指数、对数常见题型

一、指数函数
指数函数的图象和性质
二、对数函数
对数函数的性质：
一、指数函数
1．比较大小
①较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或
中间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论．
练习1：比较下列各组数的大小
（1），
（2）
2、求解有关指数不等式
（1） 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥，
∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数，
∴31x x >-，解得14x >．∴x 的取值围是14
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，
∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成
底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．
(2)已知
（3）解不等式
3．求定义域及值域问题 例3 求函数2
16x y -=
-的定义域和值域．
解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤，
∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-，
∞． 令26x t -=，则1y t
=
-，
又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤．
∴函数的值域是[)01，
． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．
练习1：函数的定义域为 .
练习2 当x
练习3 函数(a>0且a 的定义域和值域都是[0,2],则实数a
的值为
4．最值问题
例4 函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]-，上有最大值14，则a 的值是_______．
分析：令x t a =可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t 的取值围．
解：令x t a =，则0t >，函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-，其对称轴为1t =-．
∴当1a >时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a
≤≤，即1t a a
≤≤．
∴当t a =时，2max (1)214y a =+-=． 解得3a =或5a =-（舍去）；
当01a <<时，∵[]11x ∈-，，
∴1x a a a
≤≤，即1a t a
≤≤，
∴ 1
t a
=时，2
max
11214y a ⎛⎫
=+-= ⎪⎝⎭
，
解得13
a =或15
a =-（舍去），∴a 的值是3或13
．
评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．
练习1：已知-1≤x ≤2,求函数f(x)=3+2·3x+1-9x 的最大值和最小值
练习2: 设 ，求函数 的最大值和最小值
题型五：单调区间问题（主要根据复合函数单调性满足“同增异减”） 例：求函数2
222
++-=x x y 的定义域，值域和单调区间
练习：函数y ＝2
3231+-⎪
⎭
⎫
⎝⎛x x 的单调区间.
二对数函数
1.求定义域{求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零
（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）0x 中x 0≠} 练习1、函数3
)
5lg()(--=
x x x f 的定义域为_____. 练习2、求定义域 （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）
)
9(log 2x y a -=．（4）2
1
)(-=
x x f ；（5） 23)(+=x x f ；（6）x
x x f -+
+=211)(
2.比较大小
练习1. （2010文）设
232555
322555a b c ===（）,（），（）
，则a ，b ，c 的大小关系是（ A ）
A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
练习2、下列大小关系正确的是（ C ）
.A 20.440.43log 0.3<<； .B 20.4
40.4log 0.33<<； .C 20.44log 0.30.43<<； .D 0.42
4log 0.330.4<<
练习3、比较下列各组数中两个值的大小：
（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）6log 7，7log 6； （4）5log 3，6log 3，7log 3．
3、最值问题
练习1、设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之
差为1
2,则a =（ ）
B 2
C 22
D 4
解:设1a >,函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上递增,最大值和最小值 分别为
a
a a a log ,2log ,依题意知
21
2log log 2log =
=-a a a a a ,4=∴a ,故选D.
点评:最值问题是高考考查对函数性质的热点题型,解决的关键是根据对数函数单调性求解.
练习2、 函数x
y a =（0a >且1a ≠）在[1，2]上的最大值与最小值之
差为2a
，则a =
练习3、函数y=2x+a （0a >且1a ≠）在[-1，2]上的最大值与最小值
之差为2a
，则a =
4、单调性 练习1、
()(1)x
f x a =-是R 上的单调减函数，那么a 的取值围
是 .
练习2、已知13
2
log <a
,则a 的取值围是（ ） A ),1()32,0(+∞ B ),32(+∞ C )1,32( D ),3
2
()32,0(+∞
练习3求函数3
()2
x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)
5、定点问题：、
练习1、.已知函数22(0,1)x y a a a +=->≠的图象恒过定点A （其坐标与a 无关），则定点A 的坐标为 ．
练习2、.已知函数log a a^2-1(a>0且a ≠1)的图象恒过定点A （其坐标与
a 无关），则定点A 的坐标为 ．
拓展
1、 在
上是减函数，则a 的取值围是（ ）。

A ．
B ．
C ．
D ．
2、设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f
)(πf ，)3(-f 的大小关系是 （ ）
A .ks5u./ )2()3()(->->f f f π
B .ks5u./ )3()2()(->->f f f π
C .ks5u./ )2()3()(-<-<f f f π
D .ks5u./ )3()2()(-<-<f f f π
3、已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值围是
A ．（13，23）
B ．（∞-，23）
C ．（12，23
） D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞,3
2
4、函数 ,当 时,是增函数,当 时是
减函数,则f(1)=_____________
5、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值围是__ ．
作业
1、比较大小： （1）7
8
23-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 98
32⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2)5log 7 6log 7
2、若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ） A.4
2 B.
2
2
C.41
D.21
3、如果指数函数是R 上的单调减函数，那么a 的取值围
是 .
4、函数)13lg(13)(2++-=
x x
x x f 的定义域是
A.),3
1(+∞- B. )1,3
1(- C. )3
1,31(- D. )3
1,(--∞
5、函数2log 2y x =-______
6、设f (x )＝2
|1|2,||1,
1
, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (2
1)]＝ ________________
7、已知函数3,1,
(),1,x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩
若()2f x =，则x =。