2022年通州区初三数学一模(word版含答案)

通州区2022年毕业年级学考模拟测试
数学试卷 2022年4月
考生须知
1．本试卷共8页，三道大题，28道小题，满分100分.考试时间120分钟. 2．在试卷、答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名. 3．试题答案一律书写在答题卡上各题指定区域内的相应位置上. 4．请用蓝色或黑色钢笔、圆珠笔答卷． 5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本题共16分，每小题2分) 1. 下列几何体中，其俯视图是三角形的是
A B
C D
2. 2022年3月，在第十三届全国人民代表大会第五次会议上，国务院总理李克强在政府工作报告中指出:2021年，我国经济保持恢复发展，国内生产总值达到1140000亿元，增长8.1%. 将1140000用科学记数法表示应为 A ．0.114×107 B ．1.14×107
C ．1.14×106
D ．11.4×105
3．2022年北京和张家口成功举办了第24届冬奥会和冬残奥会．下面关于奥运会的剪纸图片中是轴对称图形的是
A B
C D
4. 实数a 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是
1
O -1a
A ．1a >
B ．-a <1
C ．a +1>0
D ．
1
1a
<- 5．如果甲、乙、丙三位同学随机站成一排，那么甲站在中间的概率是 A ．
12 B ．16 C ．2
3
D ．13
6．如图，已知123=240∠+∠+∠︒，那么4∠的度数为
43
21
A ．60°
B ．120°
C ．130°
D ．150°
7．已知a 、b 表示下表第一行中两个相邻的数，且a
b ，那么a 的值是
x 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 x 2
9
9.61
10.24
10.89
11.56
12.25
12.96
13.69
14.44 15.21
16
A ．3.5
B ．3.6
C ．3.7
D ．3.8
8. 如图，正方形ABCD 的边长是4，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，且BE ＝DF ，四边形AEGF 是矩形，设BE 的长为x ，AE 的长为y ，矩形AEGF 的面积为S ，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是
A ．一次函数关系，二次函数关系
B ．反比例函数关系，二次函数关系
C ．一次函数关系，反比例函数关系
D ．反比例函数关系，一次函数关系 二、填空题(本题共16分，每小题2分) 9. 如果分式
1
1
x x +-的值为0，那么x 的值是 ． 10. 分解因式：2
9ax a -= ．
11.
的视觉效果. 则1∠的度数为_________.
12. 方程组1
3x y x y +=⎧⎨-=⎩
的解为 ．
13. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，连接=20°，那么∠P 的度数为 ．
14. 如果关于x 的方程2
+60x x m +=有两个相等的实数根，那么m 的值是_____，方程的根是_________________. 15. 如图，在△ABC 中，点D 在AB 上（不与点A ，B 重合），连接 CD . 只需添加一个条件即可证明△ACD 与△ABC 相似，这个条件可以是 ________________________（写出一个即可）．
13题图
15题图
16. 某学习兴趣小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（ⅰ）男学生人数多于女学生人数； （ⅱ）女学生人数多于教师人数； （ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．
① 若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 ； ② 该小组人数的最小值为 ．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23-24题，每5分，第25-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）．
17.
计算：1
132tan602-⎛⎫
--︒++ ⎪⎝⎭
.
18. 解不等式组311453
x x x x ->+⎧⎪
-⎨⎪⎩≤.
19．已知2
1a a b -=，求代数式()()()2
a b a b a b -++-的值．
20．已知：如图，△ABC 为锐角三角形，AB ＝AC ． 求作：点P ，使得AP AB =，且APC BAC ∠=∠. 作法：①以点A 为圆心，AB 长为半径画圆；
②以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交⊙A 于点D （异于点C ）；
③连接DA 并延长交⊙A 于点P ． 所以点P 就是所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接PC . ∵AB AC =， ∴点C 在⊙A 上． 又∵DC DC =，
∴12
DPC DAC ∠=∠（___________________________）（填推理的依据），
由作图可知，BD BC =，
∴1_______=2DAB DAC ∠=∠．
∴APC BAC ∠=∠．
21．已知一次函数12y x m =+的图象与反比例函数()20k
y k x
=>的图象交于A ，B 两点． （1）当点A 的坐标为（2，1）时.
①求m ，k 的值；②当2x >时，1y _____2y （填“>”，“=”或“<”）.
（2）将一次函数12y x m =+的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，使得点A ，B 关于原点对称，求m 的值.
22．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，E 为AB 的中点，连接DE ，过点E 作EF ∥BD 交 CB 的延长线于点F ．
（1）求证：四边形DEFB 是平行四边形； （2）当4AD =，3BD =时，求CF 的长．
23. 如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面. 经测量，两侧墙AD 和BC 与路面AB 垂直，隧道内侧宽AB =4米．为 了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB 上取点E ，测量点E 到墙面AD 的距离和到隧道顶面的距离EF ．设 AE=x 米，EF =y 米．
通过取点、测量，工程人员得到了x 与y 的几组值，如下表：
（1）隧道顶面到路面AB 的最大高度为_________米；
（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象． （3）今有宽为 2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）.根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶 面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：________（填写“是/否”）
24. 2021年，我国粮食总产量再创新高.小刘同学登录国家统计局网站，查询到了我国2021年31个省、直辖市、自治 区的粮食产量数据（万吨），并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息 .
a. 反映2021年我国31个省、直辖市、自治区的粮食产量数据频数分布直方图如图（数据分成8组：01000x <≤，
10002000x <≤，20003000x <≤，30004000x <≤，40005000x <≤，50006000x <≤，
60007000x <≤，70008000x ≤≤）
：
粮食产量（万吨）
频数（省份数量）987654
31
28000700060005000400030002000O
1000
x (米)
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y (米) 3.00 3.44 3.76 3.94 3.99 3.92 3.78 3.42 3.00
图2
图1
A B E
F
D
C
b. 2021年我国各省、市、自治区的粮食产量在10002000x ≤这一组的是： 1092.8，1094.9，1231.5，1270.4，1279.9，1386.5，1421.2，1735.8，1930.3 （1）2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为___________万吨；
（2）小刘同学继续收集数据的过程中，发现北京市与河南省的单位面积粮食产量（千克/公顷）比较接近，如下图所示，他将自2016年至2021年北京市与河南省的单位面积粮食产量表示出来：（=
粮食总产量
单位面积粮食产量播种面积
）.
自2016-2021年间，设北京市单位面积粮食产量的平均值为A x ，方差为2
A S ；河南省单位面积粮食产量的平均值
为B x ，方差为2B S ；则____A B x x ，22
____A B S S （填写“>”或者“<”）；
（3）国家统计局公布，2021年全国粮食总产量13657亿斤，比上一年增长2.0%.如果继续保持这个增长率,计算2022 年全国粮食总产量约为多少亿斤(保留整数).
25．如图1，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上不同于A ，B 的点，过点C 作⊙O 的切线与BA 的延长线交于点D ，连结 AC ，BC ．
（1）求证：∠DCA ＝∠B ；
（2）如图2，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交⊙O 于点F ，FO 的延长线交CB 于点G . 若⊙O 的直径为4，∠D ＝30°， 求线段FG 的长．
D
O A
C
G
E F
D
O
A C
图1
图2
26．已知抛物线()2
420y ax ax a =-+≠过()1A m -，，()2B n ，，()3C p ，三点.
（1）求n 的值（用含有a 的代数式表示）； （2）若0mnp <，求a 的取值范围.
27. 如图，在Rt ACB △中，90ACB =︒∠，AC BC =. 点D 是BC 延长线上一点，连接AD .将线段AD 绕点A 逆时 针旋转90︒，得到线段AE . 过点E 作EF ∥BD ，交AB 于点F .
（1）①直接写出AFE ∠的度数是____________；②求证：DAC E =∠∠； （2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明；
备用图
28. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离
之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0.
（1
）如图，点()1
A，
，)1
B，.
①原点O到线段AB上一点的最大距离为_________，最小距离为________；
②当点C的坐标为()
0m
，时，且ABC
△的“全距”为1，求m的取值范围；
（2）已知2
OM=，等边DEF
△的三个顶点均在半径为1的⊙M上.请直接写出DEF
△的“全距”d的取值范围.
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数学试卷参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 1x =- 10. ()()33a x x +- 11. 120︒ 12. 2
1
x y =⎧⎨=-⎩ 13. 40︒
14. 9m
=，123x x ==-
15. ACD B ∠=∠ 或ADC ACB ∠=∠ 或
AD AC AC AB
=
（2
AC AD AB =⋅） 16. ①6； ②12 三、解答题（本题共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5
分，第26题6分，第27-28题，每题7分）.
17. 解：原式=322-++ ………………… 4分
=5 ………………… 5分 18．解：解不等式①，得1x > ………………… 2分 解不等式②，得5x ≤ ………………… 4分 ∴这个不等式组的解集是15x <≤. ………………… 5分 19．解：原式=2
2
2
2
2a ab b a b -++- ………………… 2分
=222a ab - ………………… 3分 ∵2
1a a b -=，
∴2222a a b -=，
………………… 4分 ∴原式= 2 ………………… 5分 20．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
………………… 3分
（2）完成下面的证明． 证明：连接PC .
∵AB AC =， ∴点C 在⊙A 上． 又∵DC DC =，
∴12
DPC DAC ∠=∠（在同圆中，一条弧所对圆周角等于圆心角的一半）， …………… 4分
由作图可知，BD BC =，
∴DAB ∠=BAC ∠1=2DAC ∠ ………………… 5分
∴APC BAC ∠=∠．
21．解：（1）①把点A 的坐标为（2，1）分别代入12y x m =+和()20k
y k x
=>中， 122m =⨯+
∴ 3m =- ………………… 1分 12
k =
∴ 2k = ………………… 2分 ②1y > 2y . ………………… 3分 （2）∵一次函数12y x m =+的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，
∴ 平移后的表达式为24y x m =+-， ………………… 4分 ∵点A ，B 关于原点对称，
∴24y x m =+-的图象经过原点， ………………… 5分 ∴40m -=，
∴4m =. ………………… 6分 22． （1）证明：∵AB ＝BC ，BD 平分ABC ∠，
∴AD =CD ， ………………… 1分 ∵E 为AB 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥CF ， ………………… 2分
∵EF ∥BD ，
∴四边形DEFB 是平行四边形. ………………… 3分 （2）解：∵AB ＝BC ，BD 平分ABC ∠， ∴AC ⊥BD ，
∵4AD =，3BD =，
∴5AB = .
………………… 4分 ∵E 为AB 的中点，
∴15
22
DE AB =
= . ………………… 5分 ∵四边形DEFB 是平行四边形， ∴5
2
BF DE ==
. ∵AB ＝BC ， ∴5CB AB == . ∴515
522
CF CB BF =+=+
=. ………………… 6分 23. 解：（1）3.99 ………………… 1分 （2）
………………… 3分 （3）是 ………………… 5分 24. （1）2021年我国各省、直辖市、自治区粮食产量的中位数为1421.2 万吨 …………… 1分
（2）A x >B x ，2A S < 2
B S ………………… 3分
（3）13657 1.02=13930.14⨯. ………………… 4分 2022年全国粮食总产量约为13930亿斤. ………………… 5分 25．（1）证明：连接OC ， ∵CD 是⊙O 的切线，
∴∠OCD ＝90︒，
∴∠ACO +∠ACD ＝90︒， ………………… 1分 ∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90︒， ∵∠CAB +∠B ＝90︒， ∵OA =OC ， ∴∠ACO=∠CAB ，
∴∠DCA ＝∠B . ………………… 2分 （2）解：∵CD 是⊙O 的切线，
∴∠OCD ＝90︒， ∵∠D ＝30°，
∴∠COD ＝60︒， ∵AC AC =
∴∠B ＝30°，
………………… 3分
∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，
∴AC AF =
∴∠AOC ＝∠AOF ＝60︒，
∴∠BOG=∠AOF ＝60︒， ………………… 4分 ∴90BGO ∠=︒， ………………… 5分 ∴1
sin 2
OG B OB =
= ， ∴1OG =，
∴213FG FO OG =+=+=. ………………… 6分 26．解：（1）当2x =时，
∴2
242242n a a a =⨯-⨯+=-+. ………………… 1分 （2）∵对称轴是直线422a
x a
-=-
=， ∴顶点B 的坐标为 （2，42a -+）.
点()3C p ，关于对称轴2x =的对称点为()1C'p ，. 当1x =-时，
∴()()2
141252m a a a =⨯--⨯-+=+. ………………… 2分 当1x =时，
∴2
141232p a a a =⨯-⨯+=-+. ………………… 3分 当0a >，2x <时 y 随x 的增大而减小，
∴2m p n >>>， ∵0mnp <
∴420
320
a a -+<⎧⎨
-+>⎩，
∴
12
23
a <<， ………………… 4分 当0a <，2x <时， y 随x 的增大而增大， ∴2m p n <<<，
∵0mnp <
∴520a +<，
∴2
5
a <-
，
………………… 5分
∴a 的取值范围是25a <-或12
23
a <<. ………………… 6分
27．（1）①AFE ∠的度数是135︒； ………………… 1分 ②证明： ∵90ACB =︒∠，AC BC =，
∴45BAC B ==︒∠∠， ∵90DAE ∠=︒，
∴45DAC EAF ∠+∠=︒ , ………………… 2分 ∵ EF ∥BD ，
∴45EFB B ∠=∠=︒. ∴45EAF E ∠+∠=︒.
∴DAC E ∠=∠. ………………… 3分 （2）线段AF 和CD 的数量关系是AF =
.
证明：延长EF 交AC 于点G . ………………… 4分 ∵EF CB ∥ ，90ACB =︒∠
∴90ACD =︒∠，90AGE =︒∠， ………………… 5分 ∴ACD EGA =∠∠ 在△DCA 和△AGE 中，
DCA AGE
DAC E AD AE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DCA ≌△AGE ， ………………… 6分 ∴CD AG = ∵45BAC =︒∠ ∴AF =
. ………………… 7分
∴AF =.
证法二：在AC 上截取CH =CD ，连接DH . 证△DHA ≌△AFE .
28. 解：（1） ①原点O 到线段AB 上一点的最大距离为2，最小距离为1； ………………… 2分 ② 当12m <≤时，符合题意 ………………… 3分
当1m =-时；
连接AC ，过点O 作OE ⊥AC 于点E . 在Rt △COE 中，OC =1， ∴OE < OC .
∴1m =-不符合题意. ………………… 4分 当2m =-时；如图，
连接AC ，过点O 作OE ⊥AC 于点E .
在Rt △ADC 中，
∴ tan AD ACD CD ∠== ∴ 30ACD ∠=︒. 在Rt △OEC 中， ∴1sin 2
OE ACD OC ∠==. ∴1OE =.
∴2m =-符合题意 当2m >，12m m <≠-且时，都不符合题意.
∴m 的取值范围为12m <≤或2m =-. ………………… 5分 （3）当点O 与等边DEF △的一边共线时（如下图）， DEF △
当等边DEF △的一个顶点在线段OM 的延长线时（如下图）， DEF △
3
∴DEF △的“全距”d 的取值范围为32
d ≤ ………………… 7分。