1.1.2空间向量基本定理课件高二上学期数学人教B版选择性(1)

如果空间中三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个 向量 p，存在唯一的有序实数组(x，y，z) ，使得 p xa yb zc .
空间向量基本定理中，p 用 a，b，c 表示的表达式 p xa yb zc 唯一. 特别地，当 a，b，c 不共面时，可知 xa yb zc 0 x y z 0.
3
3
3
999
因为 D，E，F，M 四点共面，所以存在实数 ， ，
使 DM DE DF ，所以 OM OD (OE OD) (OF OD) ，
所以 OM (1 )OD OE OF (1 )kOA mOB nOC ，
(1
)k
2 9
,
所以
m
2 9
,
所以 1 1 1 9 (1 ) 9 9 9 .故选 D.
113 ，则
AC1 113 .
9.如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，BC1 与 B1C 交于点 O，A1AB A1AC 60 ， BAC 90 ， A1A 4 ， AB AC 2 ， AO xAB yAC z AA1 ，则 xyz _________，| AO | __________.
第一章 空间向量与立体几何
课标要点 1.理解共线向量 2.了解共面向量定理 3.了解空间向量基本定理
核心素养 数学抽象 数学运算 数学运算
共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在唯一的实数 λ，使得 b＝λa． 平面向量基本定理 如果平面内两个向量 a 与 b 不共线，则对该平 面内任意一个向量 c，存在唯一的实数对 (x , y)，使得 c＝xa＋yb．
例 2 如图所示平行六面体
− ′ ′ ′ ′中，设 = ，
= ， ′ = ，试用基底{a ，b，c}表示向量 ′， ′， ′ ， ′.
解：因为是平行六面体，
所以 ′ = + + ′ = + + ′ = + + .
类似地，有 ′ = + + ′ =− + + ′ =− + + ，
′ = ′ ′ + ′ + = ABAAADabc
A. 2a b ， 2a b ，b
B.a b c ，a b c ，a
C. a b ， a b ，a c
D.a 2b ， 2c 6a ，3a c
解析：对于 A 选项， 2a b (2a b) 2b ，所以 2a b ， 2a b ，b 共面，A 不
符合题意； 对于 B 选项，假设 a b c ， a b c ，a 共面， 则存在 , R ，使得 a (a b c) (a b c) ( )a ( )b ( )c ，
证明：因为 =+
= 1= + ， = + = + ( − + ) = (1 − ) + ，
所以 = − = (1 − ) + − − = (1 − ) − .
由共面向量定理可知， ，a，c 共面.
如果 A，B，C 三点不共线，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是， 存在唯一的实数对 (x，y)，使 AP xAB y AC ．
所以 BA BC 21cos60 1， BB1 BA BB1 BC 0 ，
又因为 AB1 AB BB1 BA BB1 ，
CD
CC1
C1D
CC1
1 2
C1 A1
BB1
1 2
CA
BB1
1 2
(BA
BC)
，
所以
AB1
CD
(BA
BB1 )
BB1
1 2
(BA
BC )
BA
BB1
1 2
BA
表达式 xa yb zc 一般称为向量 a，b，c 的线性组合或线性表 达式. 上述空间向量基本定理说明，如果三个向量 a，b，c 不共面， 则它们的线性组合 xa yb zc 能生成所有的空间向量.
空间中不共面的三个向量 a，b，c 组成空间向量的一组基底， 记为{a ，b，c}. 此时，a，b，c 都称为基向量；如果 p xa yb zc ， 则称 xa yb zc 为 p 在基底{a ，b，c}下的分解式.
kmn 2
22 2
n
2 9
,
ABD 6.（多选）在下列条件中，不能使 M 与 A，B，C 一定共面的是( )
A. OM 2OA OB OC
B.OM 1 OA 1 OB 1 OC 532
C. MA MB MC 0
D.OM OA OB OC 0
解析：对于 A 选项，由于 2 11 0 1 ，所以不能得出 M，A，B，C 共面. 对于 B 选项，由于 1 1 1 1，所以不能得出 M，A，B，C 共面.
定理的必要性是由平面向量基本定理保证的，而充分性只要 注意到当 xa 与 xb 不共线时，xa，xb，xa+xb 分别是平行四边形的 两条邻边和一条对角线即可．
例 1 如图所示，已知斜三棱柱 − 1 1 1中， = ， = ， 1 = ，在 1上和 上分别有一点 和 ，且 = 1， = ，其中 0⩽ ⩽1. 求证： ，a，c 共面.
a
，
AD
b
，
AA1
c
，则 PM
PB1
B1M
3a 4
1c 2
，
NM ND DA AB BM 1 c b a 1 c a b ，
2
2
MQ MB BQ 1 c b ， PM ，NM ，MQ 共面， 可 MQ mPM nNM ，
2
1 2
c
b
m
3 4
a
1 2
c
n(a
b)
共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立．
例如，如图所示的正方体
− 1 1 1 1中， 在直线 1
上的充要条件是，存在实数 ，使得 = 1；如果 在底面
内，则一定存在实数 与 ，使得 = + ，而且，若 ⊥ ，
⊥ ，则 = ， = .
如果两个向量 a，b 不共线，则向量 a，b，c 共面的充要条 件是，存在唯一的实数对 (x，y)，使 c＝xa＋yb．
10 ，| AO |
10 .
10.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 BB1 ，DD1 的中点，P 是
棱 A1B1 上靠近 A1 的四等分点，过 M，N，P 三点的平面 交棱 BC 于点 Q.设 BQ BC ，则 ____________.
解析：设
AB
(x y)e1 (x 2 y)e2 (x 2 y)e3 .因为e1,e2,e3 是空间的一组基底，所以
k x y,
x
5 2
,
x x
2 2
y y
3, 2,
解得
y
k
9 4
1 4
.
,
故选
D.
5.如图，在三棱锥 O ABC 中，点 G 为底面△ABC 的重心，点 M 是线段 OG 上 靠近点 G 的三等分点，过点 M 的平面分别交棱 OA，OB，OC 于点 D，E，F.若
532 对于 C 选项，由于 MA MB MC ，则 MA ， MB ， MC 为共面向量，所以 M， A，B，C 共面. 对于 D 选项，由 OM OA OB OC 0 得OM OA OB OC ，而 111 3 1，所以不能得出 M，A，B，C 共面.故选 ABD.
BC 7.（多选）若{a,b,c}是空间的一组基底，则下列向量不共面的是( )
，
′ = + + ′ = ADABAAabc
.
例 3 如图所示，已知直三棱柱 − 1 1 1中， 为 1 1的 中点，∠ = 60∘， = 2， = 1 = 1，求 1 ⋅ .
解： 由题 意可 知 | BA | 2 ， | BC || BB1 |1 ， BA，BC 60 ，
BB1 ，BA BB1 ，BC 90 ，
解析：
AO
AB
BO
AB
1 2
BC
1 2
BB1
1 2
AB
1 2
AC
1 2
AA1
，
x
y
z
1 2
， xyz
1 8
.由题知
2
AB
2
AC
4
，
2
AA1
16
，
AB
AC
0
，
AB
AA1
AC
AA1
2 4 cos 60
4 ，
2
AO
1 4
( AB
AC
AA1 )2
1 4
2
2
2
AB AC AA1 2AB AC 2AB AA1 2AC AA1
A AD 的中点，且 OE 1 a 1 b 1 c ，则 ( ) 244
1
1
1
2
A.
B.
C.
D.
2
4
3
3
解析：由题意作图如下.
OE 1 a 1 b 1 c 1 OA 1 OB 1 OC . 2442 4 4
因为 E 为 AD 的中点，所以 OE 1 OA 1 OD ，所以OD 1 OB 1 OC ，则 D 为
1, 因为{a, b, c} 是空间的一组基底，所以 0, 无实数解，
0, 假设不成立，故 a b c ， a b c ，a 不共面，B 符合题意；
对于 C 选项，假设 a b ， a b ， a c 共面， 则存在 m, n R ，使得 a c m(a b) n(a b) ， 所以 c (m n 1)a (m n)b ，则 a，b，c 共面，与题设矛盾， 故 a b ， a b ， a c 不共面，C 符合题意； 选项 D，因为 2c 6a 2(3a c) ，则 2c 6a 与3a c 共线，则a 2b ，2c 6a ， 3a c 共面，D 不符合题意.故选 BC.
BA
1 2
BA
BC
BB1
BB1
1 2
BB1
BA
1 2
BB1
BC
= 141111
.
22 2
例 3 说明，如果空间向量中，有三个不共面的向量的长度和相 互之间的角度都已知，那么以这三个向量为一组基底，可以研究其 他向量之间的数量积等问题．
1.已知 A，B，C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点.若由OM 3OA OB OC 确
即
(x
1)m
8n
2
yp
3m
2n
4
p
，所以
x 8
1 3, 2,
解得
x 13,
y
8,
2 y 4,
所以 x y 5 .
4.若e1,e2,e3 是空间的一组基底，且向量OA e1 e2 e3 ，OB e1 2e2 2e3 ，
D OC ke1 3e2 2e3 不能构成空间的一组基底，则k ( )
3 4
m
n
a
nb
1 2
mc
，
34nmn,
1
m
2
0, 1, 2
解得
m 1,
n
3 4
3 4
.
,
11.《九章算术》中的堑堵是指两底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵
22
22
BC 的中点，故点 D 满足 BD 1 BC ，则 1 .
2
2
3.已知 a，b 为非零向量，且 a 3m 2n 4 p ，b (x 1)m 8n 2yp ，且向量 m，
B n，p 不共面，若 a//b ，则 x y ( )
A.-13
B.-5
C.8
D.13
解析：因为 a//b 且 a 0 ，所以存在实数 ，使得b a ，
8.在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 4 ， AA1 5 ，BAD BAA1 DAA1 60 ，则 AC1 __________.
解析：由题设，作出示意图.
由图得 AC1 AD AB CC1 AD AB AA1 ，
2
2
2
2
AC1 AD AB AA1 2( AD AB AA1 AD AB AA1
B 定的点 M 与 A，B，C 共面，则 的值为( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
解析：由点 M 与 A，B，C 共面，且OM 3OA OB OC ，可得31 1 ， 解得 1 ，故选 B.
2.在四面体 OABC 中，OA a ，OB b ，OC c ，点 D 满足 BD BC ，E 为
8 A.
5 B.
C. 1
9 D.
3
2
4
4
解析：因为向量 OA e1 e2 e3 ，OB e1 2e2 2e3 ，OC ke1 3e2 2e3 不能构
成空间的一组基底，所以 OA ，OB ，OC 共面，故存在实数 x，y 使得
OC xOA yOB ，即 ke1 3e2 2e3 xe1 e2 e3 y e1 2e2 2e3
D OD kOA ， OE mOB ，OF nOC ，则 1 1 1 ( ) k mn
13
2
3
9
A.
B.
C.
D.
3
3
2
2
解析：由题意知， OM 2 OG 2 (OA AG) 2 [OA 2 1 (AB AC)]
3
3
3
32
2 [OA 1 (OB OA) 1 (OC OA)] 2 OA 2 OB 2 OC ，