振动习题——精选推荐

振动习题
例1：提升机系统重物重量N W 51047.1?=钢丝绳的弹簧刚度 cm N k /1078.54
=重物以v=15m/s 的速度匀速下降时求：绳的上端突然被卡住时，（1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最⼤张⼒。

解：振动频率s rad W
gk
/6.190==
ω重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置
则 t=0 时，有： 00=x v x =0&
振动解：
)()6.19sin(28.1)sin()(00
cm t t v
t x ==
ωω )sin()cos()(00
00t x t x t x ωωω&+
=
振动解： )( )6.19sin(28.1)sin()(00
cm t t v
t x ==
ωω
绳中的最⼤张⼒等于静张⼒与因振动引起的动张⼒之和：
)(1021.21074.01047.1555max N kA W kA T T s ?=?+?=+=+=
由于km v v
k
kA ==0
ω为了减少振动引起的动张⼒，应当降低升降系统的刚度
例2：重物落下，与简⽀梁做完全⾮弹性碰撞梁长 L ，抗弯刚度 EJ
求：梁的⾃由振动频率和最⼤挠度
解：取平衡位置以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建⽴坐标系静变形λ由材料⼒学：
EJ mgl 483
=
λ⾃由振动频率为：
λωg =0348ml EJ
=
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
λ
-=0x
gh x 20=&
则⾃由振动振幅为：2
00
2
0???? ??+=ωx x A &λλh 22
+=
梁的最⼤扰度：λλ+=A max
)
sin()cos()(00
00t x t x t x ωωω&+
=
例：圆盘转动
圆盘转动惯量 I
θ
k 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产⽣单位转⾓所需的⼒矩在圆盘的静平衡位置上任意
选⼀根半径作为⾓位移的起点位置由⽜顿第⼆定律：
=+θθθk I && 扭振固有频率
020=+θωθ&& I k /0θω= 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，⾓振动与直线振动的数学描述是完全相同的。

如果在弹簧质量系统中将 m 、k 称为⼴义质量及⼴义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适⽤于⾓振动。

以后不加特别声明时，弹簧质量系统是⼴义的。

0=+kx x m && 0=+θθ
θk I && m k /0=ω I k /0θω=
例3：弹簧－质量系统沿光滑斜⾯做⾃由振动
斜⾯倾⾓ 30质量 m=1kg 弹簧刚度 k=49N/cm 开始时弹簧⽆伸长，且速度为零重⼒⾓速度取求：系统的运动⽅程
解：
以静平衡位置为坐标原点建⽴坐标系振动固有频率：
)/(70 1/1049/20s rad m k =?==ω
振动初始条件：
030sin ?=mg kx
)
(1.00cm x -=初始速度：
0=x &
运动⽅程：)()70cos(1.0)(cm t t x -= )
sin()cos()(00
00t x t x t x ωωω&+
=
例4：如图所⽰是⼀个倒置的摆
摆球质量 m
静平衡位
弹簧原长位置
刚杆质量忽略每个弹簧的刚度 2k
求:(1) 倒摆作微幅振动时的固有频率
(2) 摆球kg m 9.0=时，测得频率f 为HZ 5.1，kg m 8.1=时，测得频率为HZ 75.0，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态解法1：
⼴义坐标θ平衡位置1
动能
2222121θθ&&ml I T ==
势能
()()θθcos 1212122
--??? ???=mgl a k V 2
2222sin 2112121 ???? ????? ??---=θθmgl ka )(21 222θθmgl ka -=2
2)(21
θmgl ka -=
max max U T = max 0max θωθ=& 220ml mgl
ka -=ω
解法2：
平衡位置2
动能
2222121θθ&&ml I T ==
势能
()θθcos 212122
mgl a k V +??? ???=?
-+=2sin 2121 222θθmgl ka 2222121 θθmgl mgl ka -+=
mgl mgl ka +-=22)(21
θ
0)(2222=-+θθθθ&&&&mgl ka ml 0)(2222=-+θθmgl ka ml && 220ml mgl
ka -=ω
()0=+U T dt d
例5：均质圆柱质量m ，半径R 与地⾯纯滚动在A 、B 点挂有弹簧确定系统微振动的固有频率
解：
⼴义坐标：圆柱微转⾓
圆柱做⼀般运动，由柯希尼定理，动能：
22)23(21θ&mR T =
C 点为运动瞬⼼
A 点速度：θ&
)(a R v A += θ)(a R x A += B 点速度：θ&
)(b R v B -= θ)(b R x B -=
势能：2
22221))(2(21
))(2(21θθb R k a R k U -++= max
0max max max ,
θωθ==&U T
])1()1([342/3])()([22
2212
22212
R b k R a k m mR b R k a R k -++=-++=ω
])1()1([3422210R b k R a k m -++=
ω
例6：铅垂平⾯内⼀个滑轮-质量-弹簧系统滑轮为匀质圆柱，绳⼦不可伸长，且与滑轮间⽆滑动，绳右下端与地⾯固结。

确定系统微振动的固有频率解：
⼴义坐标：质量块的垂直位移 x
动能：
2222)2)(21(21)21(2121R x MR x M x m T &&&++=
)8141(21x M M m &++=
2
)83(21x
M m &+=
势能：
2122)21(2121x k x k U +=
212)41
(21x k k +=
⼴义坐标：质量块的垂直位移 x
动能：
2
)83(21x M m T &+=
势能：2
12)41(21x k k U +=
max
0max max max ,
θωθ==&U T
m M k k 83822
120++=
ω
m M k k 8382210++=
ω例7：杠杆系统杠杆是不计质量的刚体求：系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
解法1：能量法
动能：212221)(2121x l l m x m T &&+=2
221221)(21x m l l m &+=等效质量：2
21
21m l l m M e +=
势能：21322
1)(2121x l l k x k V +=2
221
231)(21x k l l k +=
等效刚度：
2
212
31k l l k K e +=固有频率：e e M K /0=ω
解法2：定义法
设使系统在x ⽅向产⽣单位加速度需要施加⼒P 则在m1、m2上产⽣惯性⼒，对⽀座取矩：2122111)()1(l l l m l m Pl ?+?= 2
21
2
2
1m l l m P M e +==
设使系统在x 坐标上产⽣单位位移需要施加⼒P 则在k1、k2处将产⽣弹性恢复⼒，对⽀点取矩：3132111)()1(l l l k l k Pl ?+?= 2
212
31k l l k P K e +==
例8：阻尼缓冲器
静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置得最⼤位移为初始位移的 10％求：缓冲器的相对阻尼系数ζ解：由题知 0)0(=x &设0)0(x x =
)
sin cos ()(0
0000t x x t x e t x d d
d t ωωζωωζω++
=-&
求导：t
e x t x d t
d
ωωωζωsin )(0
020--=&设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最⼤位移，这时
速度为： 0sin )(10201
0=-=-t e x t x d t
d
ωωωζω&
d t ωπ=
1即经过半个周期后出现第⼀个振幅 x1 2
1
010011
)(ζπζ
ζω--
--=-==e x e x t x x t
由题知
%
102
10
1
==--
ζπζ
e x x 解得：59.0=ζ
例9：⼩球质量 m 刚杆质量不计求：（1）写出运动微分⽅程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率
解：⼴义坐标θ受⼒分析
⼒矩平衡：0=?+?+?b b k a a c l l m θθθ&&& 02
22=++θθθkb ca ml &&&
⽆阻尼固有频率：
2
20ml kb =ωm k
l b = 022
2ξω=ml ca
022
2ωξml ca =k m
mlb ca 22=
阻尼固有频率：
2
01ξ
ωω-=d 4
2222
421a c l kmb ml -=
1=ξ
mk a bl
c cr 22=
0=++kx x c x m &&&
02200=++x x x ωζω&&& 例10：计算初始条件，以使t F kx x m ωsin 0=+&&的响应只以频率
ω
振动
解：
k F B 0=
ωω
0=s t F kx x m ωsin 0=+&&的全解：
t s B
t s Bs t x t x t x t x t x ωωωωωsin 1sin 1sin cos )()()(2 200
0021-+--
+
=+=&
如果要使系统响应只以ω为频率振动
必须成⽴：
00=x 2
1s Bs x -=
ω& 初始条件：00=x 20
01s Bs x -=ω&
t
F kx x m ωcos 0=+&&
全解：
t s B
t c t c t x ωωωcos 1sin cos )(20201-+
+=
由
)0(x x =
2011s B
x c --
=
t s B t c t c t x ωω
ωωωωcos 1cos sin )(2
002001-+
+-=&
)0(x x &&=
20ωc x =&
02/ωx c &=
全解：t s B t c t c t x ωωωcos 1sin cos )(20201-++= 2011s B x c --= 002ωx c &= t s B t x t s B x t x ωωωωcos 1sin cos )1()(2 00
020-++--
=&
t s B
t s B t x t x ωωωωωcos 1cos 1sin cos 2
0200
00-+--
+
=&
例11：汽车的拖车在波形道路上⾏驶，已知拖车的质量满载时为 m1=1000 kg 空载时为 m2=250 kg 悬挂弹簧的刚度为 k =350 kN/m 阻尼⽐在满载时为5.01=ξ车速为 v =100 km/h
路⾯呈正弦波形，可表⽰为
l z
a x f π2sin
=求：拖车在满载和空载时的振幅⽐
x
解：汽车⾏驶的路程可表⽰为：vt z =因此：
t l v
a x f π2sin
=
路⾯的激励频率：
s
rad l v
/9.342==
πω得：
km c c cr ξξ2== 因此得到空载时的阻尼⽐为：
0.12
1
1
2==m m ξξ
满载和空载时的频率⽐：
87.11011===
k m s ωωω93.02
022===k m s ωωω
因为有：km c cr 2= 0
2ξω=m c
满载时阻尼⽐5.01=ξ空载时阻尼⽐0.12=ξ满载时频率⽐87.11=s 空载时频率⽐93.02=s
记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2
有：
68.0)
2()1()2(12112212111=+-+=s s s a B ζζ
13.1)
2()1()2(12222222
222=+-+=s s s a B ζζ
因此满载和空载时的振幅⽐：60.021
=B B
例12：已知梁截⾯惯性矩I ，弹性模量E ，梁质量不计⽀座A 产⽣微⼩竖直振动t d y A ωsin =求：质量m 的稳态振动振幅
解：在质量m 作⽤下，由材料⼒学可求出静挠度
A
y
固有频率：δω/0g =
f x 因y A 的运动⽽产⽣的质量m 处的运动t a bd y a b x A f ωsin )/()/(== 动⼒学⽅程：0)(=-+f x x k x m && t a kbd kx x m ωsin )/(=+&&
振幅：211/s k a kbd x -?= 2
11
s
a bd -?= 0ωω=s。