贵州省贵阳市第一中学2022年高三数学11月抽考试卷理

贵州省贵阳市第一中学2022年高三数学11月抽
考试卷 理
贵阳第一中学2021届高考适应性月考卷（三） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．集合{|}(0)A x a x a a =-≤≤≥，02A B a ⊆<，≤，故选C ． 2．11ωω==，，故选A ．
3．∵a b ，，其夹角为45︒，∴||1a b -=，故选A ． 4．设切点为0000000ln(1)11(ln(1))|e 111e x x x A x x y x y x x =-''-===+=--，，，，，故选C ．
5．∵28
36a a
=，∴24510125368
624a a
a
a q q a a a +====
=+，，，故选B
．
6
．22111min 22min 122
1
log (1)2y x a y a y x
a y a y y x =++==++=+，；，，
≤，22a a +≤，解不
等式即可，故选A ．
7．该几何体是一个半圆柱被截去一个四棱锥的几何体，因此几何体的体积为211
π
1222
3
-
4
21π3
=-，故选D ．
8A =，得60A
=︒，由余弦定理得
m 2
ABC S ==△ a =由正弦定理得2
sin a
R A
=，R ，故选C ．
9．《周髀算经》不在首位：13
33A A 18=，《周髀算经》不在首位且《九章算
术》不在第二个位置：3112
3222
147A A A A 14189
P +===，，故选D ． 10．由已知直线过圆心，则1(21)m A =-，，，4AB =，故选
A ．
11．在12Rt F AF △中，2130AF F =︒∠，∴12AF c AF =，，由
122AF AF a +=，1e =∴，故选
B ．
12．设03001(2ln 3log )33P x a x x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦
，，，
关于y 轴对称的点030(2ln3log )Q x a x -+，在()g x 的图象上，∴22
3003022ln3log 2ln3log 2x a x a x x -=+⇒=--在133⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上有解，令2
0a x =-
302ln3log 2()x h x -=，则002()20h x x x '=-
≥，得01x ≥，0()h x 在113⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
上递减，在[13]，上递增，0max 0min
()72ln3()1h x h x =-=-，，故选D ．
二、填空题（本大题共4
小题，每小题5分，共20分）
题号 13
14 15 16
答案
π6
4 13- 1a >-
【解析】
13．π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭向右平移ϕ个单位长度得π()2sin 223
f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
为奇函
数，则π
2π()3k k ϕ-=∈Z ，令0k =，可得π6
ϕ=．
14．如图1，在点(02)A ，，min |3412|4z x y =-+=．
15．设1x =，得系数和为7(2)1a -=，解得1a =，含3
x 项
的系数为
667C 2(1)14-=，不含3
x 的系数和为13-．
16．由已知1x =是函数的极大值点，
(1)101f a b b a '=--==-，，1
()1f x ax a x '=
--+=
1(1)x a x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
，当0a ≥时，设()0f x '≥，解得01x <≤，即()f x 在区间(01]，上递
增，在[1)+∞，上递减，符合题意；当10a -<<时，()f x 在区间(01]，上递增，在11a ⎡
⎫-⎪⎢⎣
⎭，上递减，符合题意；当1a -≤时，()f x 在区间在10a ⎛⎤- ⎥⎝⎦，上递增，在11a ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦，
上递减，在[1)+∞，上递增，不符合题意，舍去，∴ 1.
a >-
三、解答题（共70分．解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 解：（1）设二次函数
2()(0)f x ax bx a =+≠，…………………………………………（1
分）
则()2f x ax b '=+． 易求()62f x x '=-，得
32a b ==-，，…………………………………………………（2
分）
因此
2()32f x x x =-，1
n
i n i a S ==∑，
又因为点*
()()n n S n ∈N ，均在函数()y f x =的图象上，
图1
因此
232.
n S n n =-………………………………………………………………………
（3分）
当2n ≥时，22132[3(1)2(1)]65n n n a S S n n n n n -=-=-----=-； 当1n =时，2113121615a S ==⨯-⨯=⨯-，也适合上式，……………………………（5分）
因此
*65()n a n n =-∈N .
…………………………………………………………………
（6分）
（2）由（1）得133111(65)[6(1)5]26561n n n b a a n n n n +⎛⎫
===- ⎪-+--+⎝⎭
， ………………………………………………………………………………
………（9分）
故111111...1277136561n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦………………………………
（10分）
1131.26161
n
n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭ ………………………………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）画出的茎叶图如图2所示．
…………………………………………………………（2分）
设被污损的数字为a ，则a 有10种情形． 由88899091928383879099a +++++++++≤，得8a ≥，
因此有2种情形使得东部各都市观看该节目的观众的平均人数不超过西部各都市观看该节目的观众的平均人
数，………………………………………………………………………（4分）
所求概率为
21
105
=. ……………………………………………………………………（5分）
（2）由表中数据，运算得
254x y ==，，………………………………………………（6
分）
图2
4
14
22
1
443542547
500100
4i i
i i i x y
xy
b x x ==--⨯⨯=
=
=-∑∑，
……………………………………………（9分）
∴79
.1004
y x =
+ ………………………………………………………………………（11分）
当55x =时， 6.1y =，即推测年龄为55岁的观众周均学习成语知识的时刻为6.1小时．
……………………………………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：因为等边三角形ABC 的边长为3，且12
AD CE DB
EA
==，
因此12AD AE ==，．
在ADE △中，∠DAE =60°，由余弦定理得2212212cos 603DE =+-⨯⨯⨯︒=，
从而222AD DE AE +=，因此AD DE ⊥，即BD DE ⊥．……………………………
（2分）
因为二面角1A DE B --是直二面角， 因此平面A1DE ⊥平面BCED ，
又平面A1DE ∩平面BCED DE =，BD DE ⊥， 因此BD ⊥平面
1A DE ．…………………………………………………………………（6
分）
（2）解：存在．
理由：由（1）的证明，以D 为坐标原点，分别以射线DB ，DE ，DA1为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立如图3所示的空间直角坐标系D xyz -．
设2PB a =，作PH ⊥BD 于点H ，连接A1H ，A1P ， 则BH a =，3PH a =，2DH a =-，
因此1(001)A ，，
，(230)P a a -，，，(030)E ，，，
因此11(231)(031)PA a a A E =--
=-，，，，，，
因为ED ⊥平面1A BD ，
因此平面1A BD 的一个法向量为(030)DE =，，，
设1()n x y z =，，，1n ⊥平面1A PE ，
图3
由111130(2)0
n A E z n
A P a x z ⎧⊥⇒-=⎪⎨⊥⇒--=⎪⎩，
13(11n ⎛⇒= ⎝， …………………（8
分）
因此存在点2P PB =，，使平面1PA E 与平面1A BD 所成的角为60°．………………（12分）
20．（本小题满分12分） 解：（
1
）由题意知直线0x y -+与圆222x
y c +=相切，
c ==，又c
e a =
=，
2241a b ==，，
因此椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
………………………………………………………（3分）
（2）由（1）知椭圆E 的方程为22
1164
x y +=．
（ⅰ）设00()P x y ，，||
||OQ OP λ=，由题意知00()Q x y λλ--，．
因为2
20
014x y +=，
又2200()()1164x y λλ--+=，即22200144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，
因此2λ=，即
||
2||
OQ OP =．………………………………………………………………（6分）
（ⅱ）设1122()()M x y N x y ，，，，
将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=， 由0∆>，可得22416m k <+，① 则有
2121
22
8416
14km m x x x x k -+=-=
+，，………………………………………………（8分）
因此12|
|x x -=．
因为直线y kx m =+与y 轴的交点坐标为(0)m ，，
因此△OMN
的面积121||||2S m x x =-=
令2
2
14m t k
=+，将y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x
kmx m ++
+-=， 由0∆≥，可得2214m k +≤，②
由①②可知01
t <≤， 因此S ==，故S ≤………………………………………
（10分）
当且仅当
1t =，即2214m k =+时取得最大值
由（ⅰ）知，△MNQ 的面积为3S ， 因此△MNQ 面积的最大值为
……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分） （1）解：易知
(1)
()e x
x a f x --'=-
．……………………………………………………（1分）
由已知得()0f x '≥或()0f x '≤，(22)x ∈-，恒成立，
故1x a -≤或1x a -≥，对(22)x ∀∈-，恒成立，………………………………………（3分）
∴12a -≥，∴1a -≤或123a a --≤，≥， ∴
(1][3).
a ∈-∞-+∞，，………………………………………………………………
（5分）
（2）证明：0a =，则()e x
x
f x =
，
函数()f x 的图象在0x x =处的切线方程为000()()()()y g x f x x x f x '==-+， 令000()()()()()()()h x f x g x f x f x x x f x x '=-=---∈R ，， …………………………（7分）
则000
0001(1)e (1)e 1()()()e e e x x
x x x x x x x x h x f x f x +-----'''=-=-=.
………………………（9
分）
设0
0()(1)e (1)e x
x x x x x ϕ=---∈R ，，则00()e (1)e x x x x ϕ'=---，
∵01x <，∴()0x ϕ'<，∴()x ϕ在R 上单调递减，而0()0x ϕ=，…………………（10分）
∴当0x x <时，()0x ϕ>，当0x x >时，()0x ϕ<； ∴当0x x <时，()0h x '>，当0x x >时，()0h x '<，
∴()h x 在区间0()x -∞，上为增函数，在区间0()x +∞，上为减函数，
∴x ∈R 时，0()()0h x h x =≤，∴()().f x g x ≤……………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）C 的一般方程为
22(1)1(01)x y y -+=≤≤，………………………………（2
分）
可得C 的极坐标方程为
π2cos 02ρθθ⎡
⎤=∈⎢⎥⎣
⎦
，，.
………………………………………（5分）
（2）设
(1cos sin )D t t +，，………………………………………………………………（6
分）
由（1）知C 是以(10)C ，为圆心，1为半径的上半圆．
因为C 在点D 处的切线与l 平行，因此直线CD 与l 的斜率乘积为1-， ………………………………………………………………………………………（7分）
tan t =，
5π
6
t =
，……………………………………………………………………（8分）
故D 的直角坐标为11.2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
……………………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】 解：（1）当1a =时，()1f x -≥化为|1|2|1|10x x +--+≥． 当1x -≤时，不等式化为20x -≥，无解； 当11x -<<时，不等式化为30x ≥，解得01x <≤； 当1x ≥时，不等式化为40x -+≥，解得14x ≤≤， ………………………………（4分）
因此
{|04}.
A x x =≤≤…………………………………………………………………
（5分）
（2）由题设可得121()312112x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩
，，，≤≤，，，
因此函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为210(210)3a A B a -⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，，，， ABC △的面积为
22
(1)3
a +，……………………………………………………………（7分）
由题设得22(1)24053
a a +<≤，≤，
因此a 的取值范畴为
(05]，．……………………………………………………………（10
分）。