2024-2025学年吉林省长春市长春实验中学高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年吉林省长春实验中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={y|y =12x 2−52}，B ={x|x 2+5x +6<0}，则A ∩B =( )
A. (−3,−2)
B. [−52,−2)
C. (−3,−52]
D. R
2.函数f(x)=(1−x)⋅|2−x|的单调递增区间为( )
A. (32,2)
B. (1,32)
C. (−∞,32)
D. (32,+∞)3.已知函数f(x)=a x +1(a >0，且a ≠1)，则函数图象过定点( )
A. (1,1)
B. (−1,−1)
C. (−1,1)
D. (1,−1)4.已知a =20.3，b =40.1，c =(13)0.2，则三个数的大小关系是( )
A. a >b >c
B. b >a >c
C. b >c >a
D. c ≥a >b
5.已知a >b >0，p ：x <a +b 2，q ：x < ab ，则p 是q 成立的____条件( )
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 既不充分也不必要
D. 充要6.已知10m =2，10n =3，则10
3m−2n 2=( )A. 49 B. 89 C. 23 D. 2 2
3
7.某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，若当贮水池一边长x 时，最低总造价z 最小，则( )
A. x =40，z =268800
B. x =20，z =297600
C. x =40，z =297600
D. x =20，z =268800
8.已知定义在R 上的奇函数f(x)，其图象关于x =1轴对称，当0≤x ≤1时，f(x)=x 2，则f(73)=( )
A. −259
B. −19
C. 259
D. 1
9二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x(1+x)，则下列命题正确的是( )
A. f(−1)=−2
B. f(−3)=6
C. 方程f(x)=t(t∈R)有1个根
D. 不等式f(x2−1)<f(x+1)的解集是(−1,2)
10.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如[−3.5]=−4，[2.1]=2，则下列命题正确的是( )
A. f(26)=4
B. f(x)+f(x+0.5)=2f(x)
)=0
C. f(0.5x
0.5x+1
D. 若g(x)=x−f(x)，g(2024.5)+g(2025.5)=1
11.已知函数f(x)={−2x+1,x>m
−x2−2x−1,x≤m(m∈R)，则下列命题正确的是( )
A. 当m=0时，函数最大值为1
B. 当m=1时，函数最大值为0
C. 若f(x)存在最大值，则m≥1
2
D. ∀m∈R，f(x)在(−1,+∞)不可能递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=x+3+1
，则f(x)的定义域为______．
x+2
13.已知函数f(x)=4x2−kx−8在[5,20]上具有单调性，则实数k的取值范围为______．
14.已知a>0，b>0，2a+b+ab=16，则a+b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
已知f(x)=2x2+x．
(1)解关于x的不等式f(x)>3；
(2)求f(x)在区间[−1,t)(t>−1)上的值域．
16.(本小题15分)
(a∈R)
对于函数f(x)=a−2
2x+1
(1)探索函数f(x)的单调性；
(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？
17.(本小题15分)
一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比
值越大，采光效果越好．
(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？
(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？
18.(本小题17分)
已知f(x)为幂函数，且f(4)+f(2)=2+2．
(1)直接写出函数的定义域，值域，单调性，奇偶性；
(2)定义：对于函数g(x)，若方程g(x)=x有实根x0，则称其根x0为函数g(x)的不动点.现在g(x)=a[f(x) ]2+bf(x)+2(a,b∈R)．
①当a=−1，b=3，求g(x)的不动点；
②当b=−2时，g(x)有两个不动点，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
定义在R上的函数f(x)满足∀x，y∈R，有f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(x+y)，f(x)>−1恒成立，且当x<0时，f(x)>0，f(1)=−1
．
2
(1)求f(0)；
(2)判断f(x)的奇偶性；并证明；
(3)判断并证明f(x)的单调性，并解f(x)>3．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.C
8.B
9.ACD
10.ACD
11.BC
12.[−3,−2)∪(−2,+∞)
13.{k|k ≤40，或k ≥160}
14.6 2−3
15.解：(1)不等式f(x)>3即为2x 2+x >3，可化为(2x +3)(x−1)>0，解得x <−3
2或x >1，
所以原不等式的解集为{x|x <−32或x >1}；
(2)函数f(x)=2x 2+x 图象的对称轴为x =−14，
当−1<t ≤−14时，f(x)在[−1,t)上单调递减，
则f(t)<f(x)≤f(−1)，f(x)的值域为(2t 2+t,1]；
当−14<t ≤12时，f(x)在[−1,−14]上单调递减，在[−14,t)上单调递增，而f(12)=1，f(x )min =f(−14)=−18，f(x )max =f(−1)=1，f(x)的值域为[−18,1]；当t >12时，f(x)在[−1,−14]上单调递减，在[−14,t)上单调递增，
f(x )min =f(−14)=−18，f(t)>f(12)=1，f(x)的值域为[−18,2t 2+t),所以当−1<t ≤−14时，f(x)的值域为(2t 2+t,1]；
当−14<t ≤12时，f(x)的值域为[−18,1]；
当t >12时，f(x)的值域为[−18,2t 2+t)． 16.解：(1)∵f(x)的定义域为R ，设x 1<x 2，
则f(x1)−f(x2)=a−22x 1+1−a +2
2x 2+1
=2x 1−2x 2(1+2x 1)(1+2x 2)，(3分) ∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0，(1+2x 1)(1+2x 2)>0，(5分)
∴f(x 1)−f(x 2)<0，
即f(x 1)<f(x 2)，所以不论a 为何实数f(x)总为增函数．(6分)
(2)假设存在实数a 使f(x)为奇函数，
∴f(−x)=−f(x)(7分)
即a−22−x +1=−a +2
2x +1，(9分)
解得：a =1，故存在实数a 使f(x)为奇函数． (12分) 17.解：(1)设这所公寓的客户面积为x 平方米，则地板面积为(220−x)平方米，由题意可得：{x <220−x x 220−x
≥10%，解得：2209≤x <110．所以这所公寓的窗户面积至少为2209平方米．
(2)设窗户面积为x 平方米，地板面积为y 平方米，窗户和地板同时增加m 平方米，则x y −x +m y +m =x(y +m)−y(x +m)y(y +m)=(x−y)m y(y +m)，
由题意可知0<x <y ，m >0，
∴(x−y)m y(y +m)<0，即x y <x +m
y +m ．
∴公寓的采光效果变坏了． 18.解：(1)设幂函数f(x)=x α，α为常数，
因为f(4)+f(2)= 2+2，
所以4α+2α= 2+2，
设2α=t >0，则t 2+t = 2+2，
解得t = 2，所以α=12，
所以f(x)=x 12= x ，
所以f(x)的定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞)，
且f(x)在[0,+∞)上单调递增，为非奇非偶函数．
(2)①当a =−1，b =3时，由(1)可知，g(x)=−x +3 x +2，
由g(x)=x ，得−x +3 x +2=x ，
可化为(2 x +1)( x −2)=0，解得x =4，
所以g(x)的不动点为4．
②当b =−2时，g(x)=ax−2 x +2，
令ax−2 x +2=x ，得(a−1)x−2 x +2=0，
因为g(x)有两个不动点，
所以(a−1)x−2 x +2=0有两个不等的非负实数根，
所以{
Δ=4−8(a−1)>02a−1
>0，解得1<a <32，
所以a 的取值范围是(1,32)． 19.解：(1)函数f(x)满足∀x ，y ∈R ，有f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(x +y)，f(1)=−1
2，取x =0，y =1，得f(0)f(1)+f(0)+f(1)=f(1)，则12f(0)=0，所以f(0)=0；
(2)函数f(x)不具奇偶性，证明如下：
取x =1，y =−1，得f(1)f(−1)+f(1)+f(−1)=f(0)，
又因为f(1)=−12，f(0)=0，
则−12f(−1)−12+f(−1)=0，
解得f(−1)=1，因此f(−1)≠f(1)，且f(−1)≠−f(1)，
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)函数f(x)在R 上单调递减，证明如下：
∀x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，x 1−x 2<0，
由当x <0时，f(x)>0，得f(x 1−x 2)>0，
f(x 1)=f[(x 1−x 2)+x 2]=f(x 1−x 2)f(x 2)+f(x 1−x 2)+f(x 2)
=f(x 1−x 2)[f(x 2)+1]+f(x 2)，
所以f(x 1)−f(x 2)=f(x 1−x 2)[f(x 2)+1]，
而∀x ∈R ，恒有f(x)>−1，即f(x)+1>0，
则f(x2)+1>0，f(x1−x2)[f(x2)+1]>0，
因此f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递减；
而f(−2)=f(−1)f(−1)+f(−1)+f(−1)=1×1+1+1=3，不等式f(x)>3⇔f(x)>f(−2)，解得x<−2，
所以不等式f(x)>3的解集为(−∞,−2)．。