备战2023年北京高考数学仿真卷(5)(含详解)

备战2023年北京高考数学仿真卷（5）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是( ) A ．{1，2}
B ．{2，4}
C ．{1-，2}
D ．{0，5}
2．（4分）在复平面内，复数
1
1i
-的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．（4分）设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )
A ．2
a b
a b +< B ．2
a b
a b +<<
C ．2
a b
a b +<
D 2
a b
a b +<
< 4．（4分）已知点(1,2)在双曲线22
221y x a b
-=的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )
A ．
3
2
B
C D 5．（4分）设1
2
a ln =，1
2e b =，2c e -=，则( )
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
6．（4分）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若||2BC =，||1FB =，则||(AB = ) A ．3
B ．4
C ．6
D ．6
7．（4分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S p =+，则1p =-是{}n a 为等比数列的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件8．（4分）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图
象如图所示，则()(f π= )
A ．3-
B ．3
2
-
C ．
3
2
D ．3 9．（4分）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且ABF ∆为正三角形，则(p = ) A ．1
B ．2
C ．9
D ．18
10．（4分）已知曲线22322:()16C x y x y +=．给出下列四个结论：
①曲线C 既是轴对称图形又是中心对称图形； ②曲线C 与圆221x y +=有8个交点；
③曲线C 所围成区域的面积大于4π；
④曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2． 其中正确结论的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则数列{}n a 的前4项和4S = ．
12．（5分）若2
2()n
x x -
的展开式共有7项，则常数项的值等于 ． 13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 ．
14．（5分）已知菱形ABCD 的边长为1，60BAD ∠=︒，(0)AP AB λλ=>．
当1
2
λ=时，AC PD ⋅= ；当AP DP ⋅取得最小值时，λ= ．
15．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数
称为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克
雷函数类似的函数(),0,x x L x x ⎧=⎨⎩
是有理数
是无理数为“L 函数”，则关于狄利克雷函数和L 函数有以下四个结论：
①(())0D D x =；
②函数()D x 既是偶函数又是周期函数；
③L 函数图象上存在四个点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 为矩形； ④L 函数图象上存在三个点A 、B 、C ，使得ABC ∆为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．三．解答题（共6小题，满分85分） 16．（14分）在ABC ∆中，已知5b =，9
cos 16
B =
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
条件①：
1
cos
8
C=；条件②：4
a=．
17．（14分）如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是边长为2的正方形，PAB
∆为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，PM MD
=．
（Ⅰ）求证：//
PB平面ACM；
（Ⅱ）求二面角M BC D
--的余弦值．
18．（14分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．
现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表：
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X 的分布列与数学期望； （Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C ︒且不高于38C ︒时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3C ︒，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
19．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 不垂直于坐标轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 与x 轴交于点Q ．点B 关于x 轴的对称点为点B '，直线AB '与x 轴交于P 点． （ⅰ）求证：P ，Q 两点的横坐标之积为定值4； （ⅱ）若点Q 的坐标为(1,0)，求ABP ∆面积的取值范围． 20．（14分）已知函数213
()2(0)22
f x lnx ax x a =+-+．
（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<． 21．（15分）设k 为正整数，如果表达式1212222k n n n k a a a ⋅+⋅++⋅同时满足下列性质，则称之为“交错和”．
①i n N ∈，{1i a ∈-，1}(1i =，2，
，)k ；
②120k n n n <<<；
③当2k 时，1(1i i a a i +≠=，2，
，1)k -；
④规定：当1k =时，112n a ⋅也是“交错和”．
（Ⅰ）请将7和10表示为“交错和”；（Ⅱ）若正整数n 可以表示为“交错和” 1212222k n n n k a a a ⋅+⋅++⋅，
求证：1k a =；
（Ⅲ）对于任意正整数n ，判断n 一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论．
备战2023年北京高考数学仿真卷（5）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是( ) A ．{1，2} B ．{2，4} C ．{1-，2} D ．{0，5}
【答案】A
【详解】解：集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，可知M 是P 的子集， 所以M 可以是{1，2}． 故选：A ．
2．（4分）在复平面内，复数
1
1i
-的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【详解】解：复数
11111(1)(1)22
i i i i i +==+--+， 共轭复数对应点的坐标1
(2
，1)2-在第四象限．
故选：D ．
3．（4分）设0a b <<，则下列不等式中正确的是( )
A ．2a b a b +<
B ．2a b
a b +<<
C ．2
a b
a b +< D 2
a b
a b +<
< 【答案】B
【详解】解：取1a =且4b =2=，
5
22
a b +=，选项A 、C 、D 均矛盾，B 符合题意，
故选：B ．
4．（4分）已知点(1,2)在双曲线22
221y x a b
-=的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )
A ．
3
2
B C D 【答案】C
【详解】解：点(1,2)在双曲线22
221y x a b
-=的渐近线上，
可得
2a
b
=，所以2222444a b c a ==-，2245c a =，所以双曲线的离心率为：e = 故选：C ．
5．（4分）设1
2
a ln =，1
2e b =，2c e -=，则( )
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．a b c <<
【答案】C
【详解】解：2
1
(0,)2
e -∈，1
21e >，12(2ln ∈，1)，
∴1
222e
ln e ->>．
a c
b ∴<<．
故选：C ．
6．（4分）已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点C ，若||2BC =，||1FB =，则||(AB = ) A ．3
B ．4
C ．6
D ．6
【答案】B 【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为M 、N ，
过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点
C ，若||2BC =，||1FB =，BNC AMC ∆∆∽，
可得：
1
2
BN AM BC AM FB BC ==++，可得3AF AM ==， 4AB AF FB ∴=+=，
故选：B ．
7．（4分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S p =+，则1p =-是{}n a 为等比数列的(
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若1p =-，21n n S =-，
数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 故1p =-是{}n a 为等比数列的充分条件， 若数列{}n a 为等比数列，
当1n =时，112a S p ==+，当2n 时，111(2)(2)2n n n n n n a S S p p ---=-=+-+=， 则
212
22a a p
==+， 解得，1p =-．
故1p =-是{}n a 为等比数列的必要条件， 故选：C ．
8．（4分）函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<
的部分图象如图所示，则()(f π= )
A ．3-
B ．3
2
-
C ．
3
2
D ．3 【答案】A
【详解】解：由图可知，
5()212122
T πππ=--=，则T π=，2ω∴=． 又52122
ππ
ϕ⨯
+=，3πϕ∴=-．
则()2sin(2)3
f x x π
=-，
()2sin(2)2sin()33
f ππ
ππ∴=-=-=
故选：A ．
9．（4分）已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点A 为抛物线C 上横坐标为3的点，过点A 的直线交x 轴的正半轴于点B ，且ABF ∆为正三角形，则(p = ) A ．1 B ．2
C ．9
D ．18
【答案】B
【详解】解：由题意可知，当B 在焦点F 的右侧时，
13,33(3)222222
p p p p
AF FD p =+
=-⇒-=+⇒=， 当B 在焦点F 的左侧时，同理可得18P =，此时点B 在x 轴的负半轴，不合题意． 故选：B ．
10．（4分）已知曲线22322:()16C x y x y +=．给出下列四个结论：
①曲线C 既是轴对称图形又是中心对称图形； ②曲线C 与圆221x y +=有8个交点；
③曲线C 所围成区域的面积大于4π；
④曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2． 其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】C
【详解】解：对于①：将题中的x 换成x -，将题中y 换成y -，此方程不变，曲线C 关于x 轴和轴，和原点对称，故①正确；
对于②：由于22322
22()161x y x y x y ⎧+=⎨
+=⎩
，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
或22x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩，故对应的有8组解，故②
正确；
对于③：222
23
2
2
2
()1616()2
x y x y x y ++=⨯，整理得224x y +，所以曲线C 围成的区域在224x y +=内部，
其面积小于4π，故③错误；
对于④由224x y +22，即曲线C 上任意一点到原点的距离2d ，故④正确； 故选：C ．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）在等比数列{}n a 中，21a =，58a =-，则数列{}n a 的前4项和4S = ． 【答案】
5
2
【详解】解：因为等比数列{}n a 中，21a =，58a =-， 所以35
2
8a q a =
=-， 所以2q =-，11
2
a =-，
则数列{}n a 的前4项和4
1
41
(116)
(1)5
21122
a q S q ---===-+． 故答案为：
5
2
． 12．（5分）若2
2()n
x x -
的展开式共有7项，则常数项的值等于 ． 【答案】60【详解】解：若2
2()n
x x -
的展开式共有7项， 6n ∴=，
∴展开式的通项为6316(2)r r r T C x -+=-，
令630r -=，得2r =，
所以展开式的常数项为26460C =． 故答案为：60．
13．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥中最长棱的棱长为 ．
【答案】23
【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体A BCDE -． 如图所示：AB ⊥平面BCDE ，
所以：2AB BC CD ===，AE DE =AD ==AC =，
故最大棱长为
故答案为：23．
14．（5分）已知菱形ABCD 的边长为1，60BAD ∠=︒，(0)AP AB λλ=>．当1
2
λ=时，AC PD ⋅= ；当AP DP ⋅取得最小值时，λ= ．
【答案】
34；1
4
【详解】解：取AB 中点O ，连接DO ，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，
ABD ∴∆为等边三角形，得DO AB ⊥，
则以O 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，
则1
(2
A -，0)，C ，D ，1(2
B ，0)，
当1
2
λ=
时，点P 为AB 的中点，即为坐标原点O ，(0,0)P ∴，
∴3(2AC =
，(0,PD =，则3
4
AC PD ⋅=； 设(,)P x y ，则1
(,)2
AP x y =+，又(1,0)AB =，
∴120x y λ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得120
x y λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 1
(2
P λ∴-，0)，(,0)AP λ=
，1(,2DP λ=-，
∴21
1()22
AP DP λλλλ⋅=-=-，
则当14λ=
时，AP DP ⋅取得最小值116-．故答案为：34；14
． 15．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位
重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩
是有理数
是无理数称为狄利克雷函
数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数(),0,x x L x x ⎧=⎨⎩
是有理数
是无理数为“L 函数”，则关于狄利克雷函数和L 函
数有以下四个结论： ①(())0D D x =；
②函数()D x 既是偶函数又是周期函数；
③L 函数图象上存在四个点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 为矩形； ④L 函数图象上存在三个点A 、B 、C ，使得ABC ∆为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【详解】解：由题意得，()D x 的取值为0或1，则(())1D D X =，故①错误，
()()1,0,x D x D x x ⎧-==⎨⎩
是有理数
是无理数，
()D x ∴为偶函数，
对于任意非零有理数T ，对于任意得有理数加上一个有理数，仍为有理数，对于任意得无理数加上一个有理数，仍为无理数，则()()D x T D x +=，则函数()D x 既是偶函数又是周期函数，故②正确，
取L 函数图像上四个点(3,3)A ，B ，0)，(3,3)C --，(D -，0)，AC BD ==，并且
332-1100
22
-+=
，即对角线相等，且互相平分， L ∴函数图象上存在四个点A 、B 、C 、D ，使得四边形ABCD 为矩形，故③正确，
取L 函数图象上存在三个点(3A ，L （3）)，(3B ，(3L ，(3C +(3L ，根据了L 函数可得，
(3,3)A ，(3B ，0)，(3C 0)，
AB BC AC ∴===ABC ∆为等边三角形，故④正确，
故答案为：②③④．
三．解答题（共6小题，满分85分） 16．（14分）在ABC ∆中，已知5b =，9
cos 16
B =
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知． （Ⅰ）求sin A ； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
条件①：1
cos 8
C =；条件②：4a =．
【答案】（Ⅰ）sin sin()A B C =+11
57sin 42216
ABC S ac B ∆==⨯= 【详解】解：若选择条件①：
（Ⅰ）因为91
cos ,cos ,,(0,)168
B C B C π=
=∈，
所以sin B C =
=
．
所以19sin()sin cos cos sin 816B C B C B C +=+=
+=
所以sin sin()A B C =+（Ⅱ）由正弦定理得sin 4sin b
a A B
==．
所以11sin 4522ABC S ab C ∆==⨯⨯=
若选择条件②：
（Ⅰ）由9
cos ,(0,)16
B B π=
∈，可得sin B =．
由正弦定理得sin sin a A B b ==．
（Ⅱ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2925162416
c c =+-⨯⨯⨯． 即229180c c --=，解得6c =，3
(2
c =-舍）．
所以11sin 4622ABC S ac B ∆==⨯⨯=
． 17．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，PM MD =． （Ⅰ）求证：//PB 平面ACM ； （Ⅱ）求二面角M BC D --的余弦值．
【答案】
（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
2
【详解】证明：（Ⅰ）连接BD 交AC 于H 点，连接MH
四边形ABCD 是菱形，∴点H 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，//MH BP ∴， 又
BP ⊂/平面ACM ，MH ⊂平面ACM ，
//PB ∴平面ACM ；
解：（Ⅱ）取AB 中点O ，连接PO ，
PAB ∆为正三角形，且侧面PAB ⊥底面ABCD ，PO ∴⊥平面ABCD ，
以O 为原点，分别以OB ，OH ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，1
(2M -，1，
(0BC =，2，0)，3
(2
BM =-，1，
设平面MBC 的一个法向量为(,,)m x y z =，
由20
302m BC y m BM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++
=⎪⎩，取z =(1,0,3)m =， 平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，
3cos ,||||13m n m n m n ⋅∴<>=
==+
由图可知，二面角M BC D --．
18．（14分）智能体温计由于测温方便、快捷，已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温检测．调查发现，使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致，而使用智能体温计测量体温可能会产生误差．对同一人而言，如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同，我们认为智能体温计“测温准确”；否则，我们认为智能体温计“测温失误”．
现在某社区随机抽取了20人用两种体温计进行体温检测，数据如表：
（Ⅰ）试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率；
（Ⅱ）从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温，设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）医学上通常认为，人的体温在不低于37.3C ︒且不高于38C ︒时处于“低热”状态．该社区某一天用智能体温计测温的结果显示，有3人的体温都是37.3C ︒，能否由上表中的数据来认定这3个人中至少有1人处于“低热”状态？说明理由．
【答案】（Ⅰ）123205=（Ⅱ）83654272259123251251251251255
+⨯+⨯+⨯==（Ⅲ）见解析
【详解】解：（Ⅰ）表中20人的体温数据中，用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是 01，04，06，07，09，12，13，14，16，18，19，20，共有12种情况； 由此估计所求的概率为
123
205
=． （Ⅱ）随机变量X 的所有可能取值为0X =，1，2，3；
由（Ⅰ）可知，用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为3
5．
所以00
33338(0)()(1)55125P X C ==-=
； 11
233336(1)()(1)55125
P X C ==-=
； 22
133354(2)()(1)55125P X C ==-=
； 33
033327(3)()(1)55125
P X C ==-=
； 所以X 的分布列为
计算X 的数学期望为83654272259()01231251251251251255
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯==． （Ⅲ）设这3人中至少有1人处于“低热”状态为事件N ，
表中20人的体温数据中，用智能体温计的测温结果，高于其真实体温的序号为02，05，11，17，共计4种情况，由此估计从社区任意抽查1人，用智能体温计的测温结果高于其真实体温的概率为1
5．由此估计，这
3人中至少有1人处于“低热”状态的概率为111124
()1()555125
P N =-⨯⨯=．
结论1：因为124
()125
P N =
，接近于1，由此可以认定这3人中至少有1人处于“低热”状态． 结论2：因为124
()1125
P N =
<，所以有可能这3人都不处于“低热”状态．
19．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 不垂直于坐标轴，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线l 与x 轴交于点Q ．点B 关于x 轴的对称点为点B '，直线AB '与x 轴交于P 点． （ⅰ）求证：P ，Q 两点的横坐标之积为定值4； （ⅱ）若点Q 的坐标为(1,0)，求ABP ∆面积的取值范围．
【答案】（Ⅰ）2214
x y +=（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ） 【详解】解：（Ⅰ）因为24a =， 所以2a =，
又c e a =
=
，所以c = 所以2221b a c =-=，
椭圆C 的方程2
214
x y +=．
（Ⅱ）()i 由题意可知，直线AB 存在斜率，且不为0，
设直线AB 的方程为：(0)y kx m k =+≠，(,0)m
Q k ∴-
，联立22
440
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=．△2222644(14)(44)0k m k m =-+->．
设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(B x '，2)y -，122
814km
x x k +=-+，21224414m x x k -⋅=+，
AB ∴'的方程为：
22
1212
y y x x y y x x +-=
+-， 令0y =，则22221221211212212121224482()2()414148()2214p m km k m y x x y x x y kx x m x x k k k x x km y y y y k x x m m k m k
--⋅+⋅
-+++-++=+===
=-++++⋅++， ∴44P Q k m
x x m k
--⋅=
⋅=． 因此P ，Q 两点的横坐标之积为定值4．
方法二：设直线AB 的方程为：(0)x my n mn =+≠，(,0)Q n ∴，
联立22
440
x my n x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 得222(4)240m y mny n +++-=．△222244(4)(4)0m n m n =-+->． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2(B x '，2)y -，12224
mn
y y m +=-+，212244n y y m -⋅=+，
AB ∴'的方程为：
22
1212
y y x x y y x x +-=
+-， 令0y =，则22
2121221121221212122
42()2()4424
p n m y x x x y x y my y n y y m x x n mn y y y y y y n m -⋅-++++=+===
+=+++-+， ∴4
4P Q x x n n
⋅=
⋅=． 因此P ，Q 两点的横坐标之积为定值4．
方法三：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，12x x ≠，12||||y y ≠， 则2(B x '，2)y -，2222112244,44x y x y +=+=，AB ∴的方程为：
22
1212
y y x x y y x x --=
--， 令0y =，则212211221212
()Q y x x x y x y
x x y y y y --=-
+=--，
AB ∴'的方程为：
22
1212
y y x x y y x x +-=
+-， 令0y =，则21212
21
21212
()p y x x x y x y x x y y y y -+=
+=++， ∴222222221221211221122112222212121212(44)(44)4P Q x y x y x y x y x y x y y y y y x x y y y y y y y y +-----⋅=
⋅===+---， 因此P ，Q 两点的横坐标之积为定值4．
()ii 设直线l 的方程为：1x my =+，0m ≠，1Q x ∴=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
联立22
1440x my x y =+⎧⎨+-=⎩
消去x 得221222(4)230.4m m y my y y m ++-=+=-+，1223
4y y m -⋅=+， 1Q x =，由()i 得4P x =，
||3PQ ∴=
，121||||2PAB
S PQ y y ∆=⋅-== 令23t m =+，3t ∴>
，PAB S ∆==，
函数1
y t t =+在(3,)+∞上是增函数，
所以110
3
t t +>，
所以116
23t t ++>
，
，PAB S ∆<，因此ABP ∆
面积的取值范围为． 20．（14分）已知函数213
()2(0)22
f x lnx ax x a =+-+．
（1）讨论函数()f x 的极值点的个数；
（2）若()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：12()()0f x f x +<．
【答案】（1）当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当1a 时，()f x 没有极值点．（2）见解析
【详解】（1）解：2121
()2ax x f x ax x x
-+'=+-=，(0,)x ∈+∞．
①当0a =时，21()x f x x
-+'=
． 当1(0,)2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在1
(0,)2
上单调递增；
当1(,)2x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在1
(,)2
+∞上单调递减．
即函数()f x 只有一个极大值点
1
2
，无极小值点． ②当01a <<时，△440a =->，
令()0f x '=
，得x =
当11(,)a x a
+-∈+∞时，()
0f x '>，
所以()f x
在，
)
+∞上单调递增； 当x ∈时，()0f x '<，
所以()f x 在上单调递减．即函数()f x ，有一个极小值点
③当1a 时，△440a =-，此时()0f x '恒成立， 即()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点．
综上所述，当0a =时，()f x 有且仅有一个极大值点，即只有1个极值点； 当01a <<时，()f x 有一个极大值点和一个极小值点，即有2个极值点； 当1a 时，()f x 没有极值点．
（2）证明：由（1）可知，当且仅当01a <<时，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且1x ，2x 为方程2210ax x -+=的两根，
即122x x a +=
，121x x a
=， 所以22
12121212214242()()()2()3()3222a a f x f x lnx x x x x x ln lna a a a a a
+=++-++=+--+=--+．
令2
()2g a lna a
=--
+，(0,1)a ∈， 则22122()0a
g a a a a
-'=-+=>恒成立，
所以g （a ）在(0,1)上单调递增， 所以g （a ）g <（1）1220ln =--+=， 即12()()0f x f x +<．
21．（15分）设k 为正整数，如果表达式1212222k n n n k a a a ⋅+⋅++⋅同时满足下列性质，则称之为“交错和”．
①i n N ∈，{1i a ∈-，1}(1i =，2，，)k ；
②120k n n n <<
<；
③当2k 时，1(1i i a a i +≠=，2，，1)k -；④规定：当1k =时，112n a ⋅也是“交错和”．
（Ⅰ）请将7和10表示为“交错和”；
（Ⅱ）若正整数n 可以表示为“交错和” 1212222k n n n k a a a ⋅+⋅+
+⋅，求证：1k a =；
（Ⅲ）对于任意正整数n ，判断n 一共有几种“交错和”的表示方法，并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）3721=-或37221=-+，4310222=-+或432102222=-+-（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析 【详解】解：（Ⅰ）3721=-或37221=-+，4310222=-+或432102222=-+-； （Ⅱ）证明：假设1k a =-，
则当1k =时，111220n n n a =⋅=-<，这与“n 是正整数”矛盾， 当2k 时，因为11k k n n --，
所以11210112122...222...221k k k n n n n n k a a a ---++++++=-，
∴11212122...222121k k k k n n n n n n k n a a a --=+++---=-，这与“n 是正整数”矛盾，
故1k a =，即得证；
（Ⅲ）n 一共有2种“交错和”的表示方法，现证明之： 定义i ，j ，m N +∈， 当
2()
i n i N =∈时，
2i n =或122i i n +=-，易知
01212222212j j j
-++++=-<，故
1212222j n
n n j a a a ⋅+⋅+
+⋅正负与j a 的正负相同，
故当2i n =时，n 只有2种“交错和”的表示方法，
现证明对任意的[21i n ∈+，12)()i i N +∈，1k a =，1k n i =+，由（Ⅱ）知，1k a =，
当k n i 时，1212222{2k n n n i k a a a max ⋅+⋅++⋅，0121222222}221(,)j j i i i j i j N -+++
+-+=<+<∈，不
符合题意，
当
2
k n i +时，
1212
12222{22k n n n i i k a a a min ++⋅+⋅++⋅-+，
012112112222222}221(,)j j i i i i j i j N -++++-----+-+=>-∈，不符合题意，
1k a ∴=，1k n i =+成立，
当1n =时，11=，112=-+，当2n =时，22=，2222=-，当3n =时，2321=-或23221=-+，故1n =，2，3时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法， 即[1n ∈，22)时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，
2[21n ∴∈+，32)时，332(2)n n =--，而32[1n -∈，22)，[1n ∈，22)时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，
2[21n ∴∈+，32)时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，又2i n =时，n 只有2种“交错和”的表示方法，
即[1n ∈，32)时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，
当3[21n ∈+，42)，442(2)n n =--，而42[1n -∈，32)，同理，[1n ∈，42)时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，
[1n ∴∈，2)m 时，n 有且仅有2种“交错和”的表示方法，而n N +∈，∴对任意的n ，n 有且仅有2种“交
错和”的表示方法，
∴得证．。