2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷

2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I ． 2．（5分）i 是虚数单位，则|
|1i
i
+的值为 ． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 ．
5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 ．
6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为 ． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+„
的一个对称中心是(
3
π
，0)，则ϕ的值为 ． 8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为 ．
9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）
2>-，f （2）3
m
m
=-
，则m 的取值范围是 ． 10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，AB CD =u u u r u u u r
g ．
11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式
21()022
d d
x a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．
12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若
2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = ．
13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、
n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值
(1)k k >，则s p m n -= ．
14．（5分）函数2()()
()()4
x x t x t f x x x t ⎧-⎪
=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零
点，则实数t 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．
15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，
1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．
（1）证明：//MN 平面ABCD ； （2）证明：DE ⊥平面SBC ．
16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b C
a c A B
=-
++． （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若3a =，22b =，求sin(2)B A +的值．
17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，
O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在
线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？
（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．
18．（16分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>．
（13，且点3
在椭圆上， ①求椭圆的方程； ②设3
(1,)P -，R 、S 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴和x 轴相交于点M ，N ，求直线MN 的方程．
（2）设(,0)D b ，过D 点的直线l 与椭圆C 交于E 、F 两点，且E 、F 均在y 轴的右侧，
2DF ED =u u u r u u u r
，求椭圆离心率的取值范围．
19．（16分）已知函数()x
e f x ax alnx x =-+，其中0a >．
（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数1
()()()g x f x a lnx x
=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．
20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．
①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．
2020年江苏省苏州市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．
1．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{|02}B x x =<„，则A B =I {1，2} ． 【解答】解：{0A =Q ，1，2，3}，{|02}B x x =<„； {1A B ∴=I ，2}．
故答案为：{1，2}．
2．（5分）i 是虚数单位，则||1i
i
+的值为 ．
【解答】解：|||
|
1|1|i i i i ===++，
． 3．（5分）已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为340x y ±=，则双曲线的离心率为 54
【解答】解：由渐近线方程为340x y ±=，即渐近线方程为3
4
y x =±，
设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b -=>，则渐近线方程为b y x a =±，即有3
4b a =，
又222222925
1616c a b a a a =+=+=，
即5
4
c a =，
可得54
e =
． 故答案为：
54
． 4．（5分）阅读如图所示的程序框，若输入的n 是100，则输出的变量S 的值是 5049 ．
【解答】解：根据流程图所示的顺序，
该程序的作用是累加并输出10099982S =+++⋯+，
100999825049+++⋯+=Q ，
故答案为：5049．
5．（5分）某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生．为了解学生的课后学习时间，用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查，则应从A 专业抽取的学生人数为 16 ．
【解答】解：某高校数学学院A ，B ，C 三个不同专业分别有800，600，400名学生． 用分层抽样的方法从数学系这三个专业中抽取36名学生进行调查， 则应从A 专业抽取的学生人数为： 800
3616800600400
⨯
=++．
故答案为：16．
6．（5分）在某学校图书馆的书架上随意放着編号为1，2，3，4，5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为
2
5
． 【解答】解：在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1，2，3，4，5的五本书， 某同学从中任意选出2本书， 基本事件总数2510n C ==，
选出的2本书编号相连包含的基本事件有：
(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种，
∴选出的2本书编号相连的概率为42105
p =
=． 故答案为：
25
． 7．（5分）已知函数()cos(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+„的一个对称中心是(
3
π
，0)，则ϕ的值为
6
π
-
．
【解答】解：()f x Q 的一个对称中心是(,0)3π
，
23
2
k π
π
ϕπ∴⨯
+=+
，k Z ∈，
得6
k π
ϕπ=-，k Z ∈，
||2
π
ϕQ „
，
∴当0k =时，6
π
ϕ=-
，
故答案为：6
π
-
8．（5分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，当1AD DC +最小时，三棱锥1D ABC -的体积为
1
3
．
【解答】解：将直三棱柱111ABC A B C -展开成矩形11ACC A ，如图， 连结1AC ，交1BB 于D ，此时1AD DC +最小，
1AB =Q ，2BC =，13BB =，90ABC ∠=︒，点D 为侧棱1BB 上的动点，
∴当1AD DC +最小时，1BD =，
此时三棱锥1D ABC -的体积：
11111
3D ABC C ABD ABD V V S B C --∆==⨯⨯
1111
32
AB BD B C =⨯⨯⨯⨯ 111112323=⨯⨯⨯⨯=． 故答案为：13
．
9．（5分）设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足f （1）
2>-，f （2）3
m m
=-
，则m 的取值范围是 (-∞，1)(0-⋃，3) ． 【解答】解：由题意f （1）2>-，函数是奇函数， 故有(1)2f -<
又周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3， 故f （2）(1)2f =-<
f Q （2）3m m
=-
3
2m m
∴-
< 当0m >时，解得03m << 当0m <时，解得1m <-
所以m 的取值范围是(-∞，1)(0-⋃，3) 故答案为(-∞，1)(0-⋃，3)
10．（5分）如图，在由5个边长为1，一个顶角为60︒的菱形组成的图形中，
AB CD =u u u r u u u r g 4- ．
【解答】解：以中间菱形的对角线为坐标轴建立如图所示的坐标系：
则1(2A ，3)-，1
(2
B -3)，3
C ，3(1,)
D -，
∴(1AB =-u u u r ，23)，(2,3)CD =-u u u r
， ∴264AB CD =-=-u u u r u u u r g ．
故答案为：4-．
11．（5分）等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式
21()022
d d
x a x c +-+…的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 11 ．
【解答】解：Q 关于x 的不等式21()022
d d
x a x c +-+…的解集为[0，22]， 12222
d
a d -
∴=
-，且02d <， 即121
02
a d =-
>， 则111100a a d =+>，121110a a d =+<，
故使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是11． 故答案为：11．
12．（5分）在ABC ∆中，已知边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若
2222sin 3sin 2sin sin sin sin B C A B C A +=+，则tan A = 1- ．
【解答】解：由正弦定理，得：222232sin b c bc A a +=+，
22222
2sin 2b c a b c A bc
+-++∴=
cos 2b c
A c b =++，
sin cos 2b c A A c b
∴-=
+，
∴)4
2b c A c b π
-
=
+… 当且仅当sin()14
A π
-=时，等号成立， (0,)A π∈Q ，(4
4
A π
π
∴-
∈-
，
3)4π，34
A π
∴=
， 3tan tan
14
A π
∴==-． 故答案为：1-．
13．（5分）已知圆22:4O x y +=与曲线:3||C y x t =-，曲线C 上两点(,)A m n ，(B s ，)(p m 、
n 、s 、p 均为正整数），使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值
(1)k k >，则s p m n -= 0 ．
【解答】解：设0(p x ，0)y ，则22
04x y +=， 且P 点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值(1)k k >，
(1)k k =>，
222220000422(422)m n mx ny k s p sx py ⇒++--=++--
⇔222222222224(4)m k s
k p m n k s p ⎧=⎪
=⎨⎪++=++⎩g g 消去m ，n 得222
4
4s p k +=
< 所以1s p ==
，k =2m n ==， 此时0s p m n -=， 故答案为：0
14．（5分）函数2()()()()4
x x t x t f x x x t ⎧-⎪
=⎨>⎪⎩„其中0t >，若函数()[()1]g x f f x =-有6个不同的零
点，则实数t 的取值范围是 (3,4) ．
【解答】解：Q 函数2()()()()4
x x t x t f x x x t ⎧-⎪
=⎨>⎪⎩„其中0t >，
∴函数(3)(),()1,4x t x t x t f x x t --⎧⎪
'=⎨>⎪⎩„，
当3
t
x <
，或x t <时，()0f x '>，函数为增函数， 当3
t
x t <<时，()0f x '<，函数为减函数， 故当3
t
x =
时，函数()f x 取极大值3427t ，
函数()f x 有两个零点0和t ，
若函数()(()1)g x f f x =-恰有6个不同的零点， 则方程()10f x -=和()1f x t -=各有三个解， 即函数()f x 的图象与1y =和1y t =+各有三个零点， 由1|44
x t t
y x ==
=， 故3341427414
27t t t t t ⎧<<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，
3241
1(3)(23)02727
t t t t --=-+>得：3t >， 故不等式的解集为：(3,4)t ∈， 故答案为：(3,4)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步驟．
15．（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，
1AB AD ==，2DC SD ==，M ，N 分别为SA ，SC 的中点，E 为棱SB 上的一点，且2SE EB =．
（1）证明：//MN 平面ABCD ；
（2）证明：DE ⊥平面SBC ．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连AC ，M Q ，N 分别为SA ，SC 的中点，//MN AC ∴， 又MN ⊂/Q 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， //MN ∴平面ABCD ．
（5分） （Ⅱ）连结BD ，222112BD =+=Q ，2221(21)2BC =+-=，
222224BD BC DC +=+==，DB BC ∴⊥，
又SD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，SD BC ∴⊥， SD DB D =Q I ，BC ∴⊥平面SDB ，
DE ⊂Q 平面SDB ，BC DE ∴⊥，
又22426SB SD DB =++= 当2SE ED =时，6
EB ， 在EBD ∆与DBS ∆中，6
3
32
EB BD ==
，236DB BS == ∴
EB DB
BD BS
=
， 又EBD DBS ∠=∠，EBD DBS ∴∆∆∽，
90DEB SDB ∴∠=∠=︒，即DE SB ⊥．
SB BC B =Q I ，
DE ∴⊥平面SBC ．
（12分）
16．（14分）已知ABC ∆的内角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 1sin sin b C
a c A B
=-
++． （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若3a =，22b =sin(2)B A +的值． 【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）Q
sin 1sin sin b C
a c A B
=-
++， 由正弦定理得，
1b c
a c a b
=-
++．⋯⋯（2分） 化简得，222b c a bc +-=．．⋯⋯．⋯⋯（3分）
由余弦定理得，2221
cos 22b c a A bc +-==．⋯
⋯（5分） 又0A π<<，
∴3
A π
=
．⋯⋯（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3
A π
=，
又3a =，22b = sin 6
sin b A B a ∴=
=
g ．⋯⋯（8分） 又b a <，
23
cos 1B sin B ∴=-=
⋯⋯（9分） 22
sin 22sin cos B B B ∴==
⋯（10分） 21
cos212sin 3
B B =-=-，⋯⋯（11分） 223
sin(2)sin(2)sin 2cos cos2sin 333
B A B B B πππ
-∴+=+=+=
⋯⋯（13分） 17．（14分）某学校在平面图为矩形的操场ABCD 内进行体操表演，其中40AB =，16BC =，
O 为AB 上一点，且8BO =，线段OC 、OD 、MN 为表演队列所在位置(M ，N 分别在
线段OD 、OC 上），点P 为领队位置，且P 到BC 、CD 的距离均为12，记OM d =，我们知道当OMN ∆面积最小时观赏效果最好． （1）当d 为何值时，P 为队列MN 的中点？
（2）怎样安排M 的位置才能使观赏效果最好？求出此时d 的值．
【解答】解：（1）以O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，过O 垂直于AB 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则(8,16)C ，(8,0)B ，(4,4)P -． :2OC y x ∴=；OC OD ⊥Q ，可得1
:2
OD y x =-，
设(2,)M m m -，(,2)N n n ，(0,0)m n >>，
P Q 为MN 的中点，
∴2828m n m n -+=-⎧⎨+=⎩∴24585m n ⎧=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
此时4824
(,)55
M -
，245d =；⋯．（7分）（建系2分） （2）PM PN k k =Q ，∴424
244
m n m n --=
-++，4125m n mn ∴+=， OC OD ⊥Q ，∴15
22OMN S OM ON mn ∆==g
Q 412583m n mn mn +=24
35
m n ==时取等号， ∴19225mn …
．∴596
25
OMN S mn ∆=…，此时245d =．
答：（1）当245
d =
时，P 为队列MN 的中点； （2）当点M 满足245
d =
时，观赏效果最好．⋯．（16分）（答1分）
18．（16分）已知椭圆
22
22
:1(
0)
x y
C a b
a b
+=>>．
（1）若椭圆的离心率为
3
，且点
3
(1,)在椭圆上，
①求椭圆的方程；
②设
3
(1,)
P--，R、S分别为椭圆C的右顶点和上顶点，直线PR和PS与y轴和x轴相交于点M，N，求直线MN的方程．
（2）设(,0)
D b，过D点的直线l与椭圆C交于E、F两点，且E、F均在y轴的右侧，
2
DF ED
=
u u u r u u u r
，求椭圆离心率的取值范围．
【解答】解：（1）①Q椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>
3
，且点
3
)在椭圆上，
∴
22
222
3
3
14
1
c
a
a b
a b c
⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
+=
⎨
⎪
=+
⎪
⎪
⎪
⎪⎩
，解得2
a=，1
b=，
∴椭圆的方程为2
214
x y +=．
②(1,P -，R 、S 分别为椭圆22:14x C y +=的右顶点和上顶点，直线PR 和PS 与y 轴
和x 轴相交于点M ，N ，
(2,0)R ∴，(0,1)S ，
∴
直线2:
212y PR x =---
60y --=
，(0,M ∴，
直线112:
1
y PS x
--=-
，即2)220x y -+=
，4N ∴，0)， ∴直线MN
的方程为：
3y x
+
=
，即y =
（2）设1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ，Q 2DF ED =u u u r u u u r ，∴21
21
322x b x y y =-⎧⎨=-⎩．
根据题意22
1122
22
11221(32)41
x y a b b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩
，解得22134a b x b +=， 连SD ，延长交椭圆于点Q ．
直线SD 的方程为0x y b +-=，代入椭圆方程解得Q 点的横坐标2222Q a b
x a b =+，
所以，2222
2
3204a b a b
b a b +<<+，即4224430a a b b -+<， 解得2223b a b <<，即2223()a a
c <-，
∴2223
c a <
，c a <
∴椭圆离心率e
的取值范围为． 19．（16分）已知函数()x
e f x ax alnx x =-+，其中0a >．
（1）若函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）若函数1
()()()g x f x a lnx x
=++有三个极值点1x ，2x ，3x ，求证：1231112x x x ++>．
【解答】解：（1）由函数()x
e f x ax alnx x
=-+，其中0a >，
得22(1)(1)(1)()
()x x x e a x x e ax f x x x x ----'=+=
， 由函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，
故2
(1)()
()0x x e ax f x x --'=…，
即0x
e ax -…恒成立，即(1)x
e a x x
>„恒成立．
令()x e g x x =，则2(1)()0x
x e g x x -'=>，
因此()x
e g x x =在区间(1,)+∞上单调递增，
所以0a e <„．
（2）由()2x e a g x ax alnx x x =-++，则222(1)21(1)[(1)]
()(1)x x x e x e a x g x a x x x x ----'=--+=
． 由题意则()0g x '=有三个根，则(1)0x e a x --=有两个零点1x 、2x ，且1x 、2(1,)x ∈+∞， 由10x -=有一个零点，则31x =， 令()(1)x p x e a x =--，则()x p x e a '=-，
∴当x lna =时()p x 取极值，(,)x lna ∈+∞时()p x 单调递增，
()(1)0p lna a a lna ∴=--<，则2a e >时(1)0x e a x --=有两零点1x ，2x ，且121x lna x <<<， 要证：
123
111
2x x x ++>， 即证1213231232x x x x x x x x x ++>（其中31)x =，即证：1212x x x x +>，即12(1)(1)1x x --<， 由11(1)x e a x =-，22(1)x e a x =-，则12212(1)(1)x x e a x x +=--， 即证：122212(1)(1)x x e a x x a +=--<； 等价于122x x lna +<，等价于212x lna x <-，
由()p x 在(,)lna +∞上单调递增，即证：21()(2)p x p lna x <-， 又12()()p x p x =，则证11()(2)0p x p lna x --<， 令()()(2)G x p x p lna x =--，1x lna <<，
2()(1)(21)22x lna x x G x e a x e a lna x e ax alna -∴=---+--=--+． ()20x G x e a ∴'=+…恒成立，
则()G x 为增函数，
∴当1x lna <<时，()()0G x G lna <=，
1213231232x x x x x x x x x ∴++>，∴原结论成立．
20．（16分）已知数列{}n a 的通项公式2(1)n n n a =--，*n N ∈．设1n a ，2n a ，⋯，t n a （其中12t n n n <<⋯<，*)t N ∈成等差数列． （1）若3t =．
①当1n ，2n ，3n 为连续正整数时，求1n 的值； ②当11n =时，求证：32n n -为定值； （2）求t 的最大值．
【解答】解：（1）①依题意，1n a ，11n a +，12n a +成等差数列，即111122n n n a a a ++=+， 从而11111111222[2(1)]2(1)2(1)n n n n n n ++++--=--+--， 当1n 为奇数时，解得124n =-，不存在这样的正整数1n ； 当1n 为偶数时，解得124n =，所以12n =．（3分） ②依题意，1a ，_2n a ，3n a 成等差数列，即_2132n n a a a =+， 从而33222[2(1)]32(1)n n n n --=+--，
当2n ，3n 均为奇数时，321221n n --=，左边为偶数，故矛盾； 当2n ，3n 均为偶数时，3221221n n ---=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为偶数，3n 奇数时，321225n n +-=，左边为偶数，故矛盾； 当2n 为奇数，3n 偶数时，321220n n +-=，即321n n -=．（8分） （2）设s a ，r a ，()t a s r t <<成等差数列，则2r s t a a a =+， 即2[2(1)]2(1)2(1)r r s s t t --=--+--， 整理得，1222(1)(1)2(1)s t r s t r ++-=-+---，
若1t r =+，则2(1)3(1)s s r =-+--，因为22s …
，所以(1)3(1)s r -+--只能为2或4，
所以s 只能为1或2；（12分）
若2t r +…，则1214322222222210s t r s r r ++++-+-+-=厖，(1)(1)2(1)4s t r -+---„， 故矛盾，
综上，只能1a ，r a ，1r a +成等差数列或2a ，r a ，1r a +成等差数列，其中r 为奇数， 从而t 的最大值为3．（16分）。