人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)2的图象和性质》课件
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22.1.3二次函数y=a(x-h)2的 图象和性质
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象.
学习重点
2.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线 y=ax2(a≠0)的相互关系.
学习难点 3.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的开口方向、 对称轴、顶点.
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数
关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a
=
1 4
，
∴平移后二次函数关系式为y＝
1 4
(x－3)2.
方法总结
根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位 后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个 单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
向下
y
1
2 x
12
2
向下
直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
知识要点
二次函数y=a（x-h)2 的特点 a＞0时，开口 向上 , 最 _低___ 点是顶点; a＜0时，开口 向下 , 最 __高__ 点是顶点;
对称轴是 直线 x = h ， 顶点坐标是 ( h,0 ) .
抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线 y=ax2(a≠0)的平移规律.
复习引入
问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
a的符号
a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0
a<0,k<0
图象 k>0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
y轴（直线x=0） （0,k）
4
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数y=(x-2)2
图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为__y_1_〉___y2__〉__y_3___.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
y 2
y 3 x 12 向下
二、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
想一想
抛物线 y 1 x 12 ，y 1 x 12 与抛物线 y 1 x2 有
2
2
2
什么关系？
y 1 x 12
2
－4 －2 －2 －4
24
－6
向左平移 1个单位
y 1 x2 向右平移 2 1个单位
y 1 x 12
2
知识要点
4
直线x=3
直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象， 分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2 的图象向右平移2个单位得到.
y y = 2x2
思考：二次函数 y = a﹙x-h﹚²(a≠0)的图象和性质,以及与 y=ax²(a≠0)的联系与区分.
一、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
探究归纳
例1
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· －3 －2 －1 0
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系 可以看作互相平移得到.
左右平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
例2. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点 (－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
分析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝ a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
O2 x
课堂小结
复习 y=ax2+k
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
y=ax2
平移关系
图象的画法
描点法 平移法
图象的特征
开口方向
顶点坐标（h,0）
a>0,开口向上 对称轴
a<0,开口向下
直线x=h
平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
y 1 x 12
2
···
－2
-1 2
0
-1 2
y 1 x 12 ···
2
－4.5 －2
-1 2
y
1
2
3 ···
－2 －4.5 －8 ··· 0 - 1 －2 ···
2
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1 x 12
2
向下
y 1 x2
当堂练习
1.
1 要得到抛物线y=3
(x－4)2，可将抛物线y= 1 x2( 3
C
)
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
2.二次函数y=2(x__(_32_, 0_)___.
3 2
)2图象的对称轴是直线_x___32，顶点是
3 .若（-
13 ，y1）（-
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时， y随x增大而增大.
x=0时，y最小值=k
向下 y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0） 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
学习目标
1.会用描点法画二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象.
学习重点
2.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线 y=ax2(a≠0)的相互关系.
学习难点 3.能说出抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的开口方向、 对称轴、顶点.
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数
关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，a
=
1 4
，
∴平移后二次函数关系式为y＝
1 4
(x－3)2.
方法总结
根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位 后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个 单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
向下
y
1
2 x
12
2
向下
直线x=-1 直线x=0 直线x=1
顶点坐标 ( -1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0)
知识要点
二次函数y=a（x-h)2 的特点 a＞0时，开口 向上 , 最 _低___ 点是顶点; a＜0时，开口 向下 , 最 __高__ 点是顶点;
对称轴是 直线 x = h ， 顶点坐标是 ( h,0 ) .
抛物线y=a(x-h)2(a≠0)与抛物线 y=ax2(a≠0)的平移规律.
复习引入
问题1 说说二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象的特征.
a的符号
a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0
a<0,k<0
图象 k>0
开口方向 对称轴 顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
y轴（直线x=0） （0,k）
4
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数y=(x-2)2
图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为__y_1_〉___y2__〉__y_3___.
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
y 2
y 3 x 12 向下
二、二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
想一想
抛物线 y 1 x 12 ，y 1 x 12 与抛物线 y 1 x2 有
2
2
2
什么关系？
y 1 x 12
2
－4 －2 －2 －4
24
－6
向左平移 1个单位
y 1 x2 向右平移 2 1个单位
y 1 x 12
2
知识要点
4
直线x=3
直线x=2 直线x=1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象， 分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图. 函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2 的图象向右平移2个单位得到.
y y = 2x2
思考：二次函数 y = a﹙x-h﹚²(a≠0)的图象和性质,以及与 y=ax²(a≠0)的联系与区分.
一、二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
探究归纳
例1
画出二次函数 y 1 x 12 , y 1 x 12
2
2
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
··· －3 －2 －1 0
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系 可以看作互相平移得到.
左右平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
例2. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点 (－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
分析：y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝ a(x－3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a的值．
O2 x
课堂小结
复习 y=ax2+k
探索y=a(x-h)2 的图象及性质
y=ax2
平移关系
图象的画法
描点法 平移法
图象的特征
开口方向
顶点坐标（h,0）
a>0,开口向上 对称轴
a<0,开口向下
直线x=h
平移规律： 括号内：左加右减；括号外不变.
y 1 x 12
2
···
－2
-1 2
0
-1 2
y 1 x 12 ···
2
－4.5 －2
-1 2
y
1
2
3 ···
－2 －4.5 －8 ··· 0 - 1 －2 ···
2
－4 －2 0 －2 －4
2 4x
－6
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线
开口方向
对称轴
y 1 x 12
2
向下
y 1 x2
当堂练习
1.
1 要得到抛物线y=3
(x－4)2，可将抛物线y= 1 x2( 3
C
)
A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位
C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位
2.二次函数y=2(x__(_32_, 0_)___.
3 2
)2图象的对称轴是直线_x___32，顶点是
3 .若（-
13 ，y1）（-
当x<0时，y随x增大 而减小；当x>0时， y随x增大而增大.
x=0时，y最小值=k
向下 y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大 而增大；当x>0时， y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
问题2 二次函数 y=ax2+k（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图象有何关系？
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的图象可以由 y=ax2（a ≠ 0） 的图象平移得到： 当k > 0 时，向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时，向下平移-k个单位长度得到.