数学花园探秘 迎春杯 七年级试卷解析

2015年“数学花园探秘”科普活动 初一年级组初试试卷A 解析版
（测评时间：2014年12月20日10:30—11:30）
一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）
1. 算式()()
2220143
7414 1.51473271355
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+-÷---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫-÷-- ⎪⎝⎭的计算结果是________．
〖答案〗1155
〖作者〗优才教育 陈龙
〖解析〗计算即可得：原式＝
727641
44101215⎛⎫-⨯-- ⎪⎝⎭-＝320129105
-＝11105⨯＝1155．
2. 已知,x y 满足120x y +
=，1
15y x
+=，则24()x y y x +＝________．
〖答案〗50
〖作者〗高思教育 方非
〖解析〗由120xy y +=、115xy x +=，相除立即得204153x y ==，所以3
4
y x =，代入问题即得答案．
3. 在2014年北京APEC 会议期间，京津冀实施道路限行和污染企业停工等措施，来保证空气质量
达到良好水平．在经历了一个月三场霾后，北京11月3日空气达到一级优水平，人们称为“APEC 蓝”．2013年北京优良空气天数为175天，2014年上半年实行减排30%的措施，优良空气天数比2013年同期增加了20天，要达到全年优良空气天数增加20%的目标，2014年下半年需要使优良天气比2013年同期至少增加________天．
〖答案〗15
〖作者〗学而思培优 钱诚 〖解析〗2014年全年比2013年优良空气天数至少增加
17520%35?（天），其中2014年上半年已经增加了20天，还需352015-=（天）．
4. 如图，AB CD ∥，,AC BD 交于O ，,A D ∠∠的角平分线交于
E ．已知50E ∠=︒，那么AOB ∠＝________°．
〖答案〗80
〖作者〗顺天府学 战亚鹏
〖解析〗连接AD ，因为AB CD ∥，所以内错角ABO CDO ∠=∠，
可得+EAO EDO ∠∠＝()1+2BAO CDO ∠∠＝()1
+2
BAO ABO ∠∠＝
()11802AOB ︒-∠＝1
902
AOB ︒-∠， O
E D C
B A O E D
C
B A
又+DAO ADO ∠∠＝AOB ∠，在ADE ∆中
E EAD EDA ∠+∠+∠＝180︒，即()()++180E EAO EDO DAO ADO ∠+∠∠+∠∠=︒，所以
150901802AOB AOB ⎛⎫
︒+︒-∠+∠=︒ ⎪⎝⎭
，可得80AOB ∠=︒．
二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）
5. 若1235234a
b
c
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则代数式5＋bc ―ca ―ab 的值是________．
〖答案〗5
〖作者〗北京资优教育科技中心 陈平
〖解析〗易知,,a b c 非0，则1
11
1115222a a
a
a
a ⨯
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝
⎭
，同理可得1253b
=，1354c =，熟知123234=⨯，即111115555
a b c b c
+=⨯=，所以
111
a b c
=+，去分母即得bc ca ab =+．
6. 设多项式c bx ax x +++24除以一个多项式后商式为()()21++x x ，余式为3+x ；除以另一个多
项式后商式为3+x ，余式为()()21++x x ．则c b a ++的值是________．
〖答案〗111
〖作者〗人大附中 张端阳
〖解析〗记c bx ax x +++24＝()()()()123g x x x x ++++＝()()()()312h x x x x ++++，分别令3,2,1x =---可得()()()()()()()()()()()424242
33331322222311113a b c a b c a b c ⎧-+-+-+=-+-+⎪⎪
-+-+-+=-+⎨⎪-+-+-+=-+⎪⎩
，解得245631a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩．
7. 设n 是大于2004的正整数，使得关于x 的方程()201420041x x n +=+的解为完全平方数的n 的
个数是________．
〖答案〗3
〖作者〗学而思培优 厉程远
〖解析〗整理，得()20142004n x n -=-，易见20140n -≠，可得20042014n x n -=-＝10
12014n
-+
-为非负整数，必有
10
2014n
-为非负整数，所以201410n -且20140n ->，分别试验2014n -＝
1,2,5,10，对应的x 值分别为9,4,1,0都为完全平方数，对应的n 值分别为2013,2012,2009,2004，舍弃2014n =．综上所述，所以合乎要求的解共三个．
8. 一艘观光船从A 海港出发，与此同时，一艘游艇也从A 海港出发，在A 、B 两海港之间往返．游
艇第一次追上观光船与第二次追上观光船相距1920米．当观光船到达B 海港时，游艇刚好第4次到达B 海港．那么，观光船与游艇第一次迎面相遇和第二次迎面相遇的地点相距________米．（水流速度忽略不计）
〖答案〗1440
〖作者〗学而思培优 兰清
〖解析〗由“当观光船到达B 海港时，游艇刚好第4次到达B 海港”可知游艇速度是观光船的
7倍；那么游艇第一次追上观光船在观光船行驶
11
716
=-全程处，游艇第二次追上观光船在观光船行驶31712=-全程处，可求全程距离为111920576026⎛⎫
÷-= ⎪⎝⎭
米；观光船与游艇第一次迎面
相遇在观光船行驶11718=+全程处，游艇第二次追上观光船在观光船行驶33
718
=+全程处，可
求两次相遇的地点相距为315760144088⎛⎫
⨯-= ⎪⎝⎭
米．
三．填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）
9. 满足方程2622313813x x y y -+-+-++=的所有点()x y ，在平面直角坐标系上组成的图形
的面积是________．
〖答案〗6
〖作者〗巨人教育 王鹏
〖解析〗由绝对值满足三角不等式，可得()()()()262226224
313831389x x x x y y y y ⎧-+-≥---=⎪⎨-++≥--+=⎪⎩
，结合已知
可知两不等式均取等号，可得x y ，的取值范围2602231038x x y y -≤≤-⎧⎨-≤≤+⎩，即13
813
3x y ≤≤⎧⎪
⎨-≤≤⎪⎩，所有满足
条件的点()x y ，在平面直角坐标系上组成的图形是x 方向长2、y 方向长3的矩形，面积为6．
10.
ABCD 的面积最大为________．
〖答案〗18
〖作者〗顺天府学 马昕光 〖解析〗()()1111
2222
ABCD ABC ADC B D B D S S S AC h AC h AC h h AC AB CD ∆∆=+=
⋅+⋅=⋅+≤⋅+，而()12AC AB CD ++=为固定值，所以()1212
3622
AC AB CD ⋅+≤⨯=，等号都可以取到．
B
11. 已知,,,,,a b c d e f 是1到9中不同的六个自然数．小明想出两个有理数,x y 后便告诉小刚ax by
+与cx dy +的值，但小刚无法确定ex fy +的值，则符合条件的有序自然数组(),,,,,a b c d e f 共________组．
〖答案〗788
〖作者〗优才教育 陈龙
〖解析〗小刚根据ax by +与cx dy +的值无法确定ex fy +的值，必是无法解出,x y 的值，所以
,,,a b c d 必满足
a c
b d
=；但无法确定ex fy +的值，还要求a c e b d f =?
． 由对称性，不妨设比值1a c
b d
=<且a c <，分情况讨论如下：
①12a b =，有12342468===，,a c b d 中不选24即134,,268
三选二时(),,,a b c d 有23C 3=种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中选择，避开12e f =，有2
5A 119-=种选择；而,a c b d 中有24
即
就是23
,46时(),,,a b c d 有唯一种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成
12e f =； ②13a b =，有123369==，26必选且13
,39
二选一，(),,,a b c d 有12C 2=种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成1
3
e f =；
③14a b =，有12
48
=，(),,,a b c d 有22C 1=种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成1
4e f =；
④23a b =，有246369==，23必选且46
,69
二选一，(),,,a b c d 有12C 2=种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成2
3
e f =；
⑤34a b =，有36
48
=，(),,,a b c d 有22C 1=种选择，相应的(),e f 可从剩下五个数中任意选择，不会造成3
4e f =；
合计()319
1212120
197?++++?种，注意对称性19722788创
=种．
12. 请参考《2015年“数学花园探秘”科普活动初赛试题评选方法》作答．。