课时跟踪检测(四十九) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

课时跟踪检测(四十九) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2)
D ．(－1，－2)
2．直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程是( ) A ．2x ＋11y ＋38＝0 B ．2x ＋11y －38＝0 C ．2x －11y －38＝0
D ．2x －11y ＋16＝0
3．(2012·衡水模拟)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )
A ．(3,0)
B ．(－3,0)
C ．(0，－3)
D ．(0,3)
4．(2013·佛山模拟)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )
A ．ab ＞0，bc ＜0
B ．ab ＞0，bc ＞0
C ．ab ＜0，bc ＞0
D ．ab ＜0，bc ＜0
5．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为( ) A ．y ＝－13x ＋13
B ．y ＝－1
3x ＋1
C ．y ＝3x －3
D ．y ＝1
3
x ＋1
6．已知点A (1，－2)，B (m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )
A ．－2
B ．－7
C ．3
D ．1
7．(2013·贵阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
8．(2012·常州模拟)过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为________．
9．(2012·天津四校联考)不论m 取何值，直线(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________． 10．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 11．(2012·莆田月考)已知两点A (－1,2)，B (m,3)． (1)求直线AB 的方程；
(2)已知实数m ∈⎣
⎡⎦
⎤－
33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 12.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)
作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝1
2
x 上时，求直线AB 的方程．
1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫π6，π3
B.⎝⎛⎭⎫
π6，π2 C.⎝⎛⎭⎫π3，π2
D.⎣⎡⎦⎤π6，π2
2．(2012·洛阳模拟)当过点P (1,2)的直线l 被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，直线l 的方程为________________．
3．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．
[答 题 栏]
答 案
课时跟踪检测(四十九)
A 级
1．选A 因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．
2．选B 因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x ＋11y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式可得|0＋11＋16|22＋112＝|0＋11＋C |
22＋112
，
解得C ＝16(舍去)或C ＝－38.
3．选D ∵l 1∥l 2，且l 1斜率为2，∴l 2的斜率为2. 又l 2过(－1,1)，∴l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)， 整理即得y ＝2x ＋3.令x ＝0，得P (0,3)．
4．选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b ，易知－a b ＜0且－c
b
＞0，故ab ＞0，bc ＜0.
5．选A 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－1
3x ，再向右平移1个单位，
所得直线的方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋1
3
.
6．选C 线段AB 的中点⎝⎛
⎭⎫
1＋m 2，0代入直线x ＋2y －2＝0中，得m ＝3.
7．解析：设直线l 的斜率为k ，则方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2
k ，令
－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞1
2
.
答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞
8．解析：直线l 过原点时，l 的斜率为－32，直线方程为y ＝－3
2x ；l 不过原点时，设方
程为x a ＋y
a
＝1，将点(－2,3)代入，得a ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.
综上，l 的方程为x ＋y －1＝0或2y ＋3x ＝0. 答案：x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0
9．解析：把直线方程(m －1)x －y ＋2m ＋1＝0，整理得 (x ＋2)m －(x ＋y －1)＝0，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－2，y ＝3.
答案：(－2,3)
10．解：设所求直线方程为x a ＋y
b
＝1，
由已知可得⎩⎨⎧
－2a ＋2
b ＝1，
1
2|a ||b |＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
故直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0. 11．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1； 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1
m ＋1(x ＋1)．
(2)①当m ＝－1时，α＝π
2；
②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣
⎡⎭
⎫－
33， 0∪(0， 3 ]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－ 3 ]∪⎣⎡⎭⎫3
3，＋∞，
∴α∈⎣⎡⎭⎫π6，π2∪⎝⎛⎦⎤
π2，2π3.
综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3. 12．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－
3
3
， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33
x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫
m －3n 2，m ＋n 2，
由点C 在y ＝1
2
x 上，且A 、P 、B 三点共线得
⎩⎨⎧
m ＋n 2＝12·m －3n
2
，m －0m －1＝n －0
－3n －1，
解得m ＝3，所以A (3， 3)．
又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝3
3－1
＝3＋3
2，
所以l AB ：y ＝3＋3
2
(x －1)，
即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.
B 级
1．选B 由⎩⎨
⎧
y ＝kx 2x ＋3y －6＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝
3(2＋3)2＋3k ，y ＝6k －232＋3k .
∵两直线交点在第一象限，⎩⎪⎨⎪⎧
x ＞0，y ＞0，
解得k ＞3
3.
∴直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫
π6，π2.
2．解析：易知圆心C 的坐标为(2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短．由C (2,1)，P (1,2)可知直线PC 的斜率为2－11－2＝
－1，设直线l 的斜率为k ，则k ×(－1)＝－1，得k ＝1，又直线l 过点P ，所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0.
答案：x －y ＋1＝0
3．解：(1)证明：法一：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1， 故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．
法二：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立，
∴x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0，
解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2,1)．
(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，
要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧
k ≥0，
1＋2k ≥0，
解得k 的取值范围是[0，＋∞)．
(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．
又－1＋2k k
<0且1＋2k >0，∴k >0.
故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k (1＋2k )
＝12⎝
⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥1
2(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝1
2
时，取等号．
故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。