§2.2 微分方程式的建立与求解

1
i (t ) C = 1F
iC (t )
i L (t )
e (t ) = 2 V
1 H 4 3 R2 = Ω 2 L=
求解
退出
解
（1）列写电路的微分方程根据电路形式，列回路方程：
R1 i (t ) + v c (t ) = e (t ) d v C (t ) = L i L (t ) + i L (t )R2 e(t ) = 4V
1 B= 3
r (t ) = ∑ Ai e α i t + r p (t )
i =1
n
退出
表2-2 与几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
p46
E (常数 )
tp e
αt
B(常数 )
B1t p + B2 t p −1 + L + B p t + B p +1
Be
αt
e (t )
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例2-1求并联电路的端电压 v (t )与激励 i s (t ) 间的关系。 解 电阻 iR (t ) = 1 v (t ) R 1 t R i s (t ) ( ) ( ) i t = v τ d τ 电感 L L ∫− ∞ 电容 iC (t ) = C dv (t ) dt 根据KCL iR (t ) + iL (t ) + iC (t ) = iS (t )
−5t
8 + 5
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(t ≥ 0 + )
解(3)
换路前
d 确定换路后的 i (0 + )和 i (0 + ) dt 2 4 i (0 − ) = i L (0 − ) = = A R1 + R2 5
4 3 6 v C (0 − ) = × V = V 5 2 5
2
d i (0 − ) = 0 dt
S
1
R1 = 1Ω
e (t ) = 4V
i (t ) C = 1F
iC (t )
i L (t )
e (t ) = 2 V
1 H 4 3 R2 = Ω 2 L=
退出
换路后的
i (0 + )和
d i (0 + ) : dt
由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, 因而有:
1 [e(0 + ) − v C (0 + )] = i (0 + ) = R1 1⎛ ⎜4 − 1⎝ 6⎞ 14 A ⎟A = 5⎠ 5
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特
例2-3
d d3 d2 求微分方程 3 r (t ) + 7 2 r (t ) + 16 r (t ) + 12r (t ) = e (t ) dt dt dt 的齐次解. 解 系统的特征方程为 α 3 + 7α 2 + 16α + 12 = 0
(α + 2) (α + 3) = 0
2
特征根：α 1 = −2(重根 ) , α 2 = −3 因而对应的齐次解为
(α + 2)(α + 5) = 0
(t ≥ 0 + )
方程右端的自由项为 4 × 4,因此令特解i p (t ) = B, 代入式(1)
10 B = 4 × 4 16 8 ∴B = = 10 5
− 2t
特解 : 由于t ≥ 0 + 时
e (t ) = 4V
要求系统的完全响应为
i (t ) = A1 e + A2 e
若系统为时不变的，则C，E均为常数，此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
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四、求解系统微分方程的经典法
分析系统的方法：列写方程，求解方程。 ⎧列写方程 : 根据元件约束 , 网络拓扑约束 ⎪ ⎧经典法 ⎪ ⎪ ⎪ ⎧ 零输入 : 可利用经典法求 ⎨ ⎪ ⎪解方程 : ⎨双零法 ⎨ 零状态 : 利用卷积积分法求解 ⎩ ⎪ ⎪ ⎪变换域法 ⎪ ⎩ ⎩ 求解方程时域经典法就是：齐次解+特解。 [P46—例2-4(特解), P45例2-3(重根的齐次解)， P48—例2-5(全解)] 在数学课中已经学过，我们请大家自己看书复习。
方程的特解。
解 (1) 将e (t ) = t 2 代入方程右端 , 得到 t 2 + 2t , 为使等式两端
2 ( ) r t = B t + B2 t + B3 1 平衡，试选特解函数式 p
这里 , B1 , B2 , B3为待定系数。将此式代入方程得到
3 B1 t 2 + (4 B1 + 3 B2 )t + (2 B1 + 2 B2 + 3 B3 ) = t 2 + 2t
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二、微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。 •对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻，电容，电感各自的电压与电流的关系，以及 四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL.
iR L iL C
ic
+
a
v (t )
−
b
代入上面元件伏安关系，并化简有 diS (t ) d 2 v (t ) 1 dv (t ) 1 + + v (t ) = C 2 dt R dt L dt 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
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三、n 阶线性时不变系统的描述
一个线性系统，其激励信号e(t )与响应信号r (t )之间 的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述 （见书上44页公式2－9）：
退出
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
αk t A e 注意重根情况处理方法。 例2-3 ∑ k
k =1 n
解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式（其形式参考p46表2-2）→ 代入原方程，比较系数定出特解。 例2-4 全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。 我们一般将激励信号加入的时刻定义为0，响应 为t ≥ 0 + 时的方程的解，初始条件 例2-5 n −1 + 2 + + dr ( ) d r ( ) d r ( ) 0 0 0 + r (0 ) , , , L, 2 dt dt dt n−1 初始条件的确定是我们课程一定要解决的问题。（不 同于数学，用一个常数C表示，就算微分方程解完了）
1 ⎡d d d ⎤ A ( ) ( ) 0 − 0 = − 2 i (0 + ) = e v + C + ⎥ s dt dt dt R1 ⎢ ⎣ ⎦
2
S
1
R1 = 1Ω
P50
e (t ) = 4V
iC (t ) i (t ) C = 1F
i L (t )
e (t ) = 2 V
1 L= H 4 3 R2 = Ω 2
rh (t ) = ( A1 t + A2 )e −2 t + A3 e −3 t
退出
例2-4
给定微分方程式
d 2 r (t )
de (t ) dr (t ) +2 + 3r (t ) = + e (t ) 2 dt dt dt (1) e (t ) = t 2 ; (2) e (t ) = e t ,分别求两种情况下此 如果已知：
)
p −1
+ L + D p t + D p +1 e α t sin (ω t )
退出
)
例2-5
给定如图所示电路， t < 0开关 S处于1 的位置而且已经达 到稳态； 当t = 0时S由1转向2.建立i (t )电流的微分方程并求
解i (t )在t ≥ 0+ 时的变化。
2
S
R1 = 1Ω
e (t ) = 4V
dt
2 1
S
R1 = 1Ω
iC (t ) i (t ) C = 1F
i L (t )
e (t ) = 2 V
先消去变量 vC (t ), 再消去变量i L (t ), 把电路参数代入整理的 :
d d2 d i (t ) + 7 i (t ) + 10i (t ) = 2 e (t ) + 6 e (t ) + 4e (t ) （1） 2 dt dt dt dt d2
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解(2)
当e (t ) = e t 时, 很明显 , 可选 r (t ) =Be t 。 这里，B是待定系数。
代入方程后有：
Be + 2 Be + 3 Be = e + e
t t t t t
1 t 于是 , 特解为 e . 3 上面求出的齐次解 rh (t )和特解 r p (t )相加即得方程的完全解
§2.2系统微分方程的建立与求解
主要内容 物理系统的模型 微分方程的列写 n阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法 重点 难点
BUPT EE 退出 开始
n阶线性时不变系统的描述 复习求解系统微分方程的经典法
一、物理系统的模型
•许多实际系统可以用线性系统来模数微分方程来描述。
d nr (t ) d n−1r ( t ) dr ( t ) + C1 + L + C n−1 + C n r (t ) C0 n n −1 dt dt dt d m e( t ) d m −1e( t ) de( t ) = E0 + E1 + L + E m −1 + E m e( t ) m m −1 dt dt dt
cos(ω t ) sin (ω t )
t p e α t sin (ω t ) t p e α t cos (ω t )
B1 cos(ω t ) + B2 sin (ω t )
(B t + B t + (D t + D t
1 p 2 1 p 2
p −1
+ L + B p t + B p +1 e α t cos(ω t )
退出
解(4)
求i (t )在t ≥ 0 + 时的完全响应
i (t ) = A1 e
− 2t
由i (t )的表示式
+ A2 e
−5t
8 + 5
(t ≥ 0 + )
4 ⎧ A1 = ⎪ ⎪ 3 ⎨ ⎪A = − 2 2 ⎪ 15 ⎩
8 14 ⎧ i (0 + ) = A1 + A2 + = ⎪ ⎪ 5 5 ⎨ ⎪ d i (0 ) = −2 A − 5 A = −2 + 1 2 ⎪ ⎩ dt
求得
⎛ 4 − 2t 2 −5t 8 ⎞ 要求的完全响应为 i (t ) = ⎜ e − e + ⎟ A 15 5⎠ ⎝3
(t ≥ 0 + )
退出
d 列结点方程 i (t ) = C vC (t ) + i L (t ) dt
1 H 4 3 R2 = Ω 2 L=
P48
退出
解(2)求系统的完全响应
系统的特征方程： α 2 + 7α + 10 = 0 α 1 = −2,α 2 = −5 特征根：
−2 t −5 t ( ) i t = A e + A e 齐次解： h 1 2
退出
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
⎧ 3 B1 = 1 ⎪ ⎨4 B1 + 3 B2 = 2 ⎪2B + 2B + 3B = 0 2 3 ⎩ 1
1 2 10 联解得到： B1 = , B2 = , B3 = − 3 9 27
所以，特解为
1 2 2 10 r p (t ) = t + t − 3 9 27