加权余量法在弹性力学平面应力问题中的应用

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（2）试函数
楔形体任一点应力分量都由两部分组成，一部分为重力（ ρg ）引起，另一部分为液体压
力（ γg ）引起，并分别与它们成正比。若考虑应力分量具多项式解答，那么各应力分量的表达
式只能是x、y的纯一次式，而应力函数只可能是x 和y的纯三次式，则试函数取为：
ϕ~ = ax3 +bx2y+cxy2 +dy3 （4-6）
加权余量法在弹性力学平面应力问题中的应用
尹兴锋
（河海大学土木工程学院，江苏 南京 210098)
摘要：简述了加权余量法理论，并以受体力和液体压力无限楔的应力基本解答为例，说明了该方法在求解弹 性力学平面应力问题中的应用。
关键词：加权余量法；弹性力学；平面应力问题；应用
0 引言
加权余量法(Weighted Residual Method)在固体力学中是求解微分方程的一种数值方法[1]，它 是基于等效积分形式的近似方法[2]，也是通用的数值计算方法。加权余量法最早是用于流体力 学、传热等科学领域，之后在固体力学中得到了更大的发展，国内力学界与工程界经过几十年 的共同努力，在结构分析领域内从无到有取得了可喜的成果[3]。本文拟就加权余量法及其在求 解弹性结构平面应力问题中的应用作一简要概述。
如图１所示平面无限楔，下端为无限长，承受重力及液体压力，楔形体密度为 ρ ，液体的 密度为 γ ，求其应力分量。
根据该平面应力问题的实际条件，选择加权余量法中的配点法求解如下：
（1）控制方程及边界条件
控制方程： ∇2∇2ϕ = 0
（４-1）
应力边界条件：左边（x=0）： (σx )x=0 = −γgy （4-2）
上式中Wi及Ti分别为在域内及边界上所采用的不同的权函数；（2-6）式称为余量的加权积 分，其值为零。
显然由上式可求得一组包含待定参数ci的代数方程。求出ci代入（2-3）式即可得到问题的近 似解。
1

通过以上分析可知，不同的权函数反映了在削除余量时的不同准则，加权余量法根据选取
α
−
⎫ ρg)y⎪⎪⎬
τ xy =τ yx = −γgxctan2 α
⎪ ⎪⎭
比较其与弹性力学的解答，可见上述解答与经典弹性力学的解答一致，该解答也常常被当
作是三角形重力坝中应力的基本解答。
4 结语
从理论上说，加权余量法理论简单、易懂，不象变分法那样需作复杂的数学处理；从计算 上说，加权余量法计算简单，同时余量的大小还可直接反映出解答的精确程度；通过应用它对 前述平面应力问题的求解，说明其在求解弹性力学平面应力问题中具较好的可行性及可靠性， 同时相关工程技术人员可直接应用本文介绍的方法处理简单的实际工程问题，并具有较强的可
∂c j
Ω
，代入上式可得：
∂c j
，(j=1，2，…，ｎ)，由此得到n个代数方程，解出n个
参数。
∫ RxidΩ = 0
（4）矩法(Method Of Moment)：对于一维问题有： Ω
，（i=0，1，2，…，n-1)，
∫∫ R(x, y)xi yi = 0
对于二维问题有： Ω
，（i=0，1，2，…，n-1），此方法的实质是强迫余量的各
4
操作性。

参考文献： [1].徐秉业,刘信声.结构塑性极限分析.北京:中国建筑工业出版社,1985. [2].徐次达.固体力学加权残值法.上海:同济大学出版社,1987. [3].王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法（第2版）.北京:清华大学出版社,1997. [4].徐文焕，陈虬.加权余量法在结构分析中的应用.北京:中国铁道出版社,1985. [5].徐芝纶，弹性力学简明教程.北京:高等教育出版社（第2版）,1983.
∑ u~ = n ci Ni
设上述方程的近似解为： i=1
（2-3）
上式称为试函数，式中ci为待定参数，Ni是已知的一组线性无关的试函数。
显然，在通常n为有限项的情况下，近似解（ u~ ）是不能精确满足控制方程（2-1）式及边
界条件（2-2）式的，将 u~ 代入上述方程后会产生余量R及 R ，余量方程为：
次矩为零，通常又称此法为积分法。
（5） 伽辽金法(Galerkin Method)：是大家比较熟悉的方法，按加权余量法的观点理解，伽
辽金法中的权函数、试函数为取自同一系列的函数。
2 弹性力学平面应力问题
弹性力学平面问题中，按应力求解时其控制方程为：
∇2∇2ϕ = 0
（3-1）
∇2 = ∂2 + ∂2
Weighted Residual Method and the problem of elastic plane stress
Abstract: Weighted Residual Method is an important numercical method in solid mechanics.This
质就是在ｎ个点上使其余量为零。
∑ （3）最小二乘法（Least
u~ =
Square Method）：当近似解取为：
n
ci Ni
i=1
Wj
时，权函数
=
∂R ∂c j
，
∫ I = R2dΩ
利用最小二乘原理，最佳近似解使余量的平方和为最小，则取： Ω ，利用极值条件取
∫ ∂I = 0
R ∂R dΩ = 0
(τxy)x=0 = 0
（4-3）
右边（ x= ytanα）： l(σx)x=ytanα +m(τxy)x=ytanα =0
（4-4）
3

m(σy)x=ytanα +l(τxy)x=ytanα =0
（4-5）
其中， l = cosα , m=−sinα。
∫ ∫ 一 维 问 题 配 点 法 为 : Ω RWidxdy= Ω Rδ (x − xi )dxdy= R(xi ) ； 对 于 二 维 问 题 配 点 法
∫∫ ∫∫ 为: ΩRWidxdy= Ω R(x, y)δ(x − xi )δ(y − yi )dxdy= R(xi , yi ) ，(ｉ=1，2，…，ｎ)，配点法的实
σx
=
∂2ϕ ∂y2
− Px
⎫ ⎪ ⎪
σy
=
∂2ϕ ∂x2
− Py
⎪⎪ ⎬ ⎪
τ
xy
=
− ∂2ϕ ∂x∂y
⎪ ⎪ ⎪⎭
（3-3）
式中， Px 、 Py 为体力分量。
由以上可知，平面应力问题的求解，可归结为求解满足控制方程（3-1）式及应力边界条件
（3-2）式的应力函数ϕ 。
对具体的工程问题，事先并不知其精确解，则需要根据具体情况选择适当的试函数，笔者 认为试函数的选择除必需具备完备性外，还要反应具体工程问题的特点，根据前人经验，试函 数一般有以下几种：①多项式；②三角级数；③样条函数，一般为三次或五次样条函数；④梁 振动函数；⑤杆稳定函数；⑥正交多项式，如:切比雪夫多项式，勒让德多项式；⑦贝塞耳函数； ⑧克雷洛夫函数。而对于平面应力问题而言，选择多项式一般即可反映问题的实质。
的不同的权函数削除余量主要分为以下几种方法（以在Ω域内说明，边界上内似）： （1）子域法（Subdomain Method）：在n个子域Ωi内Wi=I，在子域Ωi外Wi=0。此方法的实质
是强迫余量在n个子域Ωi或边界上的积分为零。 （2）配点法（Collocation Method）：以笛拉克函数δ(dirac dalta function)作为权函数，对于
选择好试函数后将其代入31及32式如不能满足方程则产生余量r则根据上述的方法进行余量的削除从而解出参数得到问题的近似解在求解弹性力学平面应力问题中的应用以上述理论为基础下面以受体力和液体压力无限楔的应力基本解答为例说明加权余量法在求解弹性力学平面应力问题中的应用

上式中ϕ 为应力函数，
∂x2 ∂y2 为拉普拉斯微分算子。
应力边界条件如下：
px =lσx +mτxy ⎪⎫ py = mσy +lτxy⎪⎭⎬
（3-2）
其中， px 、 py 为已知的面力分量，l、m为外法线N的方向余弦。 由弹性力学可知，各应力分量与应力函数ϕ 的关系如下：
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Key words: Weighted Residual Method;weighting function; trial function;control equation; boundary
condition; plane stress problem
作者简介：尹兴锋（1980— 与研究。
），江苏南京市人，硕士研究生在读，主要从事地质工程学习
1 加权余量法理论简介
工程领域内结构分析问题往往都归结为在一定的边界条件或初始条件下求解微分方程的问
题，一般称这些微分方程为控制方程。假设问题的控制方程与边界条件方程如下：
L(u)-f=0 (在Ω域内)
（2-1）
B(u)-g=0 (在边界Г上) （2-2）
上式中u为待求函数，L、B为微分算子，f、g为已知函数。
（3）配点法求解 显然，（4-6）式满足控制方程（4-1）式，则取左边界上任一点（x=0,y）及右边界上一点 （tanα,1）进行配点。
σ x = 2cx + 6dy
⎫ ⎪
σ y = 6ax + 2by − ρgy⎬
将试函数（4-6）式代入（3-3）式，可得：τ xy = −2bx − 2cy
⎪ ⎭
选择好试函数后，将其代入(3-1)及(3-2)式，如不能满足方程则产生余量R，则根据上述
的方法进行余量的削除，从而解出参数，得到问题的近似解ϕ~ 。
3 在求解弹性力学平面应力问题中的应用
以上述理论为基础，下面以受体力和液体压力无限楔的应力基本解答为例，说明加权余量
法在求解弹性力学平面应力问题中的应用。
R＝L( u~ )-f
（2-4）
R =B( u~ )-g
（2-5）
对上述余量可以根据具体的情况用不同的条件分别从Ω域内及边界Г上去削除，把各种不同
的条件用权函数Wi（weighting function）来反映，则余量方程可写为如下的统一形式：
∫ ∫ Ω RWidΩ + Γ RTidΓ =0 (i=1，2，3，…，n) (2-6)
article tries to simply introduce the W.R.M and the use in the problem of elastic plane stress.Finally, demonstrating the feasibility of the method by a practice.
d边界上一点（tanα，1）代入上述余量方程可解得：
a = ρg ctanα −γg ctan3α b = γg ctan2 α
6
3
；2
将上述解得a、b、c、d参数代入(4-7)式可得各应力分量为：
σx σy
= =
−γgy (ρgctanα
−2γgctan3
α)x + (γgctan2
(4-7)
将（4-7）式代入左边应力边界条件得余量方程为：
R1=2cx+6dy+ γ gy=0
R2=-2bx-2cy=0
以左边界上任一点(0,y)代入上述方程可解得：
d =−γg
c=0；
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将（4-7）式代入右边应力边界条件得余量方程为：
R3=cosα（2cx+6dy）-sinα（-2bx-2cy）=0 R4=-sinα（6ax+2by-ρgy）+cosα（-2bx-2cy）=0