2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式

3.5 两角和与差的正弦、余弦与正切公式
[知识梳理]
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(3)T (α±β)：tan(α±β)＝
tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛
⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝2sin αcos α.
(2)C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝2tan α
1－tan 2α
⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z .
3．公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2
α＝1＋cos2α2，sin 2
α＝1－cos2α2
. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2，
sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
α±π4. (4)a sin α＋b cos α＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)，其中cos φ＝a
a 2＋b
2，sin φ
＝b a 2＋b
2，tan φ＝b
a (a ≠0)．
特别提醒：(1)角：转化三角函数式中往往出现较多的差异角，注意观察角与角之间的和、差、倍、互补、互余等关系，运用角的变换，化多角为单角或减少未知角的数目，连接条件角与待求角，使问题顺利获解．对角变换时：①可以通过诱导公式、两角和与差的三角公式等；②注意倍角的相对性；③注意拆角、拼角技巧，例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β
2＝(α＋
2β)－(α＋β)，α－β＝(α－γ)＋(γ－β)，15°＝45°－30°，π4＋α＝π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α等．
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＝1－1
2sin 22x .
[诊断自测] 1．概念思辨
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( ) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋
β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．教材衍化
(1)(必修A4P 131T 5)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12 答案 D
解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝1
2.故选D.
(2)(必修A4P 146A 组T 3)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫β－π6＝13，则tan(α
＋β)＝________.
答案 1
解析 ∵α＋β＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫β－π6，
∴tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋tan ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫β－π61－tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＝12＋131－16
＝1. 3．小题热身
(1)sin7°＋cos15°sin8°
cos7－sin15°sin8°的值为( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3 C ．2 D.12 答案 B
解析 原式＝sin (15°－8°)＋cos15°sin8°
cos (15°－8°)－sin15°sin8°
＝sin15°cos8°
cos15°cos8°
＝tan15° ＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°
＝1－331＋33
＝3－13＋1＝2－ 3.故选B.
(2)若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5，且α是第二象限角，则
tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α等于( ) A ．7 B ．－7 C.17 D ．－17 答案 C
解析 ∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4
5， ∴cos α＝－4
5.
又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－3
4. ∴tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－34
1＋34
＝17.故选C.
题型1 求值问题 典例 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，若17π12<x <7π4，求sin2x ＋2sin 2
x 1－tan x
的值． 本题采用“函数转化法”．
解 由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π
4<2π.
又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－4
5，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－4
5×22＝－2
10，
从而sin x ＝－72
10，tan x ＝7. 则sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x
＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210·⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋2⎝ ⎛⎭
⎪⎫－72102
1－7
＝－2875.
方法技巧
三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路 1．角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化．
2．名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．
冲关针对训练
(2018·通辽模拟)已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝310
10，则α＋β等于( )
A.3π4
B.π4或3π4
C.π4 D ．2k π＋π
4(k ∈Z )
答案 C
解析 由sin α＝55，cos β＝310
10，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝10
10，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π
4.故选C.
题型2 三角恒等变换的综合应用
角度1 研究三角函数的性质
典例 (2017·临沂一模)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋ 3. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，求
实数m 的取值范围，并计算tan(x 1＋x 2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
解 函数f (x )＝4sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫x －π3cos x ＋3，
化简可得f (x )＝2sin x cos x －23cos 2x ＋ 3
＝sin2x －23⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋12cos2x ＋ 3 ＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π3. (1)函数的最小正周期T ＝2π
2＝π， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2时单调递增，
解得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12(k ∈Z )，
∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .
(2)函数g (x )＝f (x )－m 在⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2上有两个不同的零点x 1，x 2，转化
为函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点．
令u ＝2x －π
3， ∵x ∈⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2，
∴u ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，2π3
可得f (x )＝2sin u 的图象(如图)．由图可知：
m 在[3，2)，函数f (x )与函数y ＝m 有两个交点，其横坐标分别为x 1，x 2.
故得实数m 的取值范围是m ∈[3，2)， 由题意可知x 1，x 2是关于对称轴是对称的： 那么函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的对称轴为x ＝5π12，
∴x 1＋x 2＝5π12×2＝5π
6.
那么tan(x 1＋x 2)＝tan 5π6＝－3
3. 方法技巧
三角函数综合性试题涉及三角函数的性质研究．首先将三角函数化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，在转化过程中需要三角恒等变换．如典例．这是高考的重点题型．
冲关针对训练
(2017·河北区二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若α是第一象限角，且f ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3＝45， 求tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫α－π4的值． 解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π6＋cos x
＝32sin x －1
2cos x ＋cos x ＝32sin x ＋1
2cos x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π
1＝2π. (2)由于f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x ＋π6，
则f ⎝
⎛⎭
⎪⎫α＋π3＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α＋π2＝cos α＝4
5，
由于α是第一象限角，
所以sin α＝3
5， 则tan α＝3
4，
则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－1
7.
角度2 三角恒等变换与向量的综合
典例
(2017·南京三模)已知向量a ＝(2cos α，sin 2
α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，π2，t 为实数． (1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25，0，求t 的值；
(2)若t ＝1，且a ·b ＝1，求tan ⎝
⎛
⎭⎪⎫2α＋π4的值． 本题采用向量法、平方法．
解 (1)向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝
⎛
⎭
⎪⎫0，π2，t 为实
数．
若a －b ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫25，0，则(2cos α－2sin α，sin 2α－t )＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
25，0，
可得cos α－sin α＝1
5，
平方可得sin 2
α＋cos 2
α－2cos αsin α＝1
25，
即为2cos αsin α＝1－125＝24
25(cos α>0，sin α>0)， 由sin 2α＋cos 2α＝1， 解得cos α＋sin α＝
(cos α－sin α)2＋4sin αcos α
＝
125＋4825＝75，
即有sin α＝35，cos α＝45，则t ＝sin 2
α＝925； (2)若t ＝1，且a ·b ＝1，即有4cos αsin α＋sin 2α＝1， 即有4cos αsin α＝1－sin 2α＝cos 2α，
由α为锐角，可得cos α∈(0,1)，即有tan α＝sin αcos α＝14， 则tan2α＝2tan α
1－tan 2α＝1
2
1－
116＝8
15， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan2α＋11－tan2α
＝1＋815
1－815＝23
7. 方法技巧
三角恒等变换与向量的综合问题是高考中经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算进行化简．
冲关针对训练
(2017·南通模拟)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2，1，n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n .
(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝23，求f ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2α＋π3的值．
解 (1)f (x )＝sin x 2＋3cos x
2＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π3，
∴f (x )的最小正周期T ＝2π
12＝4π.
(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝2sin α2＝23，∴sin α2＝13， ∴cos α＝1－2sin 2α2＝79，
∴f ⎝
⎛⎭
⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α＋π2＝2cos α＝14
9.
1．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－7
25 答案 D
解析 解法一：cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝22(cos α＋sin α)＝3
5⇒cos α＋sin α＝
325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－7
25.故选D.
解法二：sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α－1＝1825－1＝－725.故选D.
2．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，
则( )
A ．3α－β＝π
2 B ．3α＋β＝π
2 C ．2α－β＝π
2 D ．2α＋β＝π
2
答案 C
解析 解法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin β
cos β，即sin αcos β
＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－α，所以
sin(α－β)＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π2，β∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π
2，
0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π
2.故选C.
解法二：1＋sin βcos β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin β
2
＋cos β22
cos 2β2－sin 2β2＝sin β2＋cos β2cos β2－sin β2＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋β2＝tan α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4，π2，
∴π4＋β2＝α，即2α－β＝π
2.故选C.
3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φ·cos(x ＋φ)的最大值为________．
答案 1
解析 f (x )＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ－φ) ＝sin x ，
∴f (x )的最大值为1.
4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2
x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．
答案 1
解析 f (x )＝1－cos 2
x ＋3cos x －34＝－⎝
⎛⎭⎪⎫cos x －322
＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，
∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝3
2时，f (x )取得最大值，最大值为1.
[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A
解析 原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝1
2.故选A.
2.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案 C
解析 sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°·sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.故选C.
3．(2017·云南一检)已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝( )
A ．－73 B.73 C.5
7 D ．1 答案 D
解析 由题意知tan α＝2，tan β＝－1
3.
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝2－1
3
1－2×⎝ ⎛⎭⎪
⎫－13＝1. 故选D.
4．cos π9·cos 2π
9·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23π9＝( )
A ．－18
B ．－116 C.116 D.18 答案 A
解析 cos π9·cos 2π
9·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23π9
＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80° ＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°
sin20°
＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－1
4sin80°
·cos80°sin20° ＝－18sin160°sin20°＝－1
8sin20°sin20°＝－1
8.故选A.
5．(2017·衡水中学二调)3cos10°－1
sin170°＝( ) A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D
解析 3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°
＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)1
2sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4. 故选D.
6．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛ π4－
⎭⎪⎫β2＝3
3，则cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 答案 C
解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2
＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋αcos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－β2＋sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4＋αsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
π4－β2，
由0<α<π2，得π4<α＋π4<3π
4，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋α＝223.
由－π2<β<0，得π4<π4－β2<π2，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－β2＝6
3，代入上式，得
cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋β2＝539.故选C. 7．(2018·长春模拟)已知tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，则sin2αsin2β的值为( )
A.13 B ．－1
3 C ．3 D ．－3 答案 A
解析 sin2αsin2β＝sin[(α＋β)＋(α－β)]sin[(α＋β)－(α－β)]
＝
sin (α＋β)cos (α－β)＋cos (α＋β)sin (α－β)sin (α＋β)cos (α－β)－cos (α＋β)sin (α－β)
＝tan (α＋β)＋tan (α－β)tan (α＋β)－tan (α－β)
＝13.故选A. 8．(2017·山西八校联考)若将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋
φ)(0<φ<π)的图象向左平移π
4个单位长度，平移后的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2，0对称，则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π2，π6上的最小值是( )
A ．－12
B ．－32 C.22 D.1
2 答案 D
解析 ∵f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2sin ( 2x ＋φ＋π
3 )，∴将函数f (x )的图象向左平移π
4个单位长度后，得到函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3的图象．∵该图象关于点⎝ ⎛⎭⎪
⎫π2，0对称，对称中心在函数图象上，∴2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋φ＋π3＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋φ＋π3＝0，解得π＋φ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－5π
6，k ∈Z .
∵0<φ<π，∴φ＝π
6，∴g (x )＝cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋π6，
∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π3， ∴cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，1，
则函数g (x )＝cos(x ＋φ)在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π6上的最小值是1
2.故选D.
9．(2018·兰州检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B tan C ＝1－2，则角A 的值为( )
A.π4
B.π3
C.π2
D.3π
4 答案 A
解析 由题意知，－2cos B cos C ＝sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，等式－2cos B cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C 两边同除以
cos B cos C ，得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C
1－tan B tan C ＝－1
＝－tan A ，即tan A ＝1，所以A ＝π
4.故选A.
10．(2018·河北模拟)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且sin θ－cos θ＝－14
4，则
2cos 2θ－1
cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4＋θ等于( ) A.23 B.43 C.34 D.32 答案 D
解析 由sin θ－cos θ＝－144，得sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝74， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π
4－θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π4，
∴cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝34，
∴2cos 2
θ－1cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝cos2θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－2θsin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫π4－θ
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥
⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32.故选D.
二、填空题
11．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝1
3，则cos 2α－sin 2β＝________. 答案 13
解析 ∵(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝1
3，
∴cos 2
αcos 2
β－sin 2
αsin 2
β＝1
3.
∴cos 2
α(1－sin 2
β)－(1－cos 2
α)sin 2
β＝1
3.
∴cos 2α－sin 2β＝1
3.
12．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，则2α－β 的值为________．
答案 －3π4
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－1
71＋12×
17＝1
3>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π
2，
又∵tan2α＝2tan α
1－tan 2α＝2×13
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝3
4>0， ∴0<2α<π
2，
∴tan(2α－β)＝tan2α－tan β1＋tan2αtan β＝34＋1
7
1－34×
17＝1.
∵tan β＝－17<0，∴π
2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π
4.
13．(2017·江苏模拟)已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝1
7，sin(α＋β)＝53
14，则β＝________.
答案 π3
解析 因为0<α<π，cos α＝1
7，所以sin α＝
1－cos 2
α＝437，故π
3
<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.
由π3<α<π2，知2π
3<α＋β<π， 所以cos(α＋β)＝－
1－sin 2(α＋β)＝－11
14，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1
2， 又0<β<π，所以β＝π
3.
14．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，则cos2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为 ________． 答案 －14
2
解析 ∵sin α＝12＋cos α，∴sin α－cos α＝1
2， ∴(sin α－cos α)2
＝1－2sin αcos α＝1
4，
∴2sin αcos α＝3
4. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α＋cos α＝
sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α
＝
1＋34＝72，
∴cos2α
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α) ＝－2(sin α＋cos α)＝－142.
B 级
三、解答题
15．(2017·合肥质检)已知a ＝(sin x ，3cos x )，b ＝(cos x ，－cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32.
(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；
(2)若方程f (x )＝1
3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 解 (1)f (x )＝a ·b ＋32＝(sin x ，3cos x )·(cos x ，－cos x )＋3
2＝sin x ·cos x －3cos 2
x ＋32＝12sin2x －3
2cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π3. 令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π
2(k ∈Z )， 即函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π
2(k ∈Z )．
(2)由条件知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝13>0，设x 1<x 2，则0<x 1<5π12<x 2<2π3，易知(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))关于直线x ＝5π12对称，则x 1＋x 2＝5π
6，
∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－x 1＝cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x 1－5π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥
⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π3－π2＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x 1－π3＝13. 16．(2017·黄冈质检)已知函数f (x )＝2cos 2
x －sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －7π6.
(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝3
2，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．
解 (1)f (x )＝2cos 2
x －sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －7π6
＝(1＋cos2x )－⎝
⎛
⎭
⎪⎫sin2x cos 7π6－cos2x sin 7π6
＝1＋32sin2x ＋1
2cos2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
∴函数f (x )的最大值为2.
当且仅当sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π
6，
k ∈Z 时取到．
∴函数f (x )的最大值为2时x 的取值集合为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫
x ＝k π＋π6，k ∈Z . (2)由题意，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝3
2， 化简得sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2A ＋π6＝12.
∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，13π6，
∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π
3. 在△ABC 中，根据余弦定理， 得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos π
3＝(b ＋c )2－3bc .
由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫
b ＋
c 22＝1，即a 2
≥1. ∴当且仅当b ＝c ＝1时，取等号．
又由b ＋c >a 得a <2.所以a 的取值范围是[1,2)．
17．(2017·青岛诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋3a cos B ＝3c .
(1)求角A 的大小；
(2)已知函数f (x )＝λcos 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
ωx ＋A 2－3(λ>0，ω>0)的最大值为2，将y ＝f (x )的图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3
2倍后便得到函数y ＝g (x )的图象，若函数y ＝g (x )的最小正周期为π.当x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．
解 (1)∵a sin B ＋3a cos B ＝3c ， ∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin C . ∵C ＝π－(A ＋B )，
∴sin A sin B ＋3sin A cos B ＝3sin(A ＋B ) ＝3(sin A cos B ＋cos A sin B )． 即sin A sin B ＝3cos A sin B .
∵sin B ≠0，∴tan A ＝3，∵0<A <π，∴A ＝π
3. (2)由A ＝π3，得f (x )＝λcos 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝λ·
1＋cos ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π32
－3＝λ
2
cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2ωx ＋π3＋λ2－3，
∴λ－3＝2，λ＝5.
∴f (x )＝5cos 2⎝
⎛
⎭⎪⎫ωx ＋π6－3＝52cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3－12， 从而g (x )＝52cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4
3ωx ＋π3－12，
∴2π43ω
＝π，得ω＝32， ∴f (x )＝52cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，π3≤3x ＋π3≤11π6， ∴－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3≤3
2， 从而－3≤f (x )≤53－2
4，
∴f (x )的值域为⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤－3，53－24. 18．(2017·江西南昌三校模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
5π6－2x －2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋3π4.
(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x ∈⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π3，且F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫4x －π3的最小值是－32，
求实数λ的值．
解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x －2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3π4 ＝12cos2x ＋3
2sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋3
2sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋3
2sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π6. ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
(2)F (x )＝－4λf (x )－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －π3
＝－4λsin ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －π6－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－2sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6
＝2sin 2⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6－4λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1 ＝2⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－λ2－1－2λ2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π12，π3，∴0≤2x －π6≤π2， ∴0≤sin ⎝
⎛
⎭
⎪⎫2x －π6≤1.
①当λ<0时，当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝0时，F (x )取得最小值，最小值为－1，这与已知不相符；
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＝λ时，F (x )取得最小值，最小值为－1－2λ2
，由已知得－1－2λ2
＝－32，解得λ＝－12(舍)或λ＝1
2；
③当λ>1时，当且仅当sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6＝1时，F (x )取得最小值，最小
值为1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝5
8，这与λ>1矛盾．
综上所述，λ＝1
2.。