两个变量的值⇔直线上点的坐标.
的解为
2x－y＝2
y＝2.
【题型三】求直线围成的图形的面积
例5：已知直线y＝x＋4与直线y＝2x，求：
(1)这两条直线的交点坐标；
(2)这两条直线与y轴围成的三角形的面积．
y＝x＋4，
x＝4，
解得
解：(1)联立得 y＝2x，
y＝8，
所以这两条，设两直线交点为B，y＝x＋4与y轴交于点A，
y＝kx
x＋2y＝6，
例 4：用图象法解方程组
2x－y＝2.
解：列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y＝2x－2
…
－4
－2
0
2
4
…
x
…
－2
0
2
4
6
…
y＝－x＋3
…
4
3
2
1
0
…
1
画函数图象如图所示：由函数图象可知，一次函数 y＝2x－2 和 y＝－ x
2
x＋2y＝6，
x＝2，
＋3 的交点坐标为(2，2)，所以方程组
x的图象相同吗？
图片导入
同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？
视频导入
1. 请同学们阅读课本123－124页，并完成123页的做一做．
2．请同学们在完成上面任务后思考以下问题：
无数
①二元一次方程ax＋by＝c(a≠0，b≠0)有________组解，它们
a
c
y＝－bx＋b
坐标
无数
就对应直线_____________上的________个点的________．
x＝－4，
y－x＝5，
－4，则方程组
的解为____________________．
y＝1
y－kx＝b
【题型二】图象法解二元一次方程组
例3：如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，根据图
x＝－2，
y＝ax＋b，
y＝－1
象可得，二元一次方程组
的解是 ________．
x＋y＝2，
y 的二元一次方程组
的解为( B )
－ax＋y＝b
x＝3，
x＝3，
x＝－3，
x＝－1，
A.
B.
C.
D.
y＝1
y＝－1
y＝－1
y＝3
例2：一次函数y＝kx＋b与y＝x＋5的图象相交于点A，其横坐标为
知识点2：一次函数与二元一次方程组之间的关系(难点)
(1)二元一次方程组的解⇔两个一次函数图象的交点坐标．
(2)用图象法解二元一次方程组的步骤：
①将方程组中每个方程分别转化成一次函数；
②在同一坐标系中分别画出转化后的两个一次函数的图象；
③根据两个函数图象的交点坐标写出方程组的解.
【题型一】两条直线的交点与二元一次方程组的解
一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，
相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次
方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标
②把二元一次方程3x＋2y－3＝0改写成y＝kx＋b的形式为
3 3
y＝－2x＋2
______________________．
③已知方程ax＋b＝0的解为x＝－ ，则一次函数y＝ax＋b的
3
－ ，0
图象与x轴交点的坐标为__________．
2
④已知函数y＝kx＋b的部分x，y的对应值如表所示，则关于x
x＝－1
的方程kx＋b＝3的解为________．
x
y
…
…
－2
5
－1
3
1
－1
…
…
⑤如图，一次函数y1＝k1x＋b与y2＝k2x的图象交于点A，
－1
则关于x的方程k x＋b＝k x的解为x＝________．
1
2
⑥如图，已知直线y＝ax＋b和直线y＝kx交于点P，若二元一
y＝kx，
x＝x0，
的解为
发了学生学习数学的兴趣．
问题导入
1．方程x+y=5的解有多少个？写出其中的几个。
2．在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次
函数y=5-x的图象上吗？
3．在一次函数y=5-x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=
5吗？
4．以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-
则A(0，4)，B(4，8)．所以两条直线与y轴围成的三角形的面
积S△AOB＝ 1 ×4×4＝8.
2
本节课我们学习了二元一次方程与一次函数，主要知识有
1．二元一次方程与一次函数图象有什么关系？
一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的
图象与相应的一次函数的图象相同，是一条直线
2．二元一次方程组与两个一次函数图象的交点有什么关系？
6二元一次方程与一次函数
1. 在经历同一数学问题可用不同的数学方法解决的过程中，
培养学生的创新意识和变式能力．
2．通过学生的思考和操作，提示出方程与函数之间的关系，
引入二元一次方程组的图象解法，同时培养了学生初步
的数形结合的意识和能力．
3．通过学生的自主探索，引出方程和函数之间的对应关系，
加强新旧知识之间的联系，培养了学生的创新意识，激
次方程组
y＝ax＋b
y＝y0，
3
则x0＋y0＝________．
⑦两个一次函数的图象一定有交点吗？为什么？
不一定，因为两个一次函数的图象可
能平行)
如图，已知直线l1：y＝x－4与直线l2：y＝－2x交于点A，且直
线l1分别与x轴，y轴交于点C，点B.
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P在直线l1上，且S△BOP＝2S△POC，求点P的横坐标．
4
8
解：(1)A3，－3，B(0，－4)，C(4，0)．
8
(2)点 P 的横坐标为 8 或3
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：一次函数与二元一次方程之间的关系 (重点)
一次函数与二元一次方程：由于任意一个二元一次方程都可以转
化为y＝kx＋b的形式，因此有：
二元一次方程的解⇔一次函数两个变量的值⇔直线上点的坐标.
的解为
2x－y＝2
y＝2.
【题型三】求直线围成的图形的面积
例5：已知直线y＝x＋4与直线y＝2x，求：
(1)这两条直线的交点坐标；
(2)这两条直线与y轴围成的三角形的面积．
y＝x＋4，
x＝4，
解得
解：(1)联立得 y＝2x，
y＝8，
所以这两条，设两直线交点为B，y＝x＋4与y轴交于点A，
y＝kx
x＋2y＝6，
例 4：用图象法解方程组
2x－y＝2.
解：列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y＝2x－2
…
－4
－2
0
2
4
…
x
…
－2
0
2
4
6
…
y＝－x＋3
…
4
3
2
1
0
…
1
画函数图象如图所示：由函数图象可知，一次函数 y＝2x－2 和 y＝－ x
2
x＋2y＝6，
x＝2，
＋3 的交点坐标为(2，2)，所以方程组
x的图象相同吗？
图片导入
同学们，从不同的角度观察下面的图像，你有什么发现？
视频导入
1. 请同学们阅读课本123－124页，并完成123页的做一做．
2．请同学们在完成上面任务后思考以下问题：
无数
①二元一次方程ax＋by＝c(a≠0，b≠0)有________组解，它们
a
c
y＝－bx＋b
坐标
无数
就对应直线_____________上的________个点的________．
x＝－4，
y－x＝5，
－4，则方程组
的解为____________________．
y＝1
y－kx＝b
【题型二】图象法解二元一次方程组
例3：如图，已知函数y＝ax＋b和y＝kx的图象交于点P，根据图
x＝－2，
y＝ax＋b，
y＝－1
象可得，二元一次方程组
的解是 ________．