+24.3三角形一边的平行线+(1)+课件+ 2023—2024学年沪教版(上海)数学九年级第一学期

所得的对应线段成比例,那么这条直线平行
于三角形的第三边.
三角形一边的平行线判断定理推论 如果一条
直线截三角形的两边的延长线(在第三边的同侧)
所得的对应线段成比例,那么这条直线平行
于三角形的第三边.
A
AD DE AB BC
E´
AD DE
AB BC
D
E
这里DE=DE´
B
C ∴DE∥BC?
例题: DE∥BC,
E
B
C
若DE∥BC,且
,那么
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
等底同高 同底等高
同高则等底即AE=CE
直线 与BC平行而进行移动, 那么
A
D
E
L
B
C
直线 与边AB,AC的延长线相交,那么
A
B
C
D
EL
还可以得到哪些比例式？
三角形一边的 平行线
平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边的延长线）所得的对应线段成比例。
如图,大正方形的边长为2,小正方形的 边长为1,那么CP∶PF=？
A
D
2∶3
GF
HP
B
C
E
求AF：CF的值.
A
F
E
B
D
C
解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
2x nF
PE
3x
2k 2x n k
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
2x
nF
E
2k
n
2x Q
kx
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法3：
过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
4y
4h
n E n
D CF
直线 与边AB,AC的反向延长线相交,那么
E
DL
A
A´
B
C´ C
还可以得到哪些比例式？
当 l1∥l2∥l3 ,AB BC时
AB DB BC BF AB DB AC DF BC BF AC DF
A
D l1
BE
l2
F
C l3
BC BF AC BD
平行线分线段成比例定理:
当 l1∥l2∥l3,
顶点对边中点的距离的两倍.
A
若
,那么DE∥BC?
D
E
B
C
∴等高,推出□,∴DE∥BC
三角形一边的平行线判断定理 如果一条直线
截三角形的两边所得的对应线段成比例,那
么这条直线平行于三角形的第三边.
A
D
E
B
C
推出DE∥BC
三角形一边的平行线判断定理推论 如果一条 直线截三角形的两边的延长线(在第三边的同侧)
如果
ac bd
，那么
ab cd bd
。
拓展：
如果
ac bd
，那么
ac ba dc
。
如果
ac bd
，那么
ac ab cd
。
A
长
P
短
B
全
长 全
5 1 2
短 全
3 2
5
长 短
5 1 2
短 长
5 1 2
A
C
B
C
黄金矩形
A
D
AC 5 1 AB 2
B
A D
若DE是△ABC的中位线,那么
(2)DE∥BC
A
F
E 请说出各个结论……
G
B
C
练习：DE∥BC, 2BC=3ED,AC=8,AE=?
E
D
A
B
C
课堂练习p13---24.3（1） p15---24.3（2）
如在果的一直条线直所线得平的行对若三应：角线B形段C的成//一比D边例E ，。那么截其它两边所
如果一条直线平行则三：角形的一边，那么截得的三角形
则有 DE=EF.
A
D l1
B
E l2
C
F l3
例题: ∥ ∥ ,AB=3,AC=8,DF=10.求DE,EF的长.
A
D
略
B
E
C
F
BE,CF是△ABC的中线,交于点G,
求证:
A
F
E
G
B
C
三角形的三条中线交于一点,这点叫做 三角形的重心
三角形的重心到一个顶点的距离,等于 它到这个顶点对边中点的距离的两倍.
A
如果： BE // CF
DE
那么：AB AE
BC EF
B
C
E
D
A
BA E
CB
CF
如果：BE // CF
求证：AB AE BE
BC EF CF
A
E
D
三角形一边的 平行线性质的推论： A
DE
平行于三角形一边的直
BA E
线截其他两边所在的直线，
截得B的三角形C的三边与原三 C B 角形的三边对应成比例。
AB BC时
AB DE BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例.
若：BC // DE 则：
A
A
E
D
A
D
EB
C
B
CD
EB
C
平截“A” 型
平截“X” 型
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，
那么在其它直线上截得的线段也相等.
例如：
当 l1∥l2∥ l3 ， AB=BC 时，
Fy h
S
5y
2h
B
D
C
AF：CF=2：3.
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
A
n
4y F
4h
E n
6y 5y hh
B
D TC
AF：CF=2：3.
拓展与提高
一直线截△ABC三边AB,AC,BC或其延长线于
D,E,F,求证;
A
D E
B
F C
提示过A作BC的平行线交FD的延长线于G
拓展与提高
A
E中 F
B
D
C
求：BE：EF的值. 解法1：
过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
P
n E y
F ?yy
n
2k
k
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD 2,
FE AE
PF DC
∴PE=EF BP=2PF=4EF， A
所以BE=5EF
∴BE：EF=5：1.
4?y
P
n E y
F y
n
2k
k
B
D
C
解法2： 过点D作BF的平行线交AC于点Q，
A
n E
F y
2k
n ?2y k Q
B
D
C
解法2：
过点D作BF的平行线交AC于点Q，
则 DQ DA 2， BF BC 3,
EF EA
DQ DC
∴ BE BF EF
3DQ EF 6EF EF 5EF，A
A
F E
D C
B
求证:EF∥DC
例题6 已知线段a,b,c.求作线段x,使a∶b=c∶x
N
a
b
x
c
Oa
b
M
作法略
练习：P18—24.3(3) P20—24.3(4)
当 l1∥l2∥l3,
AB BC时
AB DE BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例.
2k
D ?k T?k C
解法4：
过点E作AC的平行线交BC于点T，
则DT CT 1 DC， BE BT ；
2
EF TC
∵BD=2DC，
∴BT 5 DC，
2
∴BE：EF=5：1.
B
A
nF Ey
?5y n
2k
D TC
练习：
如图，D是△ABC的BC边上的点， BD：DC=2：1，
E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F,
若：BC // DE 则：
A
A
E
D
A
D
EB
C
B
CD
EB
C
平截“A” 型
平截“X” 型
如果一条直线截三角形的两边所在的直线所得
的对应线段成比例,那么这条直线平行于三
角形的第三边.
A
E
D
A
D
E
B
C
推出DE∥BC
B
C
注意：只是侧面之比
例题： 如图，D是△ABC的BC边上的点，
BD：DC=2：1，E是AD的中点, 连结BE并延长交AC于F, 求：BE：EF的值.
∴BE：EF=5：1.
B
n E
F y
?5y 2k
n
2y k Q
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
nF E ?k S
2k n k
B
D
C
解法3： 过点E作BC的平行线交AC于点S，
A
?5yy
n E
y FS
2k n k
B
D
C
解法4： 过点E作AC的平行线交BC于点T，
A nF E
n
B
相似形：对应角相等；对应边成比例
a:b=c:d ad=bc 。 比例的基本性质 a:b=b:c b²=ac 。
合比性质 如果 a c ，那么 a b c d 。
bd
bd
等比性质
如果 a c m（b d n 0），
bd
n
那么 a c m a bd n b
合比性质
的三边与原三角形的三边对应线段成比例。
A
A
E
D
A
D
EB
C
B
CD
EB
C
平截“A” 型
平截“X” 型
当 l1∥l2∥l3,
AB BC时
AB DE BC EF
A B C
D l1 E l2
F l3
三条平行线截两条直线，所得的 对应线段成比例.
三角形的三条中线交于一点,这点叫做三角形Leabharlann 的重心AF
E
G
B
C
三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个