人教版九年级数学上册第二十二章二次函数二次函数课件

y =-2x2+40x＝-2×122+40×12
解得a=-1.
探究新知
知识点 2
根据实际问题确定二次函数解析式
根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤：
①审题：仔细审题，分析数量之间的关系，将
文字语言转化为符号语言；
②列式：根据实际问题中的等量关系，列二次
函数关系式，并化成一般情势；
③取值：联系实际，确定自变量的取值范围.
探究新知
素养考点2
素养考点 3
m2 m
是二次函数, 求
2-m=2,m+1≠0

解: 由二次函数的定义得m
解得 m=2.
因此当m=2时，函数为二次函数.
注意 二次函数的二次项系数不能为零.
巩固练习
变式题2
y (a 1) x
a 1
是二次函数，求常数a的值。
解：根据二次函数的定义，得

a 1 2


a 1 0
②式d是n的一次函数？反比例函数？
③式y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式
表示的,这样的函数是什么函数呢？
探究新知
【分析】认真视察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
问题3
y=20（1+x）2
即y=20x2+40x+20③
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对
于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.
探究新知
【思考】函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
d=



2
n
n②
y=20x2+40x+20③
①式y是x的一次函数？反比例函数？
自变量的最高次数是3
(2) y x
x
（否） 右边不是整式
1
(4) y 2
（否） 右边不是整式
x x
(6) v =10πr² （是）
(8) y =2²+2x （否） 自变量的最
高次数是1
探究新知
素养考点 2
利用二次函数的定义求字母的值
例2 关于x的函数 y (m 1) x
m的值.
问题2
多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？
如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从一个顶
点出发,可以作 (n-3) 条对角线.
多边形的对角线总数


M
N
d= n(n-3)




即d= n2- n②
②式表示了多边形的对角线
总条数d与边数n之间的关系,对于
n的每一个值,d都有一个对应值,
即d是n的函数.
探究新知
某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两
年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那
么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而
确定,y与x之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是20(1+x) 件,
20(1+x)2
再经过一年后的产量是
件,即两年后的产量为
建立二次函数的模型
例3 一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜
园，和墙垂直的一边长为xm，菜园的面积为ym2，求y与
x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。当
x=12m时，计算菜园的面积。
解： 由题意得：y=x(40-2x)
xm
y m2 xm
即 y=-2x2+40x
(0<x<20)
当x＝12m时，菜园的面积为
2
②
y

2
x
x(1 2 x ) a=0
×
1
2
④
y


x
× x2
x4 x2
2
⑥
y

=x
2
√ x 1
二次函数：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的情势；
1.掌握二次函数的定义，并能判断所给函
数是否是二次函数.能指出二次函数的项及
各项系数.
探究新知
知识点 1
问题1
二次函数的概念
正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方
形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都
有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以
表示为
y=6x2①
探究新知
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
函数，叫做二次函数。
注意
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x
的 整式.
（2）a,b,c为常数，且 a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次
项和常数项，但不能没有二次项。
【想一想】如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲
线后落到池中央，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直
高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
上面问题中变量之间的关系
可以用哪一种函数来表示？这种
函数与以前学习的函数、方程有
哪些联系？
素养目标
2. 能根据实际问题中的数量关列出二次函数解
析式，并能指出二次函数的项及各项系数.
九年级数学上册
22.1 二次函数的性质和图像
22.1.1 二次函数
导入新知
【思考】 什 么 是 函 数 ， 我 们 学 过 什 么 样 的 函 数 ？
函数
函数名称
解析式
一次函数
y=kx+b (k≠0)
反比例函数
y=
k
x
k ≠0
正比例函数
y=kx(k≠0)
图象
一条直线
双曲线
二次函数
导入新知
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
变式题 下列函数中,哪些是二次函数？
1
1
(1) y=3(x-1)²+1
（是）
(3) s=3-2t² （是）
(5) y=(x+3)²-x²
（否）
整理后，自变量的最高次数是1
(7) y=x²+x³+25（否）
（4）x的取值范围是 任意实数 。
探究新知
二次函数的定义
概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数，叫做二次函数.
二次项
系数
常数项
自变
量
一次项系
数
探究新知
二次函数的情势
二次函数的一般情势:
y＝ax 2 ＋bx＋c
(其中
a 、 b 、 c 是 常 数 ,a ≠ 0 )
二次函数的特殊情势:
当b＝0时， y＝ax2＋c（只含有二次项和常数项）
当c＝0时， y＝ax2＋bx（只含有二次项和一次项）
当b＝0，c＝0时， y＝ax2（只含有二次项）
探究新知
素养考点 1
二次函数的辨认
例1 下列函数中是二次函数的有 ①⑤⑥ 。
2
①
y
=
2
x
2
√
2
2
③
y

x
(
1

x
) 1
×
最高次数是4
⑤
√ y =x( x 1)