2011秋季机械制图---吴志军

d'
b' k' c'
(1’ ) 2’
a'
X
a d k 1 2 (3 ) e b
O X
a 1 d 2 k b
e' e c
O
c
DE⊥V: d ' ≡e '≡k ' • 面上找点 • 判断可见性(利用重影点)， 交点是可见点。
△⊥H: 水平投影的交点 即交点 • 线上找点 15 • 判断可见性
2．平面与平面相交
3
PX P PH P Y P Y H
PYH Y
H H
W
PX P H P H P H H
PV与PH交OX轴于点PX (P、 H、V三面共点）
二. 平面的投影特性 1.平面在单一投影面上的投影特性
•平面垂直于投影面： 平面在该投影面上的投影积聚为直线； •平面平行于投影面： 平面在该投影面上的投影反映实形； •平面倾斜于投影面： 平面在该投影面上的投影为类似形。
DC四边形ABCD即为所求 AB，且过面上点D, BC ∥ AD，且过面上点B, 直线DI在面上！ DE为所求 DC在AB ╳ AD平面上 ∴BC在AB
8
2.属于平面的点
定理： 若点在属于平面的直线上，则点必在该面上。
例7： 例8： ①求属于△的点K的水平投影； 试完成四边形ABCD ②求属于△的距H面15,距V面 的投影。 15 10的点L。10 a' a' b' •面上画线 ① ② 1' k' l' 2' 1' •线上找点 b' a' b'
10
例8：已知三角形平面ABC及平面外一点M的投影， （1）过M点作水平线与ΔABC平行 （2）过M点作正平线与ΔABC平行 f’ a’ m’ n’
●
c’ b’ a m b c
●
f n
例9： ①过点K作一直线平行于平面（AB ②过点K作一水平线平行于面（AB
c' i' a' b' d' e'
╳ ╳
b' c' a' d'
.
a' d
b' c' e'
d'
.
a' d a
b' e' e b
23
.
c
a b
a b
e c
.
1. 直线与平面垂直
例22: 已知平面△ ABC及平面外点K， 求点到平面的距离 。 b'
2' 4' d' PV
•做KD⊥△ •求KD与△的交点L •求KL实长 •判断可见性
a'
.l'
k' 3' b k 2
例15:
a' k'≡l' b'
例16:
b' c' a'
X
b k l
c'
X O
c a
O
a
c
小结： b • 从有积聚性的投影出发 • 利用面上找点或线上找点的方法 • 在需判断可见性的投影上找重影点，来判断可见性， 16 或通过直观法来判断可见性。
二. 一般情况
1．直线与平面相交
例17: 2‘ ( 3' ) m'
5.3 垂直问题
5.3.1 两直线所成角度的投影 一．任意角的投影
一般情况下：角的投影≠角的实际大小。 角的两边均平行于投影面：角的投影 =角的实际大小。
二．直角的投影
直角除具有任意角的投影特性外，还有自己的特点。
20
直角投影定理:若直角的一个边为投影面的平行线，则该 直角在所平行的投影面上的投影为直角。
A P L
B b
a
α1 α
l
H
Kk
28
5.4 相对位置综合问题
29
5.4 相对位置综合问题解题方法
例：求两平行线间的距离。 空间分析：
2’ PV b’ a’ 1’ 3’ 2 d’
L
e’ 4’
c’
c △Z e
4
a
c d b
步骤： • 过C作面ⅠCⅡ⊥ AB • 求AB与ⅠCⅡ的交点E 则CE为距离的投影 • 求CE的实长
CD)。 CD)。
k'
f'
X
a d c i b e k f
O
① 解题步骤： 作 KE∥AB, 则KE∥(AB ╳ CD)。 ② 解题步骤： • 先作面上任一水平线 IB • 再作 KF∥IB, 则水平线 KF ∥(AB ╳ CD)。
例10：判断图中的直线 与△平面平行否。 (a) (b) (c)
12
e 步骤： ①含已知线 EF作辅助面 P（垂直面） ②求 P与已知面的交线 MN ③求MN与EF的交点 K ，即所求 ④利用重影点判断可见性
a 2
17
2．平面与平面相交
d'
重点： 例18： 求△ABC与△DEF的交线。 •利用辅助面法求交点 •利用重影点判断可见性 基本方法1：线面求交。 注意： 步骤：
25
3.平面与平面垂直
a´ 例25: 已知△及点A， 过点A作平面⊥△。 •能作几个？ •如何作？ a
若一直线垂直于某平面，则包含此直 线的一切平面均垂直于该平面。反之， 若两平面相互垂直，则由平面A内任一 点向平面B所作的垂线必在平面A内。 26
几 何 定 理
例 过点A作平面垂直于平面
a' c' b' b c a
平面ABC为所求
分析 包含已知平面的垂线的平面⊥已知平面 作图步骤 过点A作直线⊥已知平面
包含该垂线作平面
27
5.4 平面上的最大斜度线
定义：平面上与投
影面夹角最大的直 线，称为最大斜度 线。 特点：最大斜度线 与该面上的投影面 平行线垂直；最大 斜度线与其投影的 夹角即该面与该投 影面的夹角。
c'
. b'
a' d'
分析： CD∥V ： a’b’与c’d’ 垂直相交。 解题步骤： • 过a’ 做a’b’⊥c’d’，交c’d’ 于 b’ • 求线 CD上点 B 的水平投影 b • 连ab ，则AB为所求
a c b d
22
5.3.2 垂直问题
定理：若直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线 与该平面垂直。 推论：若直线垂直于平面,则： •该直线的水平投影与该平面上水平线的水平投影垂直； •该直线的正面投影与该平面上正平线的正面投影垂直； •该直线的侧面投影与该平面上侧平线的侧面投影垂直。
X X
a' a' d'
b' e' 1'
b'
d' c' b d d c
20
c'
O O
c
b e 1
例5：在已知面上作一水平线，距H面20， a a 20 长度10。 10
de=10
定理② ： 若直线通过属于平面的 一个点，且平行于属于该平 面的一条已知直线，则该直 线必在面上。
例6：试完成平行四边形ABCD的投影。
1' L c' kl 4 1
△ZKL
.
3
l d
c
a
24
2. 直线与直线垂直
例23: 已知直线，过线上点 做直线⊥直线。
. .
a’ 3’ b’ 1 ’ 4’ 2’ 1 3 PV
例24: 已知直线，过线外点 作直线⊥直线。 •过A点作平面垂直于已知直线 •求已知直线与平面的交点 •AB即为所求
a
4
b 2
6
③一般位置平面的投影 与三个投影面均倾斜的平面——一般位置平面。
Z
例4： 完成△ABC 的侧面投影。
X
a’
c' b’ O b b”
a”
c” YW
a
c YH
一般位置面的投影特性： 与三个投影面均倾斜，所以三个投影都具有类似性。7
二. 属于平面的直线和点 1.属于平面的直线
定理①： 若直线通过属于平面的 两个点，则直线必在面上。
下讲内容：
业
6 投影变换－换面法
32
第二讲
4.3 平面的投影
5 几何元素的相对位置关系
5.1 平行问题 5.2 相交问题 5.3 垂直问题 5.4 平面上的最大斜度线 5.5 综合问题解题方法 下讲内容： 6 投影变换－换面法
1
4.3 平面的投影
一. 平面的表示方法 1.几何元素表示
•不共线的三点 •线及线外一点 •两平行线 •两相交直线 •平面图形
4
2.平面在三投影面体系中的投影特性
①投影面平行面的投影 平行于某一个投影面的平面——投影面平行面： •平面平行于V—正平面 例2：正平面 Z •平面平行于H—水平面 a’ a” •平面平行于W—侧平面 c' c”
V W X b’ O b” YW
H
a
b
c
YH
正平面的投影特性： 平行于V：在V上投影反映实形； 5 垂直于H、W：在H、W上投影积聚，且分别平行于OX和OZ轴。
O KF∥IB ∴(EK ╳ KF) ∥(AB
╳
CD)
13
例12: 过M点作平面 ∥ ΔABC f’ a’ m’ c’ b’ a m b c n
● ●
n’
f
5.2 相交问题
一. 有一个几何元素垂直于投影面的情况
1．直线与平面相交 相交的核 心问题是 什么？
求公有点!
例13:
; d’≡e' ≡k' ≡3' c'
②投影面垂直面的投影 垂直于某一个投影面、与另两个投影面倾斜的平面 ——投影面垂直面： •平面垂直于V—正垂面 •平面垂直于H—铅垂面 •平面垂直于W—侧垂面
V W
例3：铅垂面
a’
Z c' X b’ c b c” O b” YW
a”
a
H
YH
铅垂面的投影特性： 垂直于H ：在H上投影投影积聚，且与轴倾斜； 倾斜于V、W：在 V 、W上投影类似于空间的面。
二．平面与平面平行
定 理 若两个平面上的两条 相交直线相互平行， 则此二平面互相平行。
c' a' i b' d' e' k' f'
推 理 若两投影面垂直面具有 积聚性的投影相互平行， 则此二平面互相平行。
例11:判断两平面 (KE ╳ KF) ∥(AB ∵EK∥AB
╳
CD) ?
X
a d c i b e k f
P
A C
B
D
a' c'
b'
X
b
d' d' d d c a
O
2
2.迹线表示 迹线：平面与投影面的交线。 规定： 正面、水平、侧面迹线分别用PV、PH、PW表示。
Z Z
PV
X PX
PZ PV O PH H PWPW PYPY
W
V
YW PYW W W
P PV PX
PZ P PV P P W P W PW PY PY PY
b' PV 3' 2' l' 6' k' 4' e' b e 3 k 5 a 2 l (4) 6 f
f' c'
5' (1') X a' 1 d
O
c
•利用辅助面法求AB与△DEF的交点K ①所做的辅助面为垂直面 •利用辅助面法求EF与△ABC的交点L ②辅助面所包含的直线是任选的
QH
③交线在两平面图形的公有区内 •连接KL，即△ABC与△DEF的交线 ④若所做的辅助面与交线平行， •利用重影点判断可见性 交点在无穷远处，应重选辅助面 •完成△ABC与△DEF各边的轮廓
18
例19： 求△ABC 与DE∥FG的 交线。
基本方法2：面面求交—三面共有点
e' 1' 4' 5' f' l' l f d 4 1 2 g e k 3 c b a' a 7 2' b' g' k' 3' 6' c' 7'
PV QV
X
d'
O
P
K
•作水平面 P，求出三面共有点K
Q L
•作水平面 Q，求出三面共有点L 19 •KL即为所求
c'
X
a 1 3 b k l 4 2 1 c
15 O 10
1'
X
b b 1 a a
c' c' c c
d' d'
O
d d
9
第5章 几何元素间的相对位置关系 5.1 平行问题
一．直线与平面平行 定 理 若直线平行于平面上的某一条直线， 则该直线与该平面平行。 推 理
若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性 的投影相互平行，则该直线与该平面平行。
1
e
3
30
例: 作距已知平面 L远的 L 点的轨迹。 a’ b’ 1’ 2’ c’ a 1 c 2 b . a1 . a1’
k’ LKB b1’ c1’ kb 步骤： •作垂线 •求实长 •量取L •作平行面 此题2解 L 空间分析： •求距△为 L的点 •过点作平行面
b1 c1 k
31
作 P7： 2,4 P8： 7,8 P9： 2,3 P10：1,2,4 P11：6,7 P12：2,3
a' f' b' e' k' 1' c'
分析：• • • • •
交点K为△与EF的公有点 含 EF作 P⊥H △与 P 相交于直线 MN MN与 EF共面于P,交于K K既在EF上，又在△上， 交点K即为△与EF的交点。 P
B M K E C N
X
f 3 m k
n' b
O
c 1 (n )
A PH F
已知 AB⊥BC，BC∥H ∵ BC ⊥ AB BC ∥ H ∴ BC ⊥ Bb BC ⊥ Q (AB ╳ Bb) 又 bc ∥ BC ∴ bc ⊥ Q bc ⊥ ab 例20：判断两直线垂直否？ Q B C
.
.
c H
A .b a
. .
(⊥) (⊥)
. .
(╳)
21
例21: 已知CD及A，求做AB与CD垂直相交。