第4章 连续时间信号的采样

xc(t)的样本在x[n]中使用有限数值表示的，而
不是xs(t)中以单位冲击的面积。
4.1采样的频域表示
周期冲击串调制
s(t )
n
(t nT )

则
xs t xc t s(t ) xc t
xs t
go
n
x nT (t nT )
样周期无关。
下图为采样和恢复的时域示意图
xc (t )
t
xs (t )
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
xr (t )
-3T
-2T
-T
0
T
2T
3T
如果不存在混叠，低通滤波器就内插出 样本之间的准确值。
sin (t nT ) / T xn (t nT ) / T
由
xr t
+-2….所确定。 要求
2 s 2 N T
N
奈奎斯特频率 奈奎斯特率
2 N
信号恢复
s(t )
xc (t )
xs (t )
H r ( j)
xr (t )
X r ( j) H r ( j) X s ( j)
N c ( s N )
X r ( j) X c ( j)
j
1 2 X (e ) X c ( j jk ) T k T T
进行了频率尺度归一化
T
例 4.1
用 T 1 6000 采样周期对连续时间信号 采样，得到
其中
0 4000 T
xc t cos 4000 t
。
4.4 连续时间信号的离散时间处理
离散时间系统的主要应用场合时连续时间处理
xc (t )
C/D
T
x[n]
离散时 间系统
y[n]
D/C
y r (t )
T
C/D产生离散时间信号
其傅立叶变换为：
x[n] xc (nT )
1 2k j X (e ) X c ( j j ) T k T T
s
2 s

2 s
s
N
0
N s N
s
2 s

Hale Waihona Puke X s ( j) 1 T 2 s s s 2 s
N 0
N

s N
奈奎斯特采样定理 xc(t)为一个带限信号, X c ( j) 0 N 即 时 那么xc(t)能唯一由他的样本x[n]= xc(nT),n＝0，+-1，


jt
dt
jt
X（j）= s
c


n
x(t ) (t nT )e
(t nT )e
jt

dt
n
x (nT ) x (nT )e
c

dt
jnt
n
因为
x[n] xc (nT ),
X s ( j )
n
x[n]e jnT

带入上式 和
n
X (e j )
则
所以
n
x[n]e jn
T

X s ( j) X (e j )
X (e jT )
可表示为：
1 X s ( j) X c ( j jk s ) T k
-3T -2T
-T
0
T
2T
3T
-3T -2T-T 0 T 2T 3T
x[n]
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3 -2 -1 0 1 2 3
xs(t)和x[n]的本质差别在于：
在某种意义上xs(t) 还是一个连续时间信号
（即一个脉冲串），除了T的整倍数时刻 外其他时刻值为零； 另外，采样引入了时间归一化， 即x[n]中 不包括采样率信息。
T
则
H (e jT ) X c ( j), / T Yr ( j) 0, / T
因此，如果输入带限，并且满足奈奎斯特采样率，则
Yr ( j) H eff (e jT ) X c ( j)

H (e jT ), （4.38） /T H eff ( j) 0, / T
2 S ( j ) T
k
( k )
s

傅立叶变换
2 S ( j ) T
k
( k )
s

1 X s ( j) X c ( j)* S ( j) 2
1 2 X s ( j ) X c ( j ) * 2 T
n
x nT h (t nT )
c r

得
则
X r ( j)
n
x[n]H r ( j)e jTn

X r ( j) H r ( j) X (e jT )
频率上重新标定了。 T 输入带限信号输出也为带限信号。 低通滤波器的截至频率一般取采样频率的一半
混叠:
满足奈奎斯特定理，或者离散时间系统的系统函数将
混叠部分滤掉。
例 4.4 频率响应如下：
1, C H (e ) 0, C
X c ( j) 1
N
N X s ( j) 1 T
N s N
T

s 2 N
2 s
s
N
0
s
2 s

H r ( j )
N c ( s N ) C
X r ( j )
C
1

N
N

X c ( j)

0 0 0 X c ( j)
D/C
x[n] T
xr (t )
2 T 截至频率一般选取 s ）2 N 都是适合的 这种选择对任何 s （ N
c
s


T
H r ( j)


T

T
hr (t )

1
3T
T
T
3T
t
傅立叶反变换 hr (t ) sin t / T t / T

注意
以上是连续系统进行离散处理的基本部
分， 接着是离散系统处理。
一个简单例子 （恒等系统）
4.4.1线性时不变离散时间系统
系统的频域表示
Y(e j ) H (e j ) X (e j )
带入连续时间系统
Yr ( j) H r ( j) H (e jT ) X (e jT )
xc (t )
C/D
x[n] xc ( nT )
T
将CD分为两步在数学表示上比较方
便。
冲击串调制器
+ 序列转换器
C/D转换器
s (t )
冲击串到离 散时间序列 的转换
xc (t )
x s (t )
x[ n ] x c ( nT )
xc (t )
s (t )
xc (t )
s (t )
T
...

16000
8000 6000 4000
0
4000 6000 8000
16000
(a )
X ( e j ) X s ( j T )






...


8 3

4 3

2 3
0
(b)
2 3
4 3
8 3
图 4.6 0 4000 和采样周期T=1/6000的已采样余弦信号的连续时间(a)和离散时间(b)的傅立叶变换
第4章 连续时间信号的采样
4.0 引言 4.1 周期采样 4.2 采样的频域表示 4.3 由样本重构带限系统 4.4 连续时间信号的离散时间处理 4.5 离散时间信号的连续时间处理 4.6 抗混叠滤波器 4.7 小结
4.0 引言
如何将 连续时间信号离散时间信号 进行数字处理 如何将 离散时间信号连续时间信号
D/C产生离散时间信号 具上节结论
sin[ (t nT ) / T ] yr (t ) y[n] (t nT ) / T n

X r ( j) H r ( j) X (e jT )
则
Yr ( j) H r ( j)Y (e jT )
TY (e jT ), / T 0, 其他
其中
1 2k X (e ) X c ( j j ) T k T T
j
则
Yr ( j) H r ( j) H (e
jT
1 2k ) X c ( j j ) T k T
对于重构滤波器
X c ( j) 0
when

c

n
(t nT )

s(t )
n
(t nT )

周期函数的傅利叶变换等于其傅利叶级
数的系数。（即谐波分量）
S ( j) 2
k
a ( k )
k s

其系数为：
1 T2 1 j0 kt ak T (t )e dt T 2 T

s 2 N
T

T s 0
T
0
0 s 2 X c ( j)
s
s 2 N


s 0 T s 0 0 s 2 X ( j) r


0 0
0

X r ( j)

( s s ) 0 ( s s )

X j）= x(t )e （
X s ( j )
T
H r ( j)

T

T

T

T

T

T
...

4000
2000 1500 1000
0
1000 1500 2000
4000
(a )
X ( e j ) X s ( j T )






...


8 3

4 3

2 3
0
(b)
2 3
sin (t nT ) / T xr (t ) xn (t nT ) / T n
( a)
n 1,2, (b)
hr (0) 1
hr (nT ) 0 ,
xr (mT ) xc (mT )
可得
即 重构信号在各采样时刻与原连续信号相同，且与采
即：连续时间系统等效于一个线性时不变系统，其有效的频 jT ) 率响应如上 H eff (e 是所示
系统为线性时不变，依赖一下两点： 1. 离散时间系统必须是线性时不变的。 2. 输入信号必须是带限的，且采样率要足够高，以使
得任何混叠分量都被该离散时间系统说抵消。
以书上的单位冲击响应为例，说明2
性在时域的形式。 由前面的公式可得
xs t
n
x nT (t nT )
c c r

xr t
n
x nT h (t nT )
重构滤波器的响应
理想重构系统
序列到 冲击串 的转换 理想重 构滤波 器
x[n]
xs (t )
xr (t )
4 3
8 3
图 4.7 0 4000 和采样周期T=1/1500的已采样余弦信号的连续时间(a)和离散时间(b)的傅立叶变换
4.3 由样本重构带限系统
用调制脉冲串 和 低通滤波器 可以使得 输出信号的傅
立叶变换与原来输入信号的福利也变化相同。
以上讨论的是信号的时域表示，下面讨论上述频域特
4.1周期采样
连续时间信号： xc (t )
离散化
x[n] xc (nT ),
其中： 采样周期： T
n
1 采样率： f s T
2 弧度/秒（rad/s）表示采样频率： s T
理想连续（Continuous Time）时间
到 离散时间（Discrete Time）转换器
k
( k )
s

1 X c ( j ) * ( k s ) T k 1 X c ( j jk s ) T k
X c ( j) 1
N
S ( j)
2 T
N

2 s
s
0
X s ( j) 1 T
x[n] xc nT cos 4000 nT cos 0 n
2 3
判断
s
2 12000 T
0 4000
s 20
满足奈奎斯特采样定理。 利用归一化频率判断准则
0
X s ( j )
T
H r ( j)

T

T

T

T

T