北京师范大学第二附属中学八年级数学上册第二单元《全等三角形》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AB ＞BC ，点D 在BC 边上，BD=12
DC ，∠BED=∠CFD=∠BAC ，若S △ABC =30，则阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．20
2．如图，△ACB ≌△A′C B′，∠ACB ＝70°，∠ACB′＝100°，则∠BCA′度数是（ ）
A ．40°
B ．35
C ．30°
D ．45°
3．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在BC 上，连接AD ，AE ，若只添加一个条件使DAB EAC ∠=∠，则添加的条件不能为（ ）
A ．BD CE =
B ．AD AE =
C ．BE C
D = D ．DA D
E = 5．如图，BD 是四边形ABCD 的对角线， AD//BC ，AB AD <，分别过点A ，C 作AE BD ⊥，C
F BD ⊥，垂足分别为点E ，F ，若BE DF =，则图中全等的三角形有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 6．如图，ABC 的面积为26cm ，AP 垂直B 的平分线BP 于P ，则PBC 的面积为
（ ）
A ．21cm
B ．22cm
C ．23cm
D ．24cm 7．下列命题中，真命题是（ ）
A ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B ．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C ．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D ．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
8．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )
A ．5:4
B ．5:3
C ．4:3
D ．3:4
9．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
10．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（ ）
A ．24°
B ．32°
C ．38°
D ．52°
11．如图，AD 是ABC 的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE BF =；②ACE △和CDE △面积相；③//BF CE ；④BDF CDE ≌．其中正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．如图，已知，CAB DAE ∠=∠，AC AD =．下列五个选项：①AB AE =，②BC ED =，③C D ∠=∠，④B E ∠=∠，⑤12∠=∠，从中任选一个作为已知条
件，其中能使ABC AED ≌
△△的条件有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
13．如图，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝12，BC ＝18，CD ＝8，则四边形ABCD 的面积是____．
14．如图，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，AD=AE ，请添加一个条件，使得
ABE ≌ACD ．这个条件可以为_____（只填一个条件即可）．
15．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．
16．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．
17．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．
18．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．
19．如图，在ABC 中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：
①120EDF ∠=︒；
②DM 平分EDF ∠；
③DE DF AD +=；
④2AB AC AE +>；
其中正确的有________(请将正确结论的序号填写在横线上)．
20．如图，已知点(44)A -，
，一个以A 为顶点的45︒角绕点A 旋转，角的两边分别交x 轴正半轴，y 轴负半轴于E 、F ，连接EF ．当△AEF 直角三角形时，点E 的坐标是________．
三、解答题
21．如图，AD CB =，AB CD =．求证：ABC CDA ∠=∠．
22．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，点D 在AC 上，且
6cm AD =，过点A 作射线AE AC ⊥（AE 与BC 在AC 同侧），若点P 从点A 出发，沿射线AE 匀速运动，运动速度为1cm/s ，设点P 运动时间为t 秒．连结PD 、BD ．
（1）如图①，当PD BD ⊥时，求证：PDA DBC △≌△；
（2）如图②，当PD AB ⊥于点F 时，求此时t 的值．
23．如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B ． 求证：△ABC ≌△CDE ．
24．如图，点P 是锐角∠ABC 内一点，BP 平分∠ABC ，点M 在边BA 上，点N 在边BC 上，且PM ＝PN ．
求证：∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
25．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．
（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．
（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．
（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．
26．如图，E 、A 、C 三点共线，//AB CD ，B E ∠=∠，AC CD =．求证：BC ED =．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据△ABE ≌△CAF 得出△ACF 与△ABE 的面积相等，可得S △ABE +S △CDF =S △ACD ，即可得出答案．
【详解】
∵∠BED=∠CFD=∠BAC ，∠BED=∠BAE+∠ABE ，
∠BAC=∠BAE+∠CAF ，∠CFD=∠FCA+∠CAF ，
∴∠ABE=∠CAF ，∠BAE=∠FCA ，
在△ABE 和△CAF 中，ABE CAF AB AC BAE FCA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABE ≌△CAF （ASA ），
∴S △ABE =S △ACF ，
∴阴影部分的面积为S △ABE +S △CDF =S △ACD ，
∵S △ABC =30，BD=
12
DC ， ∴S △ACD =20，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
2．A
解析：A
【分析】 根据已知ACB ≌
A′CB′，得到∠A′CB′=∠ACB=70︒，再通过∠ACB′=100︒，继而利用角的和差求得∠BCB′=30︒，进而利用∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′得到结论．
【详解】
解：∵ACB ≌A′CB′，
∴∠A′CB′=∠ACB=70︒，
∵∠ACB′=100︒，
∴∠BCB′=∠ACB′-∠ACB=30︒，
∴∠BCA′=∠A′CB′-∠BCB′=40︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．
【详解】
解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，
BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，
'''MF F E ∴=，
'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．
三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102
CM ⨯⋅=，
21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
解：A 、添加BD ＝CE ，可以利用“边角边”证明△ABD 和△ACE 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；
B 、添加AD ＝AE ，根据等边对等角可得∠ADE ＝∠AED ，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB ＝∠EA
C ，故本选项不符合题意；
C 、添加BE ＝C
D 可以利用“边角边”证明△AB
E 和△ACD 全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠BAE=∠CAD ，可得∠DAB ＝∠EAC ，故本选项不符合题意；
D 、添加DA ＝D
E 无法求出∠DAB ＝∠EAC ，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据AD //BC 证得ADB CBD ∠=∠，由BE DF =得到BF=DE ，由此证明
△ADE ≌△CBF ，得到AE=CF ，AD=CB ，由此证得△ABE ≌△CDF ，得到AB=CD ，由此利用SSS 证明△ABD ≌△CDB.
【详解】
解：∵AD //BC ，
∴ADB CBD ∠=∠，
BE DF =，
BF DE ∴=，
AE BD ⊥，CF BD ⊥，
AED CFB ∠∠∴=90=，
()ADE CBF ASA ∴≅，
AE CF ∴=，AD CB =，
∵∠AEB=∠CFD 90=，BE=DF ，
()ABE CDF SAS ∴≅，
AB CD ∴=，
BD DB =，AB=CD ，AD CB =，
()ABD CDB SSS ∴≅,
则图中全等的三角形有：3对，
故选:C .
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据已知条件找到对应的边或角是解题的关键.
6．C
解析：C
【分析】
延长AP 交BC 于E ，根据AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，即可求出△ABP ≌△BEP ，又知△APC 和△CPE 等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC 的面积．
【详解】
解：延长AP 交BC 于E ，
∵AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，
∴∠ABP =∠EBP ，∠APB =∠BPE =90∘，
在△APB 和△EPB 中
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
APB EPB BP BP
ABP EBP ∴△APB ≌△EPB (ASA )，
∴APB EPB S S =△△，AP =PE ，
∴△APC 和△CPE 等底同高，
∴APC PCE S S =,
∴PBC PCE PCE S S S =+△△△=1
2ABC S
=1632
⨯= 故选C ． 【点睛】
本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出
PBC PCE PCE S S S =+△△△=1
2ABC S ．
7．D
解析：D
【分析】
根据三角形全等的判定方法对A 、D 进行判断；利用三角形高的位置不同可对B 、C 进行判
断．
【详解】
A 、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A 选项错误；
B 、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以B 选项错误；
C 、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等，所以C 选错误；
D 、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考査了判断命题真假，以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，仔细分类讨论是解题关键．
8．B
解析：B
【分析】
过D 作DF AB ⊥于F ，根据角平分线的性质得出DF ＝DC ，再根据三角形的面积公式求出ABD 和ACD 的面积，最后求出答案即可.
【详解】
解：过D 点作DF AB ⊥于F ,
∵AD 平分CAB ∠，C 90∠=（即AC BC ⊥），
∴DF CD =，
设DF CD R ==，
在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=， ∴22AB 5AC BC =+=， ∴ABD 115S
AB DF 5R R 222=⨯⨯=⨯⨯=，ACD 113S AC CD 3R R 222=⨯⨯=⨯⨯=， ∴ABD ACD 5S :S R 2⎛⎫= ⎪⎝⎭：3R 5:32⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 故选：B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质求出DF ＝CD 是解此题的关键.
9．A
解析：A
【分析】
根据两条平行线之间的距离可知当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，先利用角平分线的性质得出AD =AE =3，利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3，进而解答即可．
【详解】
解：由题意得，
当CD ⊥OM 时，CD 取最小值，
∵OB 平分∠MON ，AE ⊥ON 于点E ，CD ⊥OM ，
∴AD =AE =3，
∵BC ∥OM ，
∴∠DOA =∠B ，
∵A 为OB 中点，
∴AB =AO ，
在△ADO 与△ABC 中B DOA AB AO BAC DAO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ADO ≌△ABC (SAS ),
∴AC =AD =3，
∴336CD AC AD =+=+=，
故选A ．
【点睛】
此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．
10．C
解析：C
【分析】
根据题意可证明BDE CFD ≌，以及求解∠B 的度数，再由三角形的外角性质和全等三角形的性质推出∠EDF=∠B ，从而得出结果．
【详解】
在BDE 与CFD 中，
BE CD B C BD CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()BDE CFD SAS ≌
∴∠BED=∠CDF ，
又∵∠B+∠BED=∠EDC=∠EDF+∠CDF ，
∴∠B=∠EDF ，
∵在BAC 中，∠A=104°，∠B=∠C ，
∴∠B=（180°-104°）÷2=38°，
∴∠EDF=38°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角性质，熟练证明全等并利用其性质进行推理演算是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据“SAS”可证明△CDE ≌△BDF ，则可对④进行判断；利用全等三角形的性质可对①进行判断；由于AE 和DE 不能确定相等，则根据三角形面积公式可对②进行判断；根据全等三角形的性质得到∠ECD=∠FBD ，则利用平行线的判定方法可对③进行判断；
【详解】
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ CD=BD ，
∵ DE=DF ，∠CDE=∠BDF ，
∴ △CDE ≌△BDF(SAS)，所以④正确；
∴ CE=BF ，所以①正确；
∵ AE 与DE 不能确定相等，
∴ △ACE 和△CDE 面积不一定相等，所以②错误；
∵ △CDE ≌△BDF ，
∴∠ECD=∠FBD ，
∴BF ∥CE ，所以③正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积 ，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
添加条件①可以用“SAS”证明，添加条件③可以用“ASA”证明，添加条件④可以用“AAS”证明．
【详解】
解：①在ABC 和AED 中，
AC AD CAB DAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED SAS ≅△△；
②不可以；
③在ABC 和AED 中，
C D AC AD
CAB DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()ABC AED ASA ≅；
④在ABC 和AED 中，
B E CAB DAE A
C A
D ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC AED AAS ≅；
⑤不可以；
故选：B ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的所有判定定理．
二、填空题
13．【分析】过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E 利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD 可求出四边形ABCD 的面积【详解】解：过点D 作DE ⊥B
解析：120
【分析】
过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DC ＝8，再利用三角形的面积公式结合S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，可求出四边形ABCD 的面积．
【详解】
解：过点D 作DE ⊥BA 的延长线于点E ，如图所示．
又∵BD 平分∠ABC ，∠BCD ＝90°，
∴DE ＝DC ＝8，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ， ＝12AB•DE ＋12
BC•CD ，
＝1
2
×12×8＋
1
2
×18×8，
＝120．
故答案为：120．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE＝8是解题的关键．
14．∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）【分析】根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠AAD=AE两个条件对应相等故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD【详解】∵∠A=∠
解析：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）
【分析】
根据已知条件知两个三角形已经具有∠A=∠A，AD=AE两个条件对应相等，故再添加一组对应角相等或是AB=AC即可得到ABE≌ACD．
【详解】
∵∠A=∠A，AD=AE，
∴当∠B=∠C时，可利用AAS证明ABE≌ACD；
当∠ADC=∠AEB时，可利用ASA证明ABE≌ACD；
当AB=AC时，可利用SAS证明ABE≌ACD；
故答案为：∠B=∠C（或∠ADC=∠AEB或AB=AC）．
【点睛】
此题考查添加一个条件证明三角形全等，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．15．5或10【分析】分两种情况：当AQ=5时当AQ=10时利用全等三角形的判定及性质定理得到结论【详解】分两种情况：当AQ=5时
∵∴AQ=BC∵AD⊥AC∴∠QAP=∠ACB=∵AB=PQ∴≌△PQA（
解析：5或10
【分析】
分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论．【详解】
分两种情况：
当AQ=5时，
∵5
BC=，
∴AQ=BC，
∵AD⊥AC，
∴∠QAP=∠ACB=90︒，
∵AB=PQ，
∴ABC≌△PQA（HL）；
当AQ=10时，
∵10AC =，
∴AQ=AC ，
∵AD ⊥AC ，
∴∠QAP=∠ACB=90︒，
∵AB=PQ ，
∴△ABC ≌△QPA ，
故答案为：5或10．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
16．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB 证明
△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152
【分析】
如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED S
S S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．
【详解】
如图，延长CD 交AB 于E ，
由题意得AP 平分∠CAB ，
∴∠CAD=∠EAD,
∵CD ⊥AD ，
∴∠ADC=∠ADE ，
∵AD=AD ，
∴△ADC ≌△ADE ，
∴CD=DE ，
∴,ACD ADE BCD BED S
S S S ==， ∴ACD BCD ADE BED S
S S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==
152， 故答案为：152
．
．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．
17．cm2【分析】如图延长AP 交BC 于T 利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题【详解】解：如图延长AP 交BC 于
T ∵BP ⊥AT ∴∠BPA=∠BPT=90°∵BP=BP ∠PBA=∠PBT ∴△BPA ≌ 解析：12
cm 2 【分析】
如图，延长AP 交BC 于T ．利用全等三角形的性质证明AP=PT 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AP 交BC 于T ．
∵BP ⊥AT ，
∴∠BPA=∠BPT=90°，
∵BP=BP ，∠PBA=∠PBT ， ∴△BPA ≌△BPT （ASA ），
∴PA=PT ，∴BPA BPT CAP CPT S S S S ==，
1122
PBC ABC S S ∴==， 故答案为
12
cm 2. 【点睛】 本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题．
18．AD=BD 【分析】要判定△BCD ≌△ACD 已知∠1=∠2CD 是公共边具备了一边一角对应相等注意SAS 的条件；两边及夹角对相等只能选AD=BD 【详解】解：由图可知只能是AD=BD 才能组成SAS 故答案为
解析：AD=BD
【分析】
要判定△BCD ≌△ACD ，已知∠1=∠2，CD 是公共边，具备了一边一角对应相等，注意“SAS”的条件；两边及夹角对相等，只能选AD=BD.
【详解】
解：由图可知，只能是AD=BD ，才能组成“SAS”，
故答案为：AD=BD.
【点睛】
本题考查了全等的判定，掌握“SAS”的条件是两边及夹角对相等是解题的关键.
19．①③【分析】由四边形内角和定理可求出；若DM 平分∠EDF 则∠EDM=60°从而得到∠ABC 为等边三角形条件不足不能确定故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°故此可知ED=ADDF=AD 从而可
解析：①③
【分析】
由四边形内角和定理可求出120EDF ∠=︒；若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=60°，从而得到∠ABC 为等边三角形，条件不足，不能确定，故②错误；由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12
AD ，从而可证明③正确；连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△CFD ，从而得到BE=FC ，从而可得AB+AC=2AE ，故可判断④．
【详解】
解：如图所示：连接BD 、DC ．
（1）∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，
∴∠AED=∠AFD=90°，
∵∠EAF=60°，∠EAF+∠AED+∠AFD+∠EDF=360°
∴∠EDF=360°-∠EAF-∠AED-∠AFD=360°-60°-90°-90°=120°，
故①正确；
②由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=60°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=120°．
∴∠ABC=60°．
∵∠ABC 是否等于60°不知道，
∴不能判定MD 平分∠EDF ，故②错误；
③∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE ⊥AB ，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=12
AD ． 同理：DF=
12AD ． ∴DE+DF=AD ．故③正确．
④∵DM 是BC 的垂直平分线，
∴DB=DC ．
在Rt △BED 和Rt △CFD 中
DE DF BD DC ⎧⎨⎩
＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．
∴BE=FC ．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF ，BE=FC ，
∴AB+AC=2AE ．故④错误．
因此正确的结论是：①③，
故答案为：①③．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及四边形的内角和等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
20．或【分析】根据等腰三角形的性质作辅助线构造全等三角形得到对应线段相等即可得到结论【详解】①如图所示：∴∵∴∵∴∴在△和中
∴△△FDE ∴∴②当时同①的方法有：∴综上所述满足条件的点坐标为或故答案为：或
解析：(8)0，
或(40)， 【分析】
根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论．
【详解】
①如图所示：
90AFE ︒∠=，
∴90AFD OFE ︒∠+∠=，
∵90OFE OEF ︒∠+∠=，
∴AFD OEF ∠=∠，
∵90AFE ︒∠=，45EAF ︒∠=，
∴45AEF EAF ︒∠==∠，
∴AF EF =，
在△ADF 和FOE 中，
ADE FOE AFD OEF AF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△FDE ，
∴4FO AD ==，8OE DF OD FO ==+=，
∴(40)E ，
． ②当90AEF ︒∠=时，同①的方法有：8OF =，4OE =，
∴(40)E ，
， 综上所述，满足条件的点E 坐标为(8)0，
或(40)， 故答案为：(8)0，
或(40)， 【点睛】
本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解．
三、解答题
21．见解析
【分析】
根据SSS 可证明△ABD ≌△CDB ，即可得∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD ，进而可证明结论．
【详解】
在ABD ∆和CDB ∆中
AB CD AD CB BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩
()ABD CDB SSS ∴∆≅∆
ABD CDB ∴∠=∠
ADB CBD ∠=∠
ABC ABD CBD ∠=∠-∠
CDA CDB ADB ∠=∠-∠
ABC CDA ∴∠=∠
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，利用SSS 证明△ABD ≌△CDB 是解题的关键． 22．（1）见解析；（2）8秒
【分析】
（1）根据垂直及角之间的关系证明出PDA CBD ∠=∠，又有90PAD C ∠=∠=︒，=6AD BC =，根据三角形全等的判定定理则可证明PDA DBC △≌△．
（2）根据垂直及角之间的关系证明APF DAF ∠=∠，又因为90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =，则可证明PAD ACB △≌△，所以8cm AP AC ==，即t=8秒．
【详解】
（1）证明：
PD BD ⊥，
90PDB ∴∠=︒，即90BDC PDA ∠+∠=︒
又90C ∠=︒，90BDC CBD ∠+∠=︒ PDA CBD ∴∠=∠
又AE AC ⊥，
90PAD ∴∠=︒
90PAD C ∴∠=∠=︒
又6cm BC =，6cm AD =
AD BC ∴=
在PAD △和DCB 中
PAD C AD CB
PDA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()PDA DBC ASA ∴△≌△
（2）
PD AB ⊥，
90AFD AFP ∴∠=∠=︒，即90PAF APF ∠+∠=︒
又AE AC ⊥， 90PAF DAF ∴∠+∠=︒
APF DAF ∴∠=∠
又
90PAD C ∠=∠=︒，AD BC =
在APD △和CAB △中 APD CAB PAD C AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()PAD ACB AAS ∴△≌△
8cm AP AC ∴==
即8t =秒．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用角之间的关系是解题关键．
23．见解析．
【分析】
首先根据AC ∥DE ，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E ，∠ACD=∠D ，再根据∠ACD=∠B 证出∠D=∠B ，再由∠ACB=∠E ，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE ．
【详解】
证明：∵AC ∥DE ，
∴ACD D ∠=∠，BCA E ∠=∠．
又∵ACD B ∠=∠，
∴B D ∠=∠，
又∵AC CE =，
∴()ABC CDE AAS ≌．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
24．见解析
【分析】
过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，根据角平分线性质定理可得PE ＝PF ，再由HL 可证Rt △MEP ≌Rt △NFP ，进而证得∠PME ＝∠PNF ，从而证得∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【详解】
证明：如图所示，过点P 作PE ⊥BA 于点E, 作PF ⊥BC 于点F ，
∴∠MEP ＝∠NFP ＝90°．
∵BP 平分∠ABC ，
∴PE ＝PF ．
在Rt △MEP 与Rt △NFP 中，
PE PF PM PN =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △MEP ≌Rt △NFP （HL ）．
∴∠PME ＝∠PNF ．
∵∠BMP ＋∠PME ＝180°，
∴∠BMP ＋∠BNP ＝180°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应角相等是解决问题的关键．
25．（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析
【分析】
（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）同（1）的方法，即可得出结论．
【详解】
解：（1）AC CE ⊥理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴90B D ∠=∠=︒
在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩
∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌
， ∴A DCE ∠=∠
∵90B ∠=︒，
∴90A ACB ∠+∠=︒，
∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒，
∴AC CE ⊥；
（2）成立，理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴90B D ∠=∠=︒，
在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121
AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，
∴2A C E D ∠=∠，
∵90B ∠=︒，
∴190B A AC ∠+∠=︒，
∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，
在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒，
∴12AC C E ⊥；
（3）成立，理由如下：
∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，
∴190ABC D ∠=∠=︒
在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121
AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△，
∴2A C E D ∠=∠，
∵190ABC ∠=︒，
∴190B A AC ∠+∠=︒，
在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒，
∴12AC C E ⊥．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．
26．证明见解析
【分析】
利用AAS 证明△ABC ≌△CED 即可得到结论．
【详解】
证明：∵//AB CD ，
∴BAC ECD ∠=∠，
在ABC 和CED 中
BAC ECD B E
AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴()ABC CED AAS △≌△，
∴BC ED =．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理及根据已知题意确定两个
三角形对应相等的条件是解题的关键．。