定直线问题 解析几何-高中数学课件-第三课时

第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN
第三课时　定直线问题
内容
索引
分层精练
巩固提升
题型一　设点法
例1已知F为抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点，直线l：y＝2x＋1与C交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝20.
(1)求C的方程；
解　设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则y1＋y2＝8p＋2，
解得p＝2.故C的方程为x2＝4y.
(2)若直线m：y＝2x＋t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上．
即(4－x0)(1－λ)＝0.
因为λ≠1，所以x0＝4.故点T在定直线x＝4上．
动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参
数，从而得到轨迹方程．
即y0＝－2.
即点M在直线l：y＝－2上．
题型二　待定系数法
解　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，
将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数．
解　由已知得，圆M的圆心为M(－2，0)，半径为2，
因为p＞0，所以F在x轴正半轴上，
于是F(2，0)，
解　设线段AB的中点为Q，
由题意可知PQ为AB的中垂线，
由题知直线l的斜率不为0，
设l的方程为x＝my＋2，A(x A，y A)，B(x B，y B)，
x A＋x B＝m(y A＋y B)＋4＝8m2＋4，
所以Q(4m2＋2，4m)．
所以直线PQ的方程为y＝－m(x－4m2－2)＋4m，令x＝－2，可得y＝4m3＋8m，
即P(－2，4m3＋8m)，
所以l的方程为x＋y－2＝0或x－y－2＝0.
题型三　验证法
解　设直线l：x＝my＋1，若m＝0，
若点S在一定直线l′上，则直线l′只能为x＝4.
以下证明对任意的实数m，点S均在直线l′：x＝4上．
消去x得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，设R(x1，y1)，Q(x2，y2)，
面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该
直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”．
若定直线存在，则方程应是x＝9.
下面给予证明．
把x＝my＋1代入椭圆方程，整理得(2m2＋3)y2＋4my－16＝0，Δ＞0成立，记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
需2y1(my2－2)＝y2(my1＋4)，需my1y2＝4(y1＋y2)，
分层精练 巩固提升FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG
1.(2023·合肥模拟)如图，过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线与抛物线
交于A ，B 两点，AM ，AN ，BC ，BD 分别垂直于坐标轴，垂
足依次为M ，N ，C ，D .
(1)若矩形ANOM 和矩形BDOC 面积分别为S 1,S 2,求S 1·S 2的值；
【A级 基础巩固
】
解　抛物线y 2＝4x 的焦点F (1，0)，
显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为：x ＝my ＋1
，
消去x 并整理得的方程为y 2－4my －4＝0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
(2)求证：直线MN与直线CD交点在定直线上.
证明　由(1)得M(x1，0)，N(0，y1)，C(x2，0)，D(0，y2)，
因此x＝1，即直线MN与直线CD交点在直线x＝1上，
所以MN与直线CD交点在定直线x＝1上.
(2)设C的左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，直线l过右焦点F2且不与x轴垂直，l与C交于M，N两点，直线AM与直线BN相交于点Q，证明：点Q在定直线上.
证明　设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x0，y0)，
由题意知A(－2，0)，B(2，0)，
由题意知x0＞2，∴x0＝4，∴点Q在定直线x＝4上.
所以ab ＝4.①
设C 的右焦点为F 2，连接AF 2，
由椭圆的对称性可知|BF1|＝|AF2|，
证明　设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
联立直线l与椭圆C的方程，
并消去y得x2＋2mx＋2m2－4＝0，
Δ＝4m2－4(2m2－4)＞0，得－2＜m＜2且m≠0，则x1＋x2＝－2m，
【B级 能力提升】
证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则P(－x1，－y1).
设直线l的方程为x＝my＋n，
其中m·n≠0，且n≠±2，
Δ＝48(3m2－n2＋4)＞0，
由题意知A1(－2，0)，A2(2，0)，设Q(x0，y0)(x0≠±2)，
本课结束INNOVATIVE
DESIGN。