§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)

§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)
一学生起点分析：
本节课是在学生学习了直角三角形角之间的关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题，总结规律。

同时建立比较系统的研究问题的方法，这后面学习正弦、余弦作铺垫。

二教学任务分析
直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之-.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.
本节首光从梯子的倾斜程度谈起。

引入了第-个锐角三角函数--正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角：三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算.
本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解. 教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算.
(二)能力训练要求
1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
(三)情感与价值观要求
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学过程：
一、复习回顾，引入课题
问题1.在直角三角形中，知道一直角边和它所对的锐角是30°，你能求出其它的边和角吗？
问题2.在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其它的边和角吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。

2.5m 2m 5m 5m A B C D E F 1.3m 1.5m
3.5m 4m A B C D E
F A
B 1
C 2
C 1
B 2 一、 讲授新课 1.动手操作 步骤一：让学生拿出事准备好的梯子模型搭在墙上，先用量角器量出不同位置时倾斜角的度数，得出梯子的倾斜程度与倾斜角的变化有关。

步骤二：让学生思考如何用刻度尺来测量出梯子的倾斜程度。

步骤三：通过刚才两组实验，让学生观察梯子的倾斜程度与哪些角或边有关，初步感知梯子的倾斜程度，那么如何去比较在不同位置时梯子的倾斜程度呢？结合实际让大家在刚才两个实验的基础上动手操作，探索以下四个问题。

问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？
（图1）
学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流，最后总结出不同的方法。

方法总结如下：（1）测量 （2）BC 与DF 大小比较.（3）DF ED
BC AC 与
的大小
比较.（4）过E 点作EM ∥AB 等.
问题2：如图2，底与高都不等的两个梯子，哪一个倾斜程度大？
（图2）
问题3：请你来给梯子的倾斜程度下个结论吧。

2.理解正切的概念 做一做
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.
A
B 1
C 2 C 1
B 2
β 6m
┐ 5m 13m ┌ α 8m 甲 乙
议一议
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt △AB1C1和Rt △AB2C2有什么关系?
如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 由此你得出什么结论?
直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数--正切函数
在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定.
在Rt △ABC 中,锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA,即
的邻边的对边
A A A ∠∠=
tan 议一议
如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA 有关吗?与∠A 有关吗?
结论：与tanA 有关:tanA 的值越大,梯子AB1越陡.
与∠A 有关:∠A 越大,梯子AB1越陡.
例题：下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡?
解:甲梯中,
乙梯中，
∵tan β＞tan α,∴乙梯更陡.
A B 1
C 2 C 1 B 2
?
).2(2
22111有什么关系和AC
C
B A
C C B B
C
∠A 的邻边
∠A 的对边 .125
5135tan 22=-=
α.4
3
86tan ==β
100m 60m
┌
α i ┍ 1.5 ┌
A B C
D 议一议
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，
有一山坡在水平方向上每前进100m 就升高60m, 那么山坡的坡度i (即tan α)就是:
结论：坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i (或坡比),即坡度等于坡角的正切.
三、随堂练习
a) 如图,△ABC 是等腰直角三角形,你能根据图中 b) 所给数据求出tanC 吗？
c) 如图,某人从山脚下的点A 走了200m d) 点B.已知山顶B e) 坡的坡度(结果精确到0.001m).
四、课堂小结：
1.tanA 是在直角三角形中定义的,∠A 是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
2.tanA 是一个完整的符号,表示∠A 的正切,习惯省去“∠”号；
3.tanA 是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA ﹥0,无单位.
4.tanA 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 作业：P6 习题1.1 1,2,3题
.
5
310060tan ===αi。